Po co uczyć się przekształceń wykresów?
Przekształcenia wykresów funkcji pozwalają narysować nowy wykres bez liczenia całej tabeli wartości. Jeśli znasz wykres funkcji f, możesz szybko opisać wykres f(x)+3, f(x-2), -f(x), f(-x), 2f(x) albo |f(x)|. Najważniejsze jest rozpoznanie, czy zmiana dotyczy wartości funkcji, czyli osi Y, czy argumentu, czyli osi X.
Do szybkiego zestawienia reguł użyj tablicy przekształcenia wykresów funkcji. Jeśli potrzebujesz podstaw odczytywania wykresu, otwórz poradnik jak odczytywać wykres funkcji.
Najważniejsza zasada: poza funkcją czy przy argumencie?
Jeżeli zmiana jest poza symbolem funkcji, np. f(x)+4, to przesuwasz albo skalujesz wartości y. Jeżeli zmiana jest przy argumencie, np. f(x-4), to zmieniasz położenie na osi X. Przy osi X kierunek jest odwrotny niż podpowiada zapis: f(x-4) przesuwa wykres w prawo, a f(x+4) w lewo.
Zmiana poza funkcją
Zmienia wartości y: przesuwa w górę lub dół, odbija względem osi X albo skaluje pionowo.
Zmiana przy argumencie
Zmienia argumenty x: przesuwa poziomo, odbija względem osi Y albo skaluje poziomo.
Krok 1: przesunięcie w pionie
Przesunięcie w pionie jest najłatwiejsze. Do każdej wartości funkcji dodajesz tę samą liczbę albo odejmujesz tę samą liczbę. Dziedzina się nie zmienia, a zbiór wartości przesuwa się razem z wykresem.
| Zapis | Efekt | Co dzieje się z punktem (x,y)? | Przykład |
|---|---|---|---|
| f(x)+q | w górę o q | (x,y) → (x,y+q) | x²+3 ma wierzchołek (0,3) |
| f(x)-q | w dół o q | (x,y) → (x,y-q) | x²-5 ma wierzchołek (0,-5) |
Krok 2: przesunięcie w poziomie
Przesunięcie w poziomie wymaga największej uwagi, bo znak w nawiasie działa odwrotnie. Wykres f(x-p) przesuwasz w prawo o p, a wykres f(x+p) w lewo o p. Ta zasada działa dla prostej, paraboli, sinusa, logarytmu i każdej innej funkcji.
| Zapis | Efekt | Co dzieje się z punktem (x,y)? | Przykład |
|---|---|---|---|
| f(x-p) | w prawo o p | (x,y) → (x+p,y) | (x-2)² ma wierzchołek (2,0) |
| f(x+p) | w lewo o p | (x,y) → (x-p,y) | (x+4)² ma wierzchołek (-4,0) |
Przy parabolach możesz porównać to z poradnikiem funkcja kwadratowa krok po kroku.
Krok 3: odbicie względem osi X i Y
Odbicie względem osi X zmienia znak wartości y, dlatego we wzorze pojawia się minus przed funkcją. Odbicie względem osi Y zmienia znak argumentu x, dlatego minus trafia do środka funkcji.
Odbicie względem osi X
Punkt (x,y) przechodzi w (x,-y). Wykres odwraca się góra-dół.
Odbicie względem osi Y
Punkt (x,y) przechodzi w (-x,y). Wykres odbija się lewo-prawo.
Przykład
Jeśli f(x)=x²+2x, to -f(x)=-x²-2x jest odbiciem względem osi X, a f(-x)=x²-2x jest odbiciem względem osi Y.
