Aproksymacja normalna rozkładu dwumianowego - definicja
Aproksymacja normalna rozkładu dwumianowego to przybliżenie zmiennej losowej X ~ B(n,p) rozkładem normalnym o tej samej średniej i wariancji. Stosuje się ją przede wszystkim wtedy, gdy liczba prób jest duża i rozkład dwumianowy nie jest silnie skośny.
W symbolach: n oznacza liczbę niezależnych prób, p prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie, a X liczbę sukcesów. To przybliżenie, a nie zamiana dokładnego rozkładu na identyczny model.
Średnia, wariancja i odchylenie standardowe
Dla zmiennej dwumianowej X ~ B(n,p):
μ = np σ² = np(1-p) σ = √(np(1-p))
Rozkład dwumianowy przybliżamy więc rozkładem normalnym o średniej μ i odchyleniu standardowym σ. Następnie granice standaryzujemy:
z = (x - μ) / σ
Na czym polega korekta ciągłości?
Rozkład dwumianowy jest dyskretny, a normalny ciągły. Korekta ciągłości przesuwa granicę o 0,5, żeby ciągły przedział lepiej odpowiadał całym wartościom liczby sukcesów.
| Zdarzenie dwumianowe | Przybliżenie normalne | Znaczenie |
|---|---|---|
| P(X = k) | P(k-0,5 ≤ Y ≤ k+0,5) | obejmujemy cały słupek dla k |
| P(X ≤ k) | P(Y ≤ k+0,5) | prawa granica przechodzi za k |
| P(X ≥ k) | P(Y ≥ k-0,5) | lewa granica zaczyna się przed k |
| P(a ≤ X ≤ b) | P(a-0,5 ≤ Y ≤ b+0,5) | obejmujemy pełne słupki od a do b |
Kiedy przybliżenie normalne jest sensowne?
Popularna reguła praktyczna wymaga np ≥ 5 i n(1-p) ≥ 5. Bardziej ostrożne zadania i podręczniki mogą stosować granicę 10. Kalkulator pokazuje ocenę obu wartości, ale reguła 5 lub 10 jest tylko warunkiem praktycznym - jakość przybliżenia zależy także od n i p.
Jeżeli p jest bardzo małe, a n duże, czasem wygodniejsza jest aproksymacja Poissona. Przy losowaniu bez zwracania z małej populacji sprawdź rozkład hipergeometryczny.
Przykład krok po kroku
Dla n=200 i p=0,30 średnia wynosi μ=60, a odchylenie standardowe σ≈6,48. Jeśli szukamy P(X≤70), po korekcie ciągłości liczymy P(Y≤70,5).
Następnie standaryzujemy granicę: z=(70,5-60)/6,48. Kalkulator oblicza dystrybuantę rozkładu normalnego i pokazuje końcowe prawdopodobieństwo oraz wszystkie pośrednie wartości.
Zostań w temacie i policz dalej
Ciekawostka
Korekta ciągłości o 0,5 nie jest przypadkowa. Jedna wartość całkowita rozkładu dyskretnego odpowiada w modelu ciągłym przedziałowi szerokości 1, np. k staje się przedziałem od k-0,5 do k+0,5.
Dla uczniów i studentów - jak rozwiązać zadanie
- Rozpoznaj model X ~ B(n,p) i zapisz n oraz p.
- Policz μ=np oraz σ=√(np(1-p)).
- Sprawdź np i n(1-p). Jeśli są małe, aproksymacja może być słaba.
- Zapisz dokładnie zdarzenie: X=k, X≤k, X≥k albo a≤X≤b.
- Zastosuj korektę ciągłości o 0,5.
- Przelicz granice na z i użyj dystrybuanty rozkładu normalnego.
- Na końcu zapisz wynik jako prawdopodobieństwo lub procent.
Najczęstsze błędy
- Zła korekta ciągłości: dla „co najwyżej” użyj k+0,5, a dla „co najmniej” k-0,5.
- Wpisanie procentu zamiast p: 30% to p=0,30, a nie p=30.
- Brak sprawdzenia warunków: małe np lub n(1-p) oznacza słabsze przybliżenie.
- Wartość k poza 0…n: liczba sukcesów nie może być ujemna ani większa od liczby prób.
- Zbyt wczesne zaokrąglanie: μ, σ i z warto zachować z większą liczbą cyfr do końca obliczeń.
Wskazówka od KalkulatorXXL
W zadaniu najpierw zapisz nierówność dla X, a dopiero później wykonuj korektę ciągłości. To prosty sposób, żeby nie pomylić k+0,5 z k-0,5.
Sprawdź się
Zadanie 1
Dla n=100 i p=0,4 oblicz średnią μ.
Zadanie 2
Dla P(X≤35) podaj górną granicę po korekcie ciągłości.
Zadanie 3
Dla P(X≥20) podaj dolną granicę po korekcie ciągłości.
Cały pakiet statystyki i rozkładów
Ten kalkulator jest częścią większego pakietu narzędzi do statystyki, prawdopodobieństwa, rozkładów i analizy danych. Zobacz Akademię statystyki, prawdopodobieństwa i rozkładów, jeśli chcesz przejść od pojedynczego zadania do całego zestawu metod.