Jak działa przekształcanie wykresów?
Przekształcenia wykresów funkcji pozwalają narysować nowy wykres bez tworzenia całej tabeli wartości od początku. Wystarczy wiedzieć, czy zmiana dotyczy wartości funkcji, czyli osi Y, czy argumentu, czyli osi X. To rozróżnienie jest najważniejsze przy zadaniach typu „narysuj wykres f(x)+3”, „jak przesunąć wykres o 2 w prawo”, „co oznacza -f(x)” albo „jak wygląda wykres |f(x)|”.
Jeśli dopiero powtarzasz podstawy funkcji, zacznij od tablicy funkcje: dziedzina, zbiór wartości i wykresy. Przy prostej przyda się tablica funkcja liniowa: wzory, wykres i miejsce zerowe, a przy parabolach tablica funkcja kwadratowa: parabola, delta i miejsca zerowe.
Najważniejsza zasada: zmiana przy funkcji czy przy argumencie?
Jeżeli coś dodajesz poza nawiasem, np. f(x)+3, zmieniasz wartości funkcji i wykres przesuwa się w pionie. Jeżeli coś zmieniasz przy argumencie, np. f(x-3), zmieniasz położenie na osi X i wykres przesuwa się w poziomie. Przy osi X kierunek bywa mniej intuicyjny: zapis x-3 przesuwa wykres w prawo.
Zmiana wartości
Ruch w górę lub w dół, bo zmienia się wynik y.
Zmiana argumentu
Ruch w prawo lub w lewo, bo zmienia się argument x.
Tabela podstawowych przekształceń
| Zapis | Co dzieje się z wykresem? | Przykład | Na co uważać? |
|---|---|---|---|
| f(x)+q | przesunięcie w górę o q, gdy q>0 | f(x)+4 | zmieniają się wartości y |
| f(x)-q | przesunięcie w dół o q | f(x)-3 | każdy punkt ma y mniejsze o 3 |
| f(x-p) | przesunięcie w prawo o p | f(x-2) | znak jest odwrotny niż intuicyjnie |
| f(x+p) | przesunięcie w lewo o p | f(x+5) | plus przy x przesuwa w lewo |
| -f(x) | odbicie względem osi X | -f(x) | zmienia się znak wartości y |
| f(-x) | odbicie względem osi Y | f(-x) | zmienia się znak argumentu x |
| a·f(x) | rozciągnięcie lub zwężenie w pionie | 2f(x), 0,5f(x) | mnożysz wartości y |
| f(kx) | rozciągnięcie lub zwężenie w poziomie | f(2x), f(0,5x) | działa odwrotnie względem k |
Przesunięcie wykresu w pionie
Przesunięcie w pionie jest najprostsze: do każdej wartości funkcji dodajesz tę samą liczbę albo ją odejmujesz. Dziedzina zwykle się nie zmienia, ale zbiór wartości przesuwa się razem z wykresem.
W górę
Wykres g(x)=f(x)+3 powstaje przez przesunięcie wykresu f o 3 jednostki w górę.
W dół
Wykres g(x)=f(x)-5 powstaje przez przesunięcie wykresu f o 5 jednostek w dół.
Przykład na paraboli
Wykres y=x²+4 to parabola y=x² przesunięta o 4 w górę. Wierzchołek przechodzi z (0,0) do (0,4).
Przesunięcie wykresu w poziomie
Przesunięcie poziome jest częstym źródłem błędów, bo znak we wzorze działa inaczej niż w przesunięciu pionowym. Zapis f(x-2) przesuwa wykres w prawo o 2, a zapis f(x+2) w lewo o 2.
| Zapis | Przesunięcie | Co dzieje się z punktem (x,y)? |
|---|---|---|
| f(x-p) | w prawo o p | (x,y) → (x+p,y) |
| f(x+p) | w lewo o p | (x,y) → (x-p,y) |
| f(x-4) | w prawo o 4 | (0,0) → (4,0) |
| f(x+3) | w lewo o 3 | (0,0) → (-3,0) |
Przykład na funkcji kwadratowej
Wykres y=(x-3)² to parabola y=x² przesunięta w prawo o 3. Wierzchołek ma współrzędne (3,0).
Odbicie względem osi X i osi Y
Odbicia zmieniają znaki współrzędnych punktów. Odbicie względem osi X zmienia wartości y, a odbicie względem osi Y zmienia argumenty x. W zapisie funkcji widać to po minusie przed funkcją albo minusie przy argumencie.
