Liczby zespolone - tablica wzorów i zadania
Postać algebraiczna, sprzężenie, moduł, argument, postać trygonometryczna, wzór de Moivre'a, potęgi, pierwiastki i równania zespolone w jednym miejscu.
Do czego służy ta tablica?
Ta tablica porządkuje najważniejsze wzory do liczb zespolonych. Możesz szybko sprawdzić, czym jest liczba w postaci a+bi, jak działa sprzężenie, jak obliczyć moduł i argument oraz kiedy przejść do postaci trygonometrycznej. Do rachunków liczbowych użyj kalkulatora działań na liczbach zespolonych, a do samego zapisu trygonometrycznego kalkulatora modułu i argumentu liczby zespolonej.
Jeśli wpisujesz w wyszukiwarce „liczby zespolone tablica”, „moduł liczby zespolonej”, „argument liczby zespolonej”, „postać trygonometryczna liczby zespolonej” albo „wzór de Moivre'a zadania”, ta strona zbiera wzory, przykłady i typowe błędy w jednej powtórce. Gdy zadanie dotyczy potęg lub pierwiastków, przejdź do kalkulatora potęg i pierwiastków liczb zespolonych, a gdy pojawia się niewiadoma z, sprawdź kalkulator równań z liczbami zespolonymi.
Najważniejsze pojęcia
| Pojęcie | Zapis | Co oznacza? | Przykład |
|---|---|---|---|
| Jednostka urojona | i2 = -1 | Symbol i pozwala zapisywać pierwiastki z liczb ujemnych. | √(-9)=3i |
| Postać algebraiczna | z = a + bi | a to część rzeczywista, b to część urojona. | z=3-4i, a=3, b=-4 |
| Sprzężenie | z̄ = a - bi | Zmieniamy znak tylko przy części urojonej. | dla 2+5i mamy 2-5i |
| Moduł | |z| = √(a2+b2) | Odległość punktu (a,b) od początku układu współrzędnych. | |3+4i|=5 |
| Argument | arg(z)=φ | Kąt, jaki wektor liczby zespolonej tworzy z dodatnią półosią rzeczywistą. | dla 1+i: φ=45° |
| Postać trygonometryczna | z = r(cos φ + i sin φ) | Używa modułu r i argumentu φ. | 1+i=√2(cos45°+isin45°) |
Postać algebraiczna i działania
W postaci algebraicznej liczba zespolona ma zapis z=a+bi. To najwygodniejsza postać do dodawania, odejmowania, mnożenia i prostych równań. Pełne działania liczbowo sprawdzisz w kalkulatorze liczb zespolonych a+bi.
| Działanie | Wzór | Krótki komentarz | Przykład |
|---|---|---|---|
| Dodawanie | (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i | Dodajemy osobno części rzeczywiste i urojone. | (2+3i)+(4-i)=6+2i |
| Odejmowanie | (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i | Odejmujemy współczynniki stojące przy tych samych częściach. | (5+2i)-(1+7i)=4-5i |
| Mnożenie | (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i | Po wymnożeniu używamy i2=-1. | (1+2i)(3+i)=1+7i |
| Dzielenie | z/w = z·w̄ / (w·w̄) | Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika. | (3+i)/(1-i)=1+2i |
| Sprzężenie iloczynu | z·z̄ = |z|2 | Iloczyn liczby i sprzężenia daje liczbę rzeczywistą. | (3+4i)(3-4i)=25 |
Moduł, argument i płaszczyzna zespolona
Moduł i argument pokazują liczby zespolone geometrycznie. Liczbę a+bi można traktować jak punkt (a,b) na płaszczyźnie: oś pozioma to część rzeczywista, a oś pionowa to część urojona. Dla konkretnych wartości skorzystaj z kalkulatora modułu, argumentu i postaci trygonometrycznej.
Moduł
Dla z=6+8i moduł wynosi √(36+64)=10.
Argument
Sam tangens nie wystarcza. Trzeba jeszcze sprawdzić ćwiartkę, w której leży punkt.
Ćwiartka
Znak a i b mówi, czy liczba jest w I, II, III czy IV ćwiartce płaszczyzny.
Postać trygonometryczna i wykładnicza
Postać trygonometryczna jest szczególnie przydatna przy potęgowaniu i pierwiastkowaniu. Zamiast długo mnożyć wyrażenia z i, zapisujemy liczbę przez moduł i kąt. Gdy potrzebujesz policzyć potęgę lub pierwiastki, użyj kalkulatora potęg i pierwiastków liczb zespolonych.
| Temat | Wzór | Kiedy używać? | Przykład |
|---|---|---|---|
| Postać trygonometryczna | z = r(cos φ + i sin φ) | Gdy znasz moduł i argument liczby. | 2(cos30°+isin30°) |
| Postać wykładnicza | z = reiφ | W bardziej zaawansowanych zapisach i przy krótkim notowaniu kąta. | 2eiπ/6 |
| Wzór de Moivre'a | [r(cosφ+isinφ)]n = rn(cos nφ + i sin nφ) | Do potęg liczb zespolonych. | [2(cos30°+isin30°)]3 |
| Pierwiastki n-tego stopnia | wk=ⁿ√r(cos((φ+360°k)/n)+i sin((φ+360°k)/n)) | Do wyznaczania wszystkich pierwiastków zespolonych. | k=0,1,...,n-1 |
Szybkie przykłady obliczeń
Przykład 1: moduł
Dla z=3-4i mamy a=3, b=-4.
