Jak działa kalkulator liczb zespolonych?
Kalkulator wykonuje cztery podstawowe działania na liczbach w postaci algebraicznej a + bi. Wpisujesz osobno część rzeczywistą i urojoną dwóch liczb, wybierasz działanie, a wynik pojawia się automatycznie w tej samej postaci.
Oprócz wyniku otrzymujesz jego moduł, argument główny oraz położenie liczb na płaszczyźnie zespolonej. To pozwala szybko sprawdzić zarówno samo działanie, jak i geometryczną interpretację wyniku.
Wzory: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie
Dla z₁ = a + bi oraz z₂ = c + di kalkulator korzysta z następujących zależności:
Przykłady działań na liczbach zespolonych
Zadanie: oblicz (3 + 2i) + (1 − 4i).
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Dodaj części rzeczywiste i urojone osobno:
Zadanie: oblicz (2 + 3i) / (1 − i).
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika:
Moduł i argument wyniku
Dla wyniku z = x + yi moduł jest równy |z| = √(x² + y²). Geometrycznie jest to odległość punktu (x, y) od początku układu współrzędnych.
Argument jest kątem między dodatnią półosią rzeczywistą a wektorem prowadzącym do punktu z. Kalkulator pokazuje argument główny w zakresie od −π do π (albo odpowiadający mu kąt w stopniach).
Dla z = 0 + 0i argument nie jest określony. W takim przypadku kalkulator pokazuje moduł równy 0 i informację „nieokreślony” zamiast sztucznego kąta 0.
Najczęstsze błędy przy liczbach zespolonych
- Zapomnienie, że i² = −1 — to najczęstszy błąd przy mnożeniu.
- Dzielenie bez sprzężenia mianownika — prowadzi do pozostawienia liczby zespolonej w mianowniku.
- Dzielenie przez 0 + 0i — takie działanie jest niedozwolone i kalkulator je blokuje.
- Wyznaczanie argumentu zwykłym arctan(y/x) — może dać złą ćwiartkę; potrzebne jest uwzględnienie znaków obu współrzędnych.
- Traktowanie argumentu zera jako 0 — argument liczby 0 nie jest zdefiniowany.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Jeśli wynik ma bardzo małą część rzeczywistą lub urojoną, nie musi to oznaczać zera. Kalkulator zachowuje pełną precyzję wewnętrzną, a dla wartości mniejszych niż wybrana dokładność może użyć zapisu wykładniczego zamiast zaokrąglać poprawny wynik do 0.
Co sprawdzić dalej?
FAQ - kalkulator działań na liczbach zespolonych
Ostatnia aktualizacja: 24.09.2026