Kalkulator liczb zespolonych | Działania a+bi (dodaj, odejmij, pomnóż, podziel)

Wielkość	Wartość	Znaczenie
\|z\|	—	moduł
arg(z)	—	argument
Re(z), Im(z)	—	części rzeczywista/urojona

Wielkość

Wartość

Znaczenie

|z|

—

moduł

arg(z)

—

argument

Re(z), Im(z)

—

części rzeczywista/urojona

Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej

Ten opis wspiera kalkulator działań na liczbach zespolonych i odpowiada na pytania typu: „jak dodać liczby zespolone”, „jak podzielić a+bi przez c+di”, „mnożenie liczb zespolonych wzór”. Zobacz też: trygonometria, Pitagoras, odległość punktów, układy równań, proporcje, ułamki, wariancja i rekurencja.

Wzory użyte w kalkulatorze

Dla z₁=a+bi i z₂=c+di: z₁+z₂=(a+c)+(b+d)i, z₁−z₂=(a−c)+(b−d)i, z₁·z₂=(ac−bd)+(ad+bc)i. Dzielenie: z₁/z₂ = (a+bi)(c−di)/(c²+d²).

Aby obliczyć…

Wpisz a,b,c,d i wybierz działanie. Wynik, moduł, argument i rysunek pojawią się automatycznie.

Przykładowe zadanie i rozwiązanie 1

Zadanie: Oblicz (3+2i) + (1−4i).

Rozwiązanie: (3+1) + (2−4)i = 4 − 2i.

Przykładowe zadanie i rozwiązanie 2

Zadanie: Oblicz (2+3i)/(1−i).

Rozwiązanie: (2+3i)(1+i)/(1²+(-1)²) = (−1+5i)/2 = −0,5 + 2,5i.

Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku

Zapomnienie, że i² = −1 w mnożeniu.
W dzieleniu brak mnożenia przez sprzężenie.
Argument: używaj atan2(y,x), bo znak ćwiartki ma znaczenie.

Ciekawostka

Moduł liczby zespolonej to odległość punktu (x,y) od zera, więc liczy się jak długość wektora: √(x²+y²).

FAQ – Kalkulator liczb zespolonych (a+bi)

Dodaj osobno części: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. Kalkulator zrobi to automatycznie.

(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i.

(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i, bo i²=−1.

Pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie (c−di). Mianownik to c²+d².

Sprzężenie a+bi to a−bi. Zmienia znak części urojonej.

Dla z=x+yi: |z|=√(x²+y²). To odległość punktu od zera na płaszczyźnie.

Najlepiej funkcją atan2(y,x), bo uwzględnia ćwiartkę. Kalkulator pokazuje arg w radianach lub stopniach.

Bo c²+d²=0 i dzielenie nie jest zdefiniowane (mianownik wynosi zero).

Tak. Zobaczysz punkty z₁, z₂ i wynik z na osi Re/Im.

Kalkulator liczb zespolonych | Działania a+bi (dodaj, odejmij, pomnóż, podziel)

Wykonaj działania na liczbach zespolonych w postaci a + bi: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Kalkulator pokaże wynik, moduł i argument oraz rysunek na płaszczyźnie zespolonej.

Dane wprowadzane

Wynik

Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej

Wzory użyte w kalkulatorze

Przykładowe zadanie i rozwiązanie 1

Przykładowe zadanie i rozwiązanie 2

Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku

FAQ – Kalkulator liczb zespolonych (a+bi)

Najczęściej używane razem

Kalkulator liczb zespolonych | Działania a+bi (dodaj, odejmij, pomnóż, podziel)

Wykonaj działania na liczbach zespolonych w postaci a + bi: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Kalkulator pokaże wynik, moduł i argument oraz rysunek na płaszczyźnie zespolonej.

Dane wprowadzane

Wynik

Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej

Wzory użyte w kalkulatorze

Przykładowe zadanie i rozwiązanie 1

Przykładowe zadanie i rozwiązanie 2

Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku

FAQ – Kalkulator liczb zespolonych (a+bi)

Jak dodać liczby zespolone w postaci a+bi?

Jak odjąć liczby zespolone?

Jaki jest wzór na mnożenie liczb zespolonych?

Jak dzielić liczby zespolone a+bi przez c+di?

Co to jest sprzężenie liczby zespolonej?

Jak policzyć moduł |z| liczby zespolonej?

Jak policzyć argument arg(z)?

Dlaczego nie można dzielić przez 0+0i?

Czy kalkulator pokazuje rysunek na płaszczyźnie zespolonej?

Najczęściej używane razem