Amplituda i przesunięcie funkcji sinus - kalkulator

Na czym polega problem matematyczny z amplitudą i przesunięciem sinusa?

Zadanie polega na rozpoznaniu, jak współczynniki w funkcji f(x)=A·sin(kx+p)+q zmieniają podstawowy wykres y=sin x. Nie wystarczy odczytać czterech liczb. Trzeba wiedzieć, która z nich odpowiada za zmianę pionową, która za zmianę poziomą oraz dlaczego składnik p nie jest bezpośrednio przesunięciem wykresu.

Najważniejszy krok dotyczy argumentu sinusa. Wyrażenie kx+p można wyłączyć przed nawias:

Stąd rzeczywiste przesunięcie poziome wynosi h=-p/k. To właśnie znak minus jest częstym źródłem błędów. Dla przykładu sin(2x-π/2) zapisujemy jako sin(2(x-π/4)), więc wykres jest przesunięty w prawo o π/4, a nie o π/2.

Drugi problem to odróżnienie amplitudy od maksimum. Amplituda wynosi |A|, czyli odległość od osi środkowej y=q do maksimum lub minimum. Maksymalna wartość funkcji to natomiast q+|A|, a minimalna q-|A|. Jeżeli A jest ujemne, wykres jest dodatkowo odbity względem osi środkowej, ale amplituda nadal pozostaje dodatnia.

W zapisie spotykanym w podręcznikach funkcja może mieć postać a·sin(bx+c)+d. To ten sam problem: a=A, b=k, c=p, d=q.

Co oznaczają A, k, p i q?

Dla ucznia - jak rozwiązać zadanie krok po kroku?

Najbezpieczniej rozwiązywać każde zadanie w tej samej kolejności. Weźmy funkcję f(x)=-3sin(2x-π/2)+1.

Jeśli masz problem z samą fazą i znakiem przesunięcia, osobno przećwicz fazę i przesunięcie fazowe. W tym kalkulatorze skupiamy się przede wszystkim na pełnym odczycie parametrów funkcji sinus.

Jak obliczyć amplitudę, okres i zbiór wartości funkcji sinus?

Dla właściwej sinusoidy, czyli gdy A≠0 i k≠0, używamy trzech podstawowych zależności:

Dla przykładu f(x)=4sin(3x)-2 amplituda wynosi 4, okres 2π/3, oś środkowa to y=-2, minimum wynosi -6, a maksimum 2.

Jeżeli w zadaniu potrzebujesz wartości sinusa dla konkretnego kąta, a nie parametrów całej funkcji, skorzystaj z kalkulatora wartości sin, cos, tan i cot. Podstawowe kąty i zamianę stopni na radiany znajdziesz też w tablicy trygonometrycznej.

Przesunięcie sinusa: dlaczego nie wystarczy odczytać p?

W funkcji sin(kx+p) parametr p jest częścią argumentu, natomiast przesunięcie wykresu na osi x wynosi -p/k. Jeśli k=1, łatwo tego nie zauważyć, bo wtedy przesunięcie jest po prostu -p. Przy k różnym od 1 trzeba jednak najpierw wyłączyć k przed nawias.

W tym przykładzie wykres przesuwa się o 0,5 w lewo. Znak w nawiasie działa odwrotnie: zapis x+0,5 oznacza przesunięcie w lewo, a x-0,5 w prawo.

Więcej o samych przekształceniach wykresów i funkcjach znajdziesz w poradniku funkcji trygonometrycznych krok po kroku oraz w Akademii funkcji, wykresów i analizy funkcji.

Co się dzieje, gdy A=0 albo k=0?

To ważny przypadek brzegowy. Jeśli A=0, cały składnik sinusoidalny znika i funkcja ma postać f(x)=q. Jeśli k=0, argument sinusa nie zależy od x, więc funkcja także jest stała: f(x)=A·sin(p)+q.

Funkcja stała nie ma jednego najmniejszego dodatniego okresu podstawowego: każda dodatnia liczba może być jej okresem. Dlatego kalkulator nie stosuje wtedy mechanicznie wzoru 2π/|k| i nie pokazuje sztucznego przedziału [q-|A|,q+|A|]. Zamiast tego oblicza rzeczywistą stałą wartość funkcji i zwraca jednoelementowy zbiór wartości.

To rozróżnienie jest szczególnie ważne w zadaniach, w których trzeba nie tylko podstawić wzór, ale też poprawnie zinterpretować funkcję.

Najczęstsze błędy w zadaniach z funkcją sinus

• Amplituda z minusem: dla A=-5 amplituda wynosi 5, nie -5.
• Okres liczony z A: okres zależy od |k|, nie od amplitudy.
• Przesunięcie równe p: poprawny wzór to h=-p/k.
• Mylenie amplitudy z maksimum: maksimum wynosi q+|A|.
• Ignorowanie przypadku stałego: A=0 lub k=0 zmienia charakter funkcji.
• Mieszanie stopni i radianów: p musi być podane w tej samej jednostce, w której interpretujesz argument.

3 krótkie zadania do samodzielnego policzenia

Wpisz odpowiedź i kliknij Oblicz. Wynik nie jest pokazany przed próbą.