Odbicie względem osi X
Każdy punkt (x,y) przechodzi w (x,-y). Wykres odwraca się góra-dół.
Odbicie względem osi Y
Każdy punkt (x,y) przechodzi w (-x,y). Wykres odbija się lewo-prawo.
Przykład
Jeśli f(x)=x²+2x, to -f(x)=-x²-2x jest odbiciem względem osi X. Z kolei f(-x)=x²-2x jest odbiciem względem osi Y.
Rozciąganie i zwężanie w pionie
Mnożenie całej funkcji przez liczbę zmienia wartości y. Jeśli mnożysz przez liczbę większą od 1, wykres rozciąga się w pionie. Jeśli przez liczbę z przedziału od 0 do 1, wykres zwęża się w pionie. Jeśli współczynnik jest ujemny, dochodzi jeszcze odbicie względem osi X.
| Zapis | Efekt | Punkt (x,y) przechodzi w |
|---|---|---|
| 2f(x) | rozciągnięcie w pionie 2 razy | (x,2y) |
| 0,5f(x) | zwężenie w pionie 2 razy | (x,0,5y) |
| -f(x) | odbicie względem osi X | (x,-y) |
| -3f(x) | odbicie i rozciągnięcie w pionie 3 razy | (x,-3y) |
Rozciąganie i zwężanie w poziomie
Zmiana argumentu w postaci f(kx) działa na oś X. Tu efekt jest odwrotny: dla k>1 wykres zwęża się w poziomie, a dla 0<k<1 rozciąga się w poziomie. To jeden z najczęstszych błędów przy przekształceniach.
| Zapis | Efekt | Punkt (x,y) przechodzi w |
|---|---|---|
| f(2x) | zwężenie w poziomie 2 razy | (x/2,y) |
| f(0,5x) | rozciągnięcie w poziomie 2 razy | (2x,y) |
| f(-x) | odbicie względem osi Y | (-x,y) |
| f(-2x) | odbicie względem osi Y i zwężenie w poziomie 2 razy | (-x/2,y) |
Wartość bezwzględna: |f(x)| i f(|x|)
Wartość bezwzględna przy funkcji i przy argumencie daje dwa różne wykresy. Zapis |f(x)| zmienia wartości ujemne na dodatnie, więc odbija część wykresu spod osi X nad oś X. Zapis f(|x|) bierze prawą część wykresu i odbija ją na lewą stronę.
| Zapis | Co zrobić z wykresem? | Najważniejsza zmiana |
|---|---|---|
| |f(x)| | część pod osią X odbij nad oś X | wartości y stają się nieujemne |
| f(|x|) | prawą stronę wykresu odbij względem osi Y | funkcja staje się parzysta tam, gdzie ma sens |
| -|f(x)| | najpierw |f(x)|, potem odbicie względem osi X | wykres nie leży nad osią X |
| |f(x)+q| | najpierw przesunięcie pionowe, potem wartość bezwzględna | kolejność działań ma znaczenie |
Kolejność przekształceń
Jeśli we wzorze występuje kilka zmian naraz, najlepiej rozbić je na etapy. Najpierw rozpoznaj przekształcenia przy argumencie, potem zmiany wartości, a na końcu odbicia i wartość bezwzględną, jeśli są zapisane na zewnątrz funkcji.
Przykład
Wykres g(x)=2f(x-3)+1 można opisać tak: przesunięcie wykresu f w prawo o 3, rozciągnięcie w pionie 2 razy i przesunięcie w górę o 1.
Drugi przykład
Wykres g(x)=-f(x+2)-4 to przesunięcie w lewo o 2, odbicie względem osi X i przesunięcie w dół o 4.
Przekształcenia punktów wykresu
Jeżeli znasz punkty wykresu funkcji, możesz przekształcić je bez rysowania całego wykresu. To bardzo przydatne w zadaniach, gdzie masz podany wykres albo tabelę wartości.
| Nowa funkcja | Punkt (x,y) przechodzi w | Opis |
|---|---|---|
| f(x)+q | (x, y+q) | przesunięcie pionowe |
| f(x-p) | (x+p, y) | przesunięcie w prawo |
| f(x+p) | (x-p, y) | przesunięcie w lewo |
| -f(x) | (x, -y) | odbicie względem osi X |
| f(-x) | (-x, y) | odbicie względem osi Y |
| a·f(x) | (x, ay) | pionowe skalowanie |
| f(kx) | (x/k, y) | poziome skalowanie |
Przykłady na funkcji kwadratowej
Przekształcenia najłatwiej zobaczyć na paraboli y=x², bo jej wierzchołek jest punktem kontrolnym. Wystarczy śledzić, gdzie przechodzi wierzchołek i czy ramiona zmieniają kierunek.
