Do czego służy ta tablica?
Ta tablica porządkuje podstawowe całki w sposób przydatny dla ucznia: pokazuje, jak znaleźć funkcję pierwotną, jak policzyć całkę oznaczoną oraz jak wykorzystać całkę do obliczenia pola. Jest zapleczem do kalkulatora całki nieoznaczonej, kalkulatora całki oznaczonej i pola pod wykresem oraz kalkulatora pola między wykresami.
Jeśli wpisujesz w wyszukiwarce „całka nieoznaczona kalkulator”, „całka oznaczona krok po kroku”, „pole pod wykresem z całki” albo „pole między wykresami funkcji”, ta strona zbiera wzory i przykłady w jednym miejscu. Gdy potrzebujesz wrócić do podstaw, zobacz też kalkulator pochodnej funkcji, bo całkowanie jest w szkolnym ujęciu działaniem odwrotnym do różniczkowania.
Wyszukiwarka wzorów i pojęć
Wpisz fragment, na przykład sin, ln, pole, części albo F(b)-F(a). Filtr obejmuje tabele wzorów i schematów. Przycisk kopiowania pojawia się przy zapisach matematycznych, dzięki czemu można szybko przenieść wzór do notatek.
Wyświetlane są wszystkie pozycje.
Najważniejsze pojęcia
| Pojęcie | Zapis | Co oznacza? | Prosty przykład |
|---|---|---|---|
| Całka nieoznaczona | ∫ f(x) dx = F(x)+C | Szukamy funkcji pierwotnej, czyli takiej funkcji F, której pochodna daje f. | ∫ 2x dx = x2+C |
| Stała całkowania | + C | Dodajemy ją przy całce nieoznaczonej, bo pochodna stałej wynosi 0. | x2+5 i x2-3 mają tę samą pochodną 2x. |
| Całka oznaczona | ∫ab f(x) dx | Daje liczbę. Liczymy ją ze wzoru F(b)-F(a). | ∫02 2x dx = 4 |
| Pole pod wykresem | pole = ∫ab f(x) dx | Jeśli funkcja jest nad osią OX, całka oznaczona jest polem pod wykresem. | ∫03 x dx = 9/2 |
| Pole między wykresami | pole = ∫ab [górna - dolna] dx | Odejmujemy funkcję dolną od funkcji górnej na tym samym przedziale. | ∫01 [(2x+1)-x] dx = 3/2 |
Podstawowe wzory całek
W szkolnych zadaniach najczęściej zaczyna się od wielomianów i prostych potęg. Jeżeli chcesz obliczyć wynik automatycznie, użyj kalkulatora całki nieoznaczonej.
| Funkcja | Całka | Warunek / uwaga | Przykład |
|---|---|---|---|
| c | ∫ c dx = cx + C | c jest stałą liczbą. | ∫ 5 dx = 5x + C |
| xn | ∫ xn dx = xn+1/(n+1) + C | n ≠ -1 | ∫ x2 dx = x3/3 + C |
| axn | ∫ axn dx = a·xn+1/(n+1) + C | Stały współczynnik zostaje przed całką. | ∫ 6x2 dx = 2x3 + C |
| Suma funkcji | ∫ [f(x)+g(x)] dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx | Całkujemy każdy składnik osobno. | ∫(3x2+2x)dx = x3+x2+C |
| 1/x | ∫ 1/x dx = ln|x| + C | x ≠ 0 | ∫ 1/x dx = ln|x|+C |
| ex | ∫ ex dx = ex + C | Funkcja zostaje taka sama. | ∫ 4ex dx = 4ex+C |
Rozszerzona tablica całek elementarnych
Wielomiany są początkiem nauki, ale w zadaniach licealnych, maturalnych i na pierwszych zajęciach akademickich pojawiają się również funkcje wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne. Poniższa tabela pomaga rozpoznać najczęstsze wzorce. Każdy wynik można skontrolować przez zróżniczkowanie prawej strony.