Krok 4: rozciąganie i zwężanie w pionie
Mnożenie całej funkcji przez liczbę zmienia wartości y. Jeżeli mnożysz przez liczbę większą od 1, wykres rozciąga się w pionie. Jeżeli przez liczbę z przedziału od 0 do 1, wykres zwęża się w pionie. Jeżeli współczynnik jest ujemny, dochodzi odbicie względem osi X.
| Zapis | Efekt | Punkt (x,y) przechodzi w |
|---|---|---|
| 2f(x) | rozciągnięcie w pionie 2 razy | (x,2y) |
| 0,5f(x) | zwężenie w pionie 2 razy | (x,0,5y) |
| -3f(x) | odbicie i rozciągnięcie w pionie 3 razy | (x,-3y) |
Krok 5: rozciąganie i zwężanie w poziomie
Zmiana w postaci f(kx) działa na oś X. Tutaj efekt jest odwrotny: dla k>1 wykres zwęża się w poziomie, a dla 0<k<1 rozciąga się w poziomie. W zadaniach to często najtrudniejszy punkt.
| Zapis | Efekt | Punkt (x,y) przechodzi w |
|---|---|---|
| f(2x) | zwężenie w poziomie 2 razy | (x/2,y) |
| f(0,5x) | rozciągnięcie w poziomie 2 razy | (2x,y) |
| f(-2x) | odbicie względem osi Y i zwężenie w poziomie | (-x/2,y) |
Krok 6: wartość bezwzględna na wykresie
Zapisy |f(x)| i f(|x|) wyglądają podobnie, ale dają inne wykresy. W pierwszym zmieniasz ujemne wartości y na dodatnie. W drugim bierzesz prawą stronę wykresu i odbijasz ją względem osi Y.
Wykres |f(x)|
Część wykresu pod osią X odbija się nad oś X. Część nad osią X zostaje bez zmian.
Wykres f(|x|)
Prawa część wykresu zostaje, a jej odbicie względem osi Y tworzy lewą część.
Do działań z modułem przyda się kalkulator wartości bezwzględnej.
Kolejność przekształceń w złożonym przykładzie
Jeżeli we wzorze pojawia się kilka zmian, rozbij zapis na proste etapy. Najpierw rozpoznaj przesunięcie poziome, potem skalowanie i odbicie, a na końcu przesunięcie pionowe.
Przykład 1
g(x)=2f(x-3)+1. Wykres f przesuwasz w prawo o 3, rozciągasz pionowo 2 razy i przesuwasz w górę o 1.
Przykład 2
g(x)=-f(x+4)-2. Wykres f przesuwasz w lewo o 4, odbijasz względem osi X i przesuwasz w dół o 2.
Przykłady na paraboli y=x²
| Funkcja | Opis przekształcenia | Wierzchołek |
|---|---|---|
| y=x²+5 | w górę o 5 | (0,5) |
| y=(x-3)² | w prawo o 3 | (3,0) |
| y=(x+2)²-4 | w lewo o 2 i w dół o 4 | (-2,-4) |
| y=-x² | odbicie względem osi X | (0,0), ramiona w dół |
| y=3x² | rozciągnięcie pionowe 3 razy | (0,0), parabola węższa |
| y=0,5x² | zwężenie pionowe | (0,0), parabola szersza |
Najczęstsze błędy przy przekształceniach
- Przesuwanie f(x-3) w lewo zamiast w prawo.
- Mylenie -f(x) z f(-x).
- Uznanie f(2x) za rozciągnięcie w poziomie zamiast zwężenia.
- Pomijanie kolejności działań w zapisie 2f(x-1)+3.
- Mylenie |f(x)| z f(|x|).
- Przesuwanie tylko jednego punktu zamiast całego wykresu.
- Brak sprawdzenia, jak zmienia się dziedzina po przesunięciu poziomym.
Ciekawostka: jedna reguła działa dla wielu funkcji
Te same przekształcenia działają dla prostej, paraboli, sinusa, logarytmu i funkcji wykładniczej. Zmienia się kształt wykresu, ale zasada przesunięcia, odbicia albo skalowania pozostaje taka sama.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przy każdym przekształceniu podkreśl dwie rzeczy: co stoi poza funkcją i co stoi przy argumencie. Poza funkcją zmienia wartości y, a przy argumencie zmienia x. Ta jedna zasada rozwiązuje większość zadań z przesuwania wykresów.
Zobacz cały pakiet: Akademia funkcji, wykresów i analizy funkcji porządkuje wzory, kalkulatory, tablice i kolejne kroki analizy od prostych wykresów po pochodne i całki.