Zostań w temacie: poradnik, tablica czy kalkulator?
Ten poradnik służy do zrozumienia zależności i analizy funkcji. Jeżeli szukasz tylko wartości dla 0°, 30°, 45°, 60° i 90°, właściwa jest tablica. Jeżeli chcesz obliczyć wartość dla własnego kąta, użyj kalkulatora.
Sinus, cosinus, tangens i cotangens – co oznaczają?
W trójkącie prostokątnym funkcje trygonometryczne opisują stosunki długości boków względem wybranego kąta ostrego. Gdy przechodzimy do funkcji sin x, cos x, tg x i ctg x, argument może być dowolnym dozwolonym kątem, a własności funkcji analizujemy na osi liczbowej i wykresie.
Sinus i cosinus
cos α = bok przyległy / przeciwprostokątna
Tangens i cotangens
ctg α = bok przyległy / bok przeciwległy
Jeśli zadanie dotyczy konkretnych boków trójkąta, skorzystaj z kalkulatora trygonometrii w trójkącie. W tym poradniku skupiamy się przede wszystkim na funkcjach i ich własnościach.
Jak obliczyć tangens i cotangens z sinusa i cosinusa?
Tangens i cotangens można zapisać za pomocą sinusa i cosinusa:
Te wzory od razu wyjaśniają ograniczenia dziedziny: tangens nie istnieje tam, gdzie cos x = 0, a cotangens tam, gdzie sin x = 0.
Tam, gdzie obie funkcje są określone, zachodzi również ctg x = 1 / tg x oraz tg x · ctg x = 1.
Przykład: tg i ctg bez tablicy wartości
Jeżeli w zadaniu wiadomo, że dla danego kąta:
to tangens obliczasz z ilorazu:
a cotangens:
To przykład metody. Gotowe wartości dla kątów szczególnych zostają w tablicy sin, cos i tg, żeby poradnik nie powielał roli ściągi.
Dziedzina – dlaczego tg i ctg mają przerwy?
Sinus i cosinus są określone dla każdej liczby rzeczywistej. Tangens i cotangens są ilorazami, dlatego trzeba wykluczyć miejsca, w których mianownik jest równy zero.
| Funkcja | Dziedzina | Dlaczego? |
|---|---|---|
| sin x | ℝ | jest określony dla każdego argumentu rzeczywistego |
| cos x | ℝ | jest określony dla każdego argumentu rzeczywistego |
| tg x | ℝ bez x = π/2 + kπ | w tych punktach cos x = 0 |
| ctg x | ℝ bez x = kπ | w tych punktach sin x = 0 |
Litera k oznacza dowolną liczbę całkowitą, więc zapis obejmuje wszystkie powtarzające się wykluczenia.
Zbiór wartości i miejsca zerowe
Sinus i cosinus przyjmują wartości wyłącznie od −1 do 1. Tangens i cotangens nie mają takiego ograniczenia — ich wartości mogą być dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
Jak rozpoznać wykres sinusa i cosinusa?
Sinus i cosinus mają ten sam okres i ten sam zbiór wartości, ale różnią się położeniem względem osi x.
sin x
Dla x = 0 ma wartość 0. Wykres przechodzi więc przez początek układu współrzędnych i początkowo rośnie.
cos x
Dla x = 0 ma wartość 1. To najszybsza cecha pozwalająca odróżnić go od podstawowego wykresu sinusa.
Te funkcje są przesuniętymi wersjami tej samej fali:
Jak wygląda wykres tangensa i cotangensa?
Tangens i cotangens różnią się od sinusa i cosinusa przede wszystkim tym, że mają przerwy w dziedzinie i nie mają ograniczonego zbioru wartości. W pobliżu punktów wykluczonych ich wykresy zbliżają się do pionowych asymptot.
Tangens ma asymptoty tam, gdzie cos x = 0, czyli przy x = π/2 + kπ. Cotangens ma asymptoty tam, gdzie sin x = 0, czyli przy x = kπ.
Jeżeli szukasz konkretnej wartości, np. ctg 30° albo tg 45°, nie jest to zadanie o analizie wykresu — szybciej sprawdzisz je w tablicy wartości trygonometrycznych.
Ciekawostka
Tangens i cotangens są względem siebie odwrotnościami tylko tam, gdzie obie funkcje są określone. Nie można więc mechanicznie pisać „ctg = 1/tg” bez sprawdzenia dziedziny.
Na przykład dla x = 0 tangens istnieje i wynosi 0, ale 1/0 nie istnieje — dokładnie tak samo cotangens w tym punkcie nie jest określony.
Okres funkcji – co oznacza i jak go obliczyć?
Okres mówi, po jakim przesunięciu wykres zaczyna się powtarzać. Dla podstawowych funkcji:
Jeżeli argument ma postać kx, współczynnik k zmienia okres:
Amplituda – kiedy ma sens?
Dla funkcji A·sin(kx) i A·cos(kx) liczba |A| opisuje amplitudę, czyli maksymalne wychylenie od osi środkowej.
Tangens i cotangens nie mają amplitudy w tym samym znaczeniu, ponieważ ich wartości nie są ograniczone do zamkniętego przedziału.
Jeżeli w zadaniu pojawiają się przesunięcia typu sin(x − a) albo cos(x + a), zobacz również poradnik przekształceń wykresów funkcji.
Proste równania trygonometryczne – skąd bierze się k?
Funkcje trygonometryczne są okresowe, dlatego jedno równanie zwykle ma nieskończenie wiele rozwiązań. Zmienna k ∈ ℤ zapisuje wszystkie rozwiązania powtarzające się wraz z okresem.
sin x = 0
cos x = 0
W bardziej złożonych równaniach najpierw znajdujesz rozwiązania podstawowe, a potem uwzględniasz okres funkcji.
Dla uczniów: schemat analizy funkcji trygonometrycznej
- Rozpoznaj funkcję: sin, cos, tg czy ctg.
- Sprawdź dziedzinę: szczególnie przy tg i ctg.
- Ustal zbiór wartości.
- Znajdź okres i sprawdź współczynnik przy x.
- Wyznacz miejsca zerowe.
- Dopiero potem analizuj wykres, przesunięcia i równania.
Najczęstsze błędy
- traktowanie tg i ctg jak funkcji określonych dla wszystkich liczb rzeczywistych,
- mylenie wzorów tg = sin/cos i ctg = cos/sin,
- zapominanie o warunku, że mianownik nie może być równy zero,
- przypisywanie tangensowi lub cotangensowi zbioru wartości [−1,1],
- podawanie okresu sin(kx) jako 2π bez podzielenia przez |k|,
- mylenie amplitudy z okresem,
- podawanie jednego rozwiązania równania okresowego bez zapisu z k.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Jeżeli trafisz na zadanie z tg albo ctg, zanim zaczniesz liczyć, zapisz ich definicję przez sinus i cosinus. To od razu pokazuje zarówno sposób obliczenia, jak i miejsca, w których funkcja nie istnieje.
Przy kątach szczególnych nie rozbudowuj rachunku bez potrzeby — wartości odczytaj z tablicy, a poradnik wykorzystaj do zrozumienia, dlaczego wykres, dziedzina i okres wyglądają właśnie tak.
Zobacz cały pakiet: Akademia funkcji, wykresów i analizy funkcji porządkuje wzory, kalkulatory, tablice i kolejne kroki analizy od prostych wykresów po pochodne i całki.