| Funkcja | Opis wykresu | Wierzchołek |
|---|---|---|
| y=x²+3 | przesunięcie w górę o 3 | (0,3) |
| y=(x-4)² | przesunięcie w prawo o 4 | (4,0) |
| y=(x+2)²-5 | w lewo o 2 i w dół o 5 | (-2,-5) |
| y=-x² | odbicie względem osi X | (0,0), ramiona w dół |
| y=3x² | rozciągnięcie w pionie 3 razy | (0,0), parabola węższa |
| y=0,5x² | zwężenie w pionie | (0,0), parabola szersza |
Więcej o parabolach znajdziesz w tablicy funkcja kwadratowa: parabola, delta i miejsca zerowe.
Jak zmieniają się dziedzina i zbiór wartości?
Przesunięcie i skalowanie mogą zmienić dziedzinę albo zbiór wartości. Przekształcenia pionowe wpływają przede wszystkim na zbiór wartości, a przekształcenia poziome na dziedzinę. Przy wartości bezwzględnej trzeba patrzeć, czy dotyczy wartości funkcji czy argumentu.
| Przekształcenie | Dziedzina | Zbiór wartości |
|---|---|---|
| f(x)+q | bez zmiany | przesuwa się o q |
| f(x-p) | przesuwa się o p | bez zmiany |
| -f(x) | bez zmiany | odbicie zbioru wartości względem 0 |
| f(-x) | odbicie dziedziny względem 0 | bez zmiany |
| a·f(x) | bez zmiany | mnożenie wartości przez a |
| |f(x)| | bez zmiany | wartości nieujemne |
| f(|x|) | zależna od prawej części dziedziny | zależny od obrazu prawej części wykresu |
Zadania przykładowe
Zadanie 1
Opisz przekształcenie wykresu y=f(x-5)+2.
Najpierw przesunięcie wykresu f w prawo o 5, potem przesunięcie w górę o 2.
Zadanie 2
Opisz wykres y=-f(x+3).
Wykres f przesuwamy w lewo o 3, a potem odbijamy względem osi X.
Zadanie 3
Jaki jest wierzchołek wykresu y=(x-2)²-7?
To przesunięcie paraboli y=x² w prawo o 2 i w dół o 7, więc wierzchołek to (2,-7).
Zadanie 4
Co oznacza wykres y=|f(x)|?
Część wykresu f leżąca pod osią X odbija się nad oś X. Część nad osią X zostaje bez zmian.
Najczęstsze błędy przy przekształceniach wykresów
- Przesuwanie f(x-3) w lewo zamiast w prawo.
- Mylenie odbicia -f(x) z odbiciem f(-x).
- Traktowanie f(2x) jako rozciągnięcia w poziomie, mimo że wykres zwęża się w poziomie.
- Pomijanie kolejności działań przy zapisie typu 2f(x-1)+3.
- Mylenie |f(x)| z f(|x|).
- Przesuwanie tylko jednego punktu wykresu zamiast całego wykresu.
- Brak sprawdzenia, jak zmienia się dziedzina po przekształceniu poziomym.
Ciekawostka: przekształcenia działają na wszystkie funkcje
Te same zasady działają dla prostej, paraboli, funkcji wymiernej, wykładniczej, logarytmicznej i trygonometrycznej. Jeśli wiesz, jak przesunąć y=x², możesz tym samym sposobem przesunąć y=sin x albo y=1/x. Różni się kształt wykresu, ale reguła przekształcenia pozostaje taka sama.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Gdy widzisz przekształcenie wykresu, najpierw podkreśl to, co jest poza funkcją, i to, co jest przy argumencie. Zmiany poza funkcją przesuwają lub skalują wartości y. Zmiany przy argumencie przesuwają lub skalują x i często działają odwrotnie, niż podpowiada pierwszy odruch.
Pełna ścieżka nauki: Akademia funkcji, wykresów i analizy funkcji prowadzi od tej tablicy do kalkulatorów i poradników o wykresach, miejscach zerowych, przekształceniach, granicach, pochodnych i całkach.