Przykład 2: sprzężenie
Dla z=-2+7i zmieniamy znak tylko części urojonej.
Przykład 3: postać trygonometryczna
Dla z=1+i mamy r=√2 i φ=45°.
Przykład 4: potęga
Jeśli z=2(cos30°+isin30°), to z2 liczymy przez podwojenie kąta.
Ciekawostka: liczba zespolona to punkt i wektor jednocześnie
Liczbę zespoloną można widzieć jak zwykły zapis algebraiczny, ale też jak punkt na płaszczyźnie. Dlatego moduł działa jak długość odcinka, a argument jak kąt. To łączy algebrę z geometrią i tłumaczy, dlaczego przy potęgowaniu wygodniejsza jest postać trygonometryczna.
Jak rozpoznać, którego wzoru użyć?
Masz działania na a+bi
Zostań przy postaci algebraicznej. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie najłatwiej wykonać bez zmiany zapisu.
Masz moduł, argument lub kąt
Przejdź na zapis geometryczny. Wtedy ważne są długość wektora i ćwiartka na płaszczyźnie zespolonej.
Masz potęgę lub pierwiastek
Użyj postaci trygonometrycznej. Wzór de Moivre'a skraca rachunki i porządkuje wszystkie rozwiązania.
Zadania z liczb zespolonych - sprawdź wynik
Rozwiąż zadanie samodzielnie, a potem kliknij „Pokaż wynik”. Odpowiedzi pokazują krótki tok obliczeń, żeby łatwo sprawdzić metodę.
Zadanie 1
Oblicz (2+3i)+(5-i).
Dodajemy części rzeczywiste: 2+5=7, oraz urojone: 3i-i=2i.
Zadanie 2
Oblicz (4-2i)-(1+6i).
Odejmujemy osobno: 4-1=3 oraz -2i-6i=-8i.
Zadanie 3
Wyznacz sprzężenie liczby z=-3+5i.
Sprzężenie zmienia znak tylko przy części urojonej.
Zadanie 4
Oblicz moduł liczby z=6+8i.
|z|=√(62+82)=√100=10.
Zadanie 5
Podaj argument główny liczby z=1+i.
Punkt (1,1) leży w I ćwiartce, a tg φ=1, więc φ=45°.
Zadanie 6
Zapisz z=-2i w postaci trygonometrycznej.
Moduł wynosi 2, a punkt (0,-2) leży na ujemnej osi urojonej, więc argument to 270° albo -90°.
Zadanie 7
Oblicz (1+i)2.
(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.
Zadanie 8
Rozwiąż równanie z+(2-i)=5+3i.
Odejmujemy od obu stron 2-i: z=5+3i-2+i=3+4i.
Zadanie 9
Oblicz (3+i)/(1-i).
Mnożymy przez sprzężenie mianownika: ((3+i)(1+i))/((1-i)(1+i))=(2+4i)/2=1+2i.
Zadanie 10
Jeśli z=2(cos30°+i sin30°), oblicz z3.
Z de Moivre'a: z3=8(cos90°+i sin90°)=8i.
Najczęstsze błędy w liczbach zespolonych
- Zapominanie, że i2 = -1, szczególnie przy mnożeniu nawiasów.
- Zmiana znaku całej liczby przy sprzężeniu zamiast tylko części urojonej.
- Liczenie argumentu tylko z tangensa, bez sprawdzenia ćwiartki.
- Mylenie modułu z częścią urojoną albo rzeczywistą.
- Brak wszystkich pierwiastków zespolonych przy pierwiastkowaniu n-tego stopnia.
- Używanie stopni i radianów w jednym zadaniu bez kontroli jednostki kąta.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przy liczbach zespolonych najpierw rozpoznaj typ zadania. Jeżeli widzisz tylko nawiasy i działania, zostań przy postaci a+bi. Jeżeli pojawia się moduł, argument, kąt albo potęga, przejdź do postaci trygonometrycznej. Równania z niewiadomą z najwygodniej sprawdzać w postaci x+yi, bo wtedy łatwo porównać część rzeczywistą i urojoną. W razie potrzeby wróć też do tablicy trygonometrii, bo argument liczby zespolonej korzysta z sinusa, cosinusa i tangensa.