Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty. Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty.
Przejdź do treści

Tablica całek – wzory i pole pod wykresem

Najważniejsze wzory na całki nieoznaczone i oznaczone, pole pod wykresem, pole między wykresami oraz przykłady do szybkiego sprawdzenia.

tablica całek

Najważniejsze wzory w jednym miejscu

Zacznij od tabeli wzorów. Jeżeli potrzebujesz automatycznego obliczenia, przejdź do odpowiedniego kalkulatora całki lub pola.

Tablica całek – najważniejsze wzory

Funkcja / zagadnienieWzór / reguła
Stała∫ c dx = cx + C
Potęga∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, n ≠ -1
1/x∫ 1/x dx = ln|x| + C
e^x∫ e^x dx = e^x + C
a^x∫ a^x dx = a^x/ln(a) + C, a > 0, a ≠ 1
sin x∫ sin x dx = -cos x + C
cos x∫ cos x dx = sin x + C
1/cos²x∫ 1/cos²x dx = tg x + C
1/sin²x∫ 1/sin²x dx = -ctg x + C
1/(1+x²)∫ dx/(1+x²) = arctg x + C
1/√(1-x²)∫ dx/√(1-x²) = arcsin x + C
f'(x)/f(x)∫ f'(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C, f(x) ≠ 0
Całka oznaczona∫ od a do b f(x) dx = F(b) - F(a)
Pole pod wykresemP = ∫ od a do b f(x) dx, gdy f(x) ≥ 0 na [a,b]
Pole geometryczneP = ∫ od a do b |f(x)| dx
Pole między wykresamiP = ∫ od a do b [górna(x) - dolna(x)] dx

Uwaga: przy polu geometrycznym sprawdź miejsca zerowe i punkty przecięcia. Gdy znak lub kolejność funkcji się zmienia, podziel przedział.

kalkulatorxxl.pl

Tablica całek – podstawowe i najczęstsze wzory

To główna ściąga do całkowania. Przy całce nieoznaczonej wynik jest rodziną funkcji pierwotnych i zawiera +C. Przy całce oznaczonej wykorzystujesz funkcję pierwotną do obliczenia F(b)-F(a).

FunkcjaCałkaWarunek / uwagaPrzykład
c∫ c dx = cx + Cc jest stałą.∫ 5 dx = 5x + C
xn∫ xn dx = xn+1/(n+1) + Cn ≠ -1∫ x2 dx = x3/3 + C
axn∫ axn dx = a·xn+1/(n+1) + CStały współczynnik można wyłączyć przed całkę.∫ 6x2 dx = 2x3 + C
1/x∫ 1/x dx = ln|x| + Cx ≠ 0Osobny przypadek wzoru potęgowego.
ex∫ ex dx = ex + CPochodna ex jest równa ex.∫ 4ex dx = 4ex + C
ax∫ ax dx = ax/ln a + Ca > 0 i a ≠ 1Dla a=e mianownik wynosi 1.
sin x∫ sin x dx = -cos x + CMinus jest konieczny.(-cos x)' = sin x
cos x∫ cos x dx = sin x + CPodstawowa para pochodna–całka.(sin x)' = cos x
1/cos²x∫ 1/cos²x dx = tg x + CNa przedziałach, gdzie cos x ≠ 0.(tg x)' = 1/cos²x
1/sin²x∫ 1/sin²x dx = -ctg x + CNa przedziałach, gdzie sin x ≠ 0.(-ctg x)' = 1/sin²x
1/(1+x²)∫ dx/(1+x²) = arctg x + CWzór często pojawia się po podstawieniu.(arctg x)' = 1/(1+x²)
1/√(1-x²)∫ dx/√(1-x²) = arcsin x + CDla wartości rzeczywistych: |x| < 1.(arcsin x)' = 1/√(1-x²)
f'(x)/f(x)∫ f'(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + CNa przedziale, gdzie f(x) ≠ 0.∫ 2x/(x²+5) dx = ln(x²+5) + C

Całka nieoznaczona, oznaczona i pole – czym się różnią?