| Funkcja podcałkowa | Funkcja pierwotna | Warunek lub wskazówka | Kontrola pochodną |
|---|---|---|---|
| sin x | ∫ sin x dx = -cos x + C | Minus jest konieczny, ponieważ pochodna cos x to -sin x. | (-cos x)' = sin x |
| cos x | ∫ cos x dx = sin x + C | Jedna z podstawowych par pochodna-całka. | (sin x)' = cos x |
| 1/cos²x | ∫ 1/cos²x dx = tg x + C | Można zapisać jako ∫sec²x dx. | (tg x)' = 1/cos²x |
| 1/sin²x | ∫ 1/sin²x dx = -ctg x + C | Zwróć uwagę na znak minus. | (-ctg x)' = 1/sin²x |
| aˣ | ∫ aˣ dx = aˣ/ln a + C | a>0 i a≠1. Dla a=e mianownik wynosi 1. | (aˣ/ln a)' = aˣ |
| 1/(1+x²) | ∫ dx/(1+x²) = arctg x + C | Wzór często pojawia się po podstawieniu. | (arctg x)' = 1/(1+x²) |
| 1/√(1-x²) | ∫ dx/√(1-x²) = arcsin x + C | Dla rzeczywistych wartości funkcji pod pierwiastkiem zwykle |x|<1. | (arcsin x)' = 1/√(1-x²) |
| f'(x)/f(x) | ∫ f'(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C | Rozpoznaj licznik jako pochodną mianownika. | (ln|f(x)|)' = f'(x)/f(x) |
Jak wybrać metodę całkowania?
Nie każdą całkę można policzyć przez bezpośrednie zastosowanie jednego wzoru. Najpierw warto uprościć wyrażenie, wyłączyć stały współczynnik i sprawdzić, czy funkcja podcałkowa nie przypomina pochodnej funkcji złożonej. Dopiero później wybiera się podstawienie, całkowanie przez części albo rozkład na prostsze składniki.
Podstawienie
Metoda podstawienia działa jak odwrócona reguła łańcuchowa. Gdy w całce występuje funkcja złożona i obok znajduje się jej pochodna, wprowadzamy nową zmienną. Przykład: w całce ∫2x·cos(x²)dx przyjmujemy u=x², wtedy du=2x dx i otrzymujemy ∫cos u du=sin u+C, czyli sin(x²)+C.
Całkowanie przez części
Ta metoda jest odwróceniem wzoru na pochodną iloczynu. Przydaje się między innymi dla iloczynu wielomianu i funkcji wykładniczej, logarytmu albo funkcji trygonometrycznej. W ∫x·eˣdx wybieramy u=x oraz dv=eˣdx. Otrzymujemy x·eˣ-∫eˣdx=eˣ(x-1)+C.
Uproszczenie przed całkowaniem
Rozwiń nawiasy, skróć ułamki i rozdziel sumę na składniki. Całka ∫(x²+2x)/x dx dla x≠0 upraszcza się do ∫(x+2)dx. Takie przygotowanie jest często szybsze niż szukanie bardziej zaawansowanej metody.
Rozpoznanie wzorca
Zanim rozpoczniesz rachunki, porównaj całkę z tablicą. Wyrażenie 2x/(x²+5) pasuje do wzorca f'(x)/f(x), dlatego wynikiem jest ln(x²+5)+C. Rozpoznawanie wzorców skraca rozwiązanie i zmniejsza ryzyko błędu.
Jak liczyć całkę oznaczoną?
Krok 1: znajdź funkcję pierwotną
Najpierw liczysz całkę nieoznaczoną, ale w całce oznaczonej nie dopisujesz już stałej C do końcowego wyniku.
Krok 2: podstaw górną granicę
Obliczasz wartość funkcji pierwotnej dla końca przedziału.
Krok 3: odejmij dolną granicę
Od wartości dla końca przedziału odejmujesz wartość dla początku przedziału.
Pole pod wykresem i pole między wykresami
Pole pod wykresem
Jeżeli wykres funkcji leży nad osią OX na całym przedziale, pole pod wykresem jest równe całce oznaczonej. Do takich zadań służy kalkulator całki oznaczonej i pola pod wykresem.
Pole między wykresami
Jeśli masz dwie funkcje, najpierw ustal, która jest wyżej. Potem całkujesz różnicę: funkcja górna minus funkcja dolna. W trudniejszych przykładach trzeba podzielić przedział w punktach przecięcia.
