Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty. Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty.
Przejdź do treści

Asymetria i kurtoza – kalkulator, wzory i interpretacja

Wpisz własne dane i sprawdź asymetrię, kurtozę, średnią, medianę oraz odchylenie standardowe. Wynik pokaże też, czy dłuższy ogon danych jest po lewej czy po prawej stronie.

Dane do obliczeń

Wpisz co najmniej 4 liczby. Wynik przelicza się automatycznie.
asymetria • kurtoza
Najpewniej oddzielaj liczby średnikiem, spacją albo Enterem. Przecinek traktowany jest jako znak dziesiętny, np. 2,5; 3,75; 4,0.
Jeśli opisujesz dokładnie liczby wpisane w polu, wybierz pierwszy wariant. Drugi wariant przydaje się wtedy, gdy wpisane liczby są tylko częścią większego zbioru.

Wynik

Wprowadź dane, aby policzyć wynik.
Współczynnik asymetrii
—
Kurtoza nadmiarowa
—
Liczba danych
—
Średnia
—
Mediana
—
Odch. standardowe
—

Porównanie wyniku

Siła asymetrii – orientacyjnie

—
Pokaż szczegóły
Wprowadź dane, aby zobaczyć interpretację.

Masz wynik? Sprawdź, co jeszcze mówią Twoje dane

Jedna liczba nie pokazuje całego obrazu. Zobacz dane na wykresie, sprawdź pojedyncze wartości, które odstają od reszty, i porównaj środkową część zbioru. Dzięki temu łatwiej ocenisz, skąd bierze się wynik.

Histogram
Zobacz dane na wykresie i sprawdź, po której stronie wartości rozciągają się dalej.
Wartości odstające
Znajdź pojedyncze liczby, które mogą mocno wpływać na cały wynik.
Kwartyle i percentyle
Sprawdź, gdzie leży środek danych i jak rozkładają się wartości po obu stronach.
Rozkład normalny
Porównaj swój wynik z klasycznym rozkładem dzwonowym.

Co mówi asymetria, a co kurtoza?

Asymetria pokazuje, czy dane rozciągają się mocniej w jedną stronę. Wynik dodatni wskazuje dłuższy prawy ogon, a wynik ujemny – dłuższy lewy ogon. Wartość bliska 0 oznacza brak wyraźnego przechylenia mierzonego tym współczynnikiem.

Kurtoza odpowiada na inne pytanie: jak mocno na wynik wpływają obserwacje leżące daleko od środka. Dlatego asymetrii i kurtozy nie należy czytać jako dwóch wersji tej samej miary.

Wzór na współczynnik asymetrii

Dla całego opisywanego zestawu kalkulator korzysta ze współczynnika:

g₁ = m₃ / m₂3/2

Jeżeli g₁ > 0, asymetria jest dodatnia (prawostronna). Jeżeli g₁ < 0, jest ujemna (lewostronna).

Jako prostą pomoc przy czytaniu wyniku można przyjąć: |g₁| poniżej 0,5 – niewielka asymetria, 0,5–1 – umiarkowana, powyżej 1 – wyraźna. To orientacyjna wskazówka, nie sztywna granica dla każdej dziedziny.

Kurtoza klasyczna i kurtoza nadmiarowa

Kurtoza klasyczna opiera się na czwartym momencie centralnym:

K = m₄ / m₂²

Dla rozkładu normalnego jej wartość wynosi 3. Często podaje się więc kurtozę nadmiarową:

g₂ = K − 3

Dla rozkładu normalnego g₂ = 0. Wynik dodatni wskazuje cięższe ogony względem tego punktu odniesienia, a wynik ujemny – lżejsze. Sam wynik 0 nie dowodzi jednak, że dane mają rozkład normalny.

Przykład krok po kroku

Weźmy dane 0, 0, 0, 0, 10. Jedna duża wartość po prawej stronie tworzy wyraźną asymetrię dodatnią.

  1. Średnia wynosi 2.
  2. Drugi moment: m₂ = 16.
  3. Trzeci moment: m₃ = 96.
  4. Asymetria: g₁ = 96 / 163/2 = 1,5.
  5. Czwarty moment: m₄ = 832.
  6. Kurtoza klasyczna: K = 3,25.
  7. Kurtoza nadmiarowa: g₂ = 0,25.

Cały zestaw czy próba z większej grupy?

Jeżeli wpisujesz wszystkie wartości, które chcesz opisać, wybierz pierwszy wariant. Jeżeli dane są tylko próbą pobraną z większej grupy, wybierz drugi wariant.

W wariancie dla próby kalkulator stosuje popularne poprawki:

G₁ = √[n(n−1)] / (n−2) · g₁
G₂ = (n−1)/[(n−2)(n−3)] · [(n+1)g₂ + 6]

Przy małej liczbie danych różnice między sposobami liczenia mogą być duże. Jeśli rozwiązujesz zadanie, sprawdź, jakiej wersji wzoru wymaga podręcznik lub program, z którym porównujesz wynik.

Jak wyglądają trzy typowe przypadki?

Asymetria dodatnia

10, 11, 12, 13, 14, 15, 40

Pojedyncza duża