PojęcieZapisCo oznacza?Przykład
Całka nieoznaczona∫ f(x) dx = F(x)+CSzukamy funkcji pierwotnej F, dla której F'(x)=f(x).∫ 2x dx = x2+C
Stała całkowania+CRóżne funkcje pierwotne mogą różnić się o stałą.x2+5 i x2-3 mają pochodną 2x.
Całka oznaczona∫ab f(x) dxDaje liczbę: F(b)-F(a).∫02 2x dx = 4
Pole pod wykresemP = ∫ab f(x) dxTak, jeśli f(x) ≥ 0 na całym przedziale.∫03 x dx = 9/2
Pole geometryczneP = ∫ab|f(x)|dxFragmenty pod osią OX liczymy jako dodatnią powierzchnię.Dla f(x)=x na [-1,1] pole wynosi 1.
Pole między wykresamiP = ∫ [górna-dolna] dxNa każdym fragmencie odejmujemy funkcję dolną od górnej.∫01[(2x+1)-x]dx = 3/2

Wyszukaj wzór lub pojęcie w tablicy

Wpisz np. sin, ln, pole albo F(b)-F(a). Filtr obejmuje tabele wzorów, pojęć i schematów.

Wyświetlane są wszystkie pozycje.

Jak wybrać metodę całkowania?

Najpierw uprość wyrażenie i sprawdź, czy pasuje bezpośrednio do wzoru z tablicy. Dopiero później sięgaj po podstawienie lub całkowanie przez części.

Podstawienie

Jeżeli obok funkcji złożonej występuje jej pochodna, podstawienie może sprowadzić całkę do prostego wzoru.

u=g(x),   du=g'(x)dx

Przykład: ∫2x·cos(x²)dx = sin(x²)+C.

Całkowanie przez części

Przydaje się m.in. dla iloczynu wielomianu i funkcji wykładniczej, logarytmicznej lub trygonometrycznej.

∫u dv = uv - ∫v du

Przykład: ∫x·exdx = ex(x-1)+C.

Uproszczenie

Rozwiń nawiasy, skróć ułamki i rozdziel sumę. Dla x≠0: (x²+2x)/x = x+2.

Kontrola pochodną

Po obliczeniu całki nieoznaczonej zróżniczkuj wynik. Powinna wrócić funkcja podcałkowa.

Jak obliczyć całkę oznaczoną?

1. Znajdź funkcję pierwotną

F'(x)=f(x)

Dla f(x)=2x można przyjąć F(x)=x².

2. Podstaw granice

F(b) i F(a)

Najpierw górna, potem dolna granica.

3. Odejmij

∫abf(x)dx = F(b)-F(a)

W całce oznaczonej nie dopisujemy +C.

Przykład: ∫022x dx = [x²]02 = 4.

Pole pod wykresem i pole między wykresami

Pole pod wykresem

Jeżeli f(x) jest nieujemna na całym przedziale, pole pod wykresem jest równe całce oznaczonej.

P = ∫ab f(x) dx

Kalkulator całki oznaczonej i pola pod wykresem

Pole między wykresami

Ustal funkcję górną i dolną. Jeśli ich kolejność zmienia się w przedziale, podziel obliczenie w punktach przecięcia.

P = ∫ab[fgórna(x)-fdolna(x)]dx

Kalkulator pola między wykresami

Szybka tabela: co zrobić w zadaniu?

Treść zadaniaCo zrobić?Narzędzie
„Oblicz całkę nieoznaczoną”Znajdź funkcję pierwotną i dopisz +C.Całka nieoznaczona
„Oblicz całkę od a do b”Znajdź F(x), a następnie policz F(b)-F(a).Całka oznaczona
„Oblicz pole pod wykresem”Sprawdź znak funkcji. Jeśli jest ujemna na części przedziału, rozbij pole na fragmenty.Pole pod wykresem
„Oblicz pole między wykresami”Znajdź punkty przecięcia i całkuj różnicę górna minus dolna.Pole między wykresami
„Sprawdź wynik całkowania”Policz pochodną funkcji pierwotnej.Kalkulator pochodnej

Całka oznaczona a pole geometryczne – kiedy dzielić przedział?

Całka oznaczona jest polem zorientowanym: fragment nad osią OX wnosi wartość dodatnią, a fragment pod osią OX ujemną. Pole geometryczne jest sumą dodatnich powierzchni.

P = ∫ab|f(x)|dx

Dla f(x)=x na przedziale [-1,1] całka oznaczona wynosi 0, ponieważ fragmenty się znoszą. Pole geometryczne wynosi 1. W praktyce znajdź miejsca zerowe, podziel przedział i policz dodatnie pola osobno.

Ta sama zasada dotyczy dwóch wykresów: jeśli funkcje zamieniają się miejscami, podziel przedział w punktach przecięcia.