Szybka tabela: co zrobić w zadaniu?
| Treść zadania | Co robić? | Najlepsze narzędzie |
|---|---|---|
| „Oblicz całkę nieoznaczoną” | Znajdź funkcję pierwotną i dopisz +C. | Kalkulator całki nieoznaczonej |
| „Oblicz całkę od a do b” | Policz F(b)-F(a). | Kalkulator całki oznaczonej |
| „Oblicz pole pod wykresem” | Sprawdź, czy funkcja jest nad osią OX, potem policz całkę oznaczoną. | Pole pod wykresem |
| „Oblicz pole między wykresami” | Odejmij dolną funkcję od górnej i scałkuj na przedziale. | Pole między wykresami |
| „Sprawdź wynik całkowania” | Policz pochodną funkcji pierwotnej i zobacz, czy wraca funkcja podcałkowa. | Kalkulator pochodnej funkcji |
Całka oznaczona a pole geometryczne - kiedy dzielić przedział?
Jedna z najważniejszych różnic dotyczy znaku. Całka oznaczona opisuje pole zorientowane: fragmenty nad osią OX mają znak dodatni, a fragmenty pod osią OX znak ujemny. Pole geometryczne jest natomiast sumą dodatnich powierzchni. Jeżeli funkcja przecina oś OX, nie wolno bez sprawdzenia uznać, że wartość jednej całki jest polem całego obszaru.
Przykładowo funkcja f(x)=x na przedziale [-1,1] ma całkę równą 0, ponieważ ujemny fragment po lewej stronie znosi dodatni fragment po prawej. Pole geometryczne wynosi jednak 1: trzeba policzyć osobno pole na [-1,0] i [0,1] albo zastosować całkę z |x|. W zadaniach szkolnych najbezpieczniejsza procedura wygląda tak: znajdź miejsca zerowe, podziel przedział w tych punktach, ustal znak funkcji na każdym fragmencie, a następnie zmień znaki ujemnych całek na dodatnie wartości pól.
Podobna zasada obowiązuje przy polu między wykresami. Najpierw znajdujemy punkty przecięcia, a następnie sprawdzamy, która funkcja jest wyżej na każdym podprzedziale. Gdy kolejność wykresów się zmienia, całkę trzeba rozbić. Frazy „pole pod wykresem zadania”, „całka oznaczona a pole” i „kiedy dzielić przedział całkowania” dotyczą właśnie tej kontroli znaku i kolejności funkcji.
Dla uczniów: jak rozwiązać zadanie z całki krok po kroku?
Zacznij od przeczytania polecenia i zaznaczenia, czego szukasz. Jeśli w zapisie nie ma granic, zwykle chodzi o całkę nieoznaczoną, czyli rodzinę funkcji pierwotnych. Wynik powinien zawierać stałą C. Jeśli występują granice a i b, obliczasz liczbę ze wzoru F(b)-F(a) i nie dopisujesz C, ponieważ stałe odejmują się. Gdy w treści pojawia się słowo „pole”, potrzebna jest jeszcze analiza wykresu i znaku funkcji.
Następnie uporządkuj funkcję podcałkową. Wyłącz stały współczynnik przed znak całki, rozbij sumę na osobne składniki, usuń nawiasy albo skróć ułamek, jeśli jest to dozwolone przez dziedzinę. Dopasuj każdy składnik do wzoru z tablicy. Dla potęgi xⁿ zwiększasz wykładnik o jeden i dzielisz przez nowy wykładnik. Wyjątkiem jest n=-1, ponieważ całka z 1/x prowadzi do ln|x|. Warto ten wyjątek zapamiętać osobno.
Po otrzymaniu funkcji pierwotnej wykonaj kontrolę pochodną. Jeżeli po zróżniczkowaniu wraca dokładnie funkcja podcałkowa, rachunek jest prawdopodobnie poprawny. Przy całce oznaczonej podstawiaj granice w nawiasach: [F(b)]-[F(a)]. Nawias chroni przed błędem znaku, zwłaszcza gdy dolna granica jest ujemna albo funkcja pierwotna zawiera kilka składników.
W zadaniu o polu narysuj choćby prosty szkic. Zaznacz miejsca zerowe, punkty przecięcia i przedział. Pole ma jednostkę kwadratową, na przykład m², gdy oś pozioma i pionowa opisują długości. Sama całka może mieć inną interpretację fizyczną: całka z prędkości po czasie daje drogę ze znakiem, a całka z natężenia przepływu daje objętość. Dlatego końcowe zdanie powinno odpowiadać treści zadania, a nie ograniczać się do samej liczby.
Na sprawdzianie zapisuj rozwiązanie w czterech etapach: wzór, funkcja pierwotna, podstawienie granic lub stała C, a na końcu interpretacja. Taki zapis pozwala zdobyć część punktów nawet wtedy, gdy pojawi się drobny błąd rachunkowy. Ucząc się, rozwiązuj seriami: najpierw proste potęgi, potem wielomiany, następnie całki oznaczone, miejsca zerowe i dopiero pole między wykresami.
Gdzie całki pojawiają się poza zadaniami szkolnymi?
Droga z prędkości
Jeżeli znamy prędkość v(t), całka po czasie opisuje zmianę położenia. Gdy prędkość przyjmuje wartości ujemne, całka daje przemieszczenie ze znakiem, natomiast całkowita droga wymaga uwzględnienia wartości bezwzględnej.
Objętość i przepływ
Całkując natężenie przepływu w czasie, można obliczyć łączną objętość wody, paliwa lub powietrza. Jednostki pomagają sprawdzić sens: litry na minutę pomnożone przez minuty dają litry.
Ekonomia i statystyka
Pole pod krzywą może reprezentować skumulowany koszt, przychód albo prawdopodobieństwo. W rozkładach ciągłych całkowite pole pod funkcją gęstości wynosi 1, a pole na przedziale oznacza prawdopodobieństwo.
Te zastosowania pokazują, dlaczego warto pilnować jednostek i interpretacji. Całka jest sposobem sumowania bardzo małych zmian. Nie jest wyłącznie techniką rachunkową: łączy wykres, zmianę i łączny efekt na przedziale.
Plan nauki całek na 7 dni
| Dzień | Zakres | Ćwiczenie | Kontrola |
|---|---|---|---|
| 1 | Funkcja pierwotna i stała C | 10 całek ze stałej i xⁿ. | Sprawdź każdą pochodną. |
| 2 | Wielomiany | Całkuj sumy 3-5 składników. | Porównaj współczynniki. |
| 3 | Funkcje elementarne | sin, cos, eˣ, 1/x. | Zwróć uwagę na znaki i dziedzinę. |
| 4 | Całka oznaczona | 8 przykładów F(b)-F(a). | Stosuj nawiasy przy podstawieniu. |
| 5 | Pole i miejsca zerowe | 3 funkcje przecinające oś OX. | Porównaj całkę z polem geometrycznym. |
| 6 | Pole między wykresami | Wyznacz punkty przecięcia i funkcję górną. | Sprawdź wartość funkcji w środku przedziału. |
| 7 | Powtórka mieszana | Rozwiąż zadania bez podpowiedzi działu. | Nazwij metodę przed rozpoczęciem rachunków. |
Zadania z całek - sprawdź wynik
Rozwiąż zadanie samodzielnie, a potem kliknij „Pokaż wynik”. Odpowiedzi zawierają krótki tok obliczeń, żeby można było sprawdzić metodę.
Zadanie 1
Oblicz ∫ 4x3 dx.
Korzystamy ze wzoru ∫ axn dx = a·xn+1/(n+1)+C. Tutaj 4·x4/4 = x4.
Zadanie 2
Oblicz ∫ (3x2 + 2x - 5) dx.
Całkujemy każdy składnik osobno: ∫3x2dx=x3, ∫2xdx=x2, ∫-5dx=-5x.
Zadanie 3
Oblicz ∫03 2x dx.
Funkcja pierwotna to x2. Liczymy F(3)-F(0)=9-0=9.
Zadanie 4
Oblicz ∫12 x2 dx.
F(x)=x3/3. Mamy F(2)-F(1)=8/3-1/3=7/3.
Zadanie 5
Oblicz pole pod wykresem f(x)=x+1 na przedziale od 0 do 2.
Liczymy ∫02(x+1)dx = [x2/2+x]02 = 2+2=4.
Zadanie 6
Oblicz średnią wartość funkcji f(x)=2x na przedziale [0,4].
Średnia wartość to 1/(4-0) · ∫042x dx = 1/4 · [x2]04 = 16/4 = 4.
Zadanie 7
Oblicz pole między wykresami y=2x+1 oraz y=x na przedziale [0,1].
Funkcja górna to 2x+1, dolna to x. Liczymy ∫01(x+1)dx = [x2/2+x]01 = 1/2+1 = 3/2.
Zadanie 8
Oblicz pole między y=4 i y=x2 na przedziale [-2,2].
Na tym przedziale funkcja 4 jest nad x2. Liczymy ∫-22(4-x2)dx = [4x-x3/3]-22 = 32/3.
Zadanie 9
Oblicz ∫01 (6x2-2x) dx.
F(x)=2x3-x2. Liczymy F(1)-F(0)=2-1=1.
Zadanie 10
Sprawdź, czy F(x)=x3+2x jest funkcją pierwotną f(x)=3x2+2.
Pochodna F'(x)=3x2+2, czyli dokładnie f(x).
Ciekawostka: całka oznaczona może być ujemna
Całka oznaczona nie zawsze jest tym samym co pole geometryczne. Jeśli wykres leży pod osią OX, wynik całki jest ujemny. Dlatego przy poleceniu „oblicz pole” trzeba uważać: pole geometryczne jest dodatnie, a całka może zliczać fragmenty nad osią dodatnio i pod osią ujemnie.
Najczęstsze błędy w zadaniach z całek
- Brak stałej C przy całce nieoznaczonej.
- Mylenie całki oznaczonej z nieoznaczoną: w oznaczonej wynik jest liczbą, a nie funkcją z C.
- Podstawienie granic w złej kolejności: powinno być F(b)-F(a), a nie F(a)-F(b).
- Liczenie pola pod osią OX bez zmiany znaku na dodatnie pole geometryczne.
- Przy polu między wykresami odejmowanie funkcji w złej kolejności.
- Pomijanie punktów przecięcia, gdy funkcje zmieniają kolejność na przedziale.
Unikatowa sekcja: jak odróżnić typ zadania z całek?
Jest „dx” i brak granic
To zwykle całka nieoznaczona. Szukasz funkcji pierwotnej i dopisujesz +C.
Są granice od a do b
To całka oznaczona. Szukasz funkcji pierwotnej, ale kończysz wynikiem liczbowym F(b)-F(a).
W treści jest „pole”
Sprawdź położenie wykresu względem osi OX albo ustal funkcję górną i dolną. Sam wynik całki nie zawsze wystarcza.
Jak ocenić, czy wynik całki jest rozsądny?
Oprócz kontroli pochodną warto wykonać kontrolę liczbową i geometryczną. Jeżeli funkcja jest dodatnia na przedziale długości 2 i przyjmuje wartości mniej więcej od 3 do 5, pole powinno mieć wielkość kilku jednostek kwadratowych, orientacyjnie między 6 a 10. Wynik ujemny albo równy 100 powinien od razu skłonić do sprawdzenia granic i rachunków.
Przy funkcji rosnącej średnia wartość na przedziale powinna zwykle leżeć między wartością na początku i końcu. W polu między wykresami wynik nie może być ujemny, jeżeli prawidłowo odejmujesz funkcję dolną od górnej. Takie szybkie oszacowanie nie zastępuje rozwiązania, ale wykrywa odwrócone granice, zgubiony minus, błędny punkt przecięcia lub niewłaściwą funkcję górną.
Wskazówka od KalkulatorXXL
W zadaniach z całek pracuj w tej kolejności: rozpoznaj typ zadania, znajdź funkcję pierwotną, sprawdź granice całkowania i dopiero wtedy podstaw liczby. Jeśli liczysz pole między wykresami, najpierw narysuj prosty szkic albo porównaj wartości funkcji w środku przedziału. Do powtórki z wcześniejszego działu przyda się tablica pochodnych, stycznej i ekstremów, bo szybkie sprawdzenie wyniku całki polega właśnie na policzeniu pochodnej funkcji pierwotnej.