Przykładowe zadania z całek – sprawdź wynik

Rozwiąż przykład samodzielnie, a następnie rozwiń wynik. Każde rozwiązanie zawiera krótki tok obliczeń.

Zadanie 1

Oblicz ∫ 4x3 dx.

Pokaż wynikUkryj wynik
x4 + C

4·x4/4 = x4.

Zadanie 2

Oblicz ∫ (3x2 + 2x - 5) dx.

Pokaż wynikUkryj wynik
x3 + x2 - 5x + C

Całkuj każdy składnik osobno.

Zadanie 3

Oblicz ∫03 2x dx.

Pokaż wynikUkryj wynik
9

F(x)=x², więc F(3)-F(0)=9.

Zadanie 4

Oblicz ∫12 x2 dx.

Pokaż wynikUkryj wynik
7/3

F(x)=x³/3, więc 8/3-1/3=7/3.

Zadanie 5

Pole pod f(x)=x+1 na [0,2].

Pokaż wynikUkryj wynik
4

∫02(x+1)dx = [x²/2+x]02 = 4.

Zadanie 6

Pole między y=2x+1 i y=x na [0,1].

Pokaż wynikUkryj wynik
3/2

∫01(x+1)dx = 3/2.

Wskazówka od KalkulatorXXL

Najpierw rozpoznaj typ zadania. Brak granic zwykle oznacza całkę nieoznaczoną i +C. Granice a, b oznaczają F(b)-F(a). Przy słowie „pole” dodatkowo sprawdź znak funkcji albo kolejność dwóch wykresów.

Powiązane kalkulatory i poradnik

Całka nieoznaczona
Funkcja pierwotna i stała C.
Całka oznaczona
F(b)-F(a), pole i średnia wartość.
Pole między wykresami
Punkty przecięcia i całka z różnicy.
Jak liczyć całki
Poradnik krok po kroku z przykładami.

FAQ – najczęstsze pytania o całki i pole pod wykresem

Uprość funkcję, dopasuj każdy składnik do wzoru, zapisz funkcję pierwotną i dodaj stałą C. Na końcu policz pochodną wyniku, aby sprawdzić, czy wraca funkcja podcałkowa.

Pochodna każdej stałej wynosi zero, dlatego wiele funkcji różniących się stałą ma tę samą pochodną. Symbol C opisuje całą rodzinę funkcji pierwotnych.

Znajdź funkcję pierwotną F, a następnie oblicz F(b)-F(a). W całce oznaczonej nie dopisuje się C, ponieważ stałe skracają się podczas odejmowania.

Nie. Całka jest polem zorientowanym: fragmenty pod osią OX mają znak ujemny. Pole geometryczne jest dodatnie i może wymagać podziału przedziału w miejscach zerowych.

Znajdź miejsca zerowe, podziel przedział i policz całki na każdym fragmencie. Ujemne wartości całek zamień na dodatnie pola albo zastosuj całkę z wartości bezwzględnej funkcji.

Wyznacz punkty przecięcia, ustal funkcję górną i dolną, a następnie całkuj różnicę górna minus dolna. Jeżeli kolejność funkcji się zmienia, podziel przedział.

Podstawienie jest wygodne, gdy występuje funkcja złożona i obok jej pochodna, na przykład 2x·cos(x²). Wtedy nowa zmienna upraszcza całkę do znanego wzoru.

Najczęściej przy iloczynach, takich jak wielomian razy funkcja wykładnicza, trygonometryczna lub logarytmiczna. Korzysta się ze wzoru ∫u dv = uv - ∫v du.

Policz pochodną otrzymanej funkcji pierwotnej. Jeśli wynik jest identyczny z funkcją podcałkową na rozpatrywanym przedziale, całka nieoznaczona została obliczona poprawnie.

Dla x do potęgi -1 wzór potęgowy prowadziłby do dzielenia przez zero. Osobny wzór to ∫1/x dx = ln|x| + C.

To sposób obliczania całki oznaczonej na podstawie twierdzenia Newtona-Leibniza. F jest funkcją pierwotną funkcji podcałkowej, b jest górną granicą, a a dolną granicą całkowania.

Dla a≠b podziel całkę oznaczoną przez długość przedziału: wartość średnia = 1/(b-a) · ∫ od a do b z f(x) dx.

Jeśli obie osie opisują długość, pole ma jednostkę kwadratową. W innych zastosowaniach jednostka wynika z iloczynu jednostki funkcji i jednostki zmiennej całkowania.

Ostatnia aktualizacja: 24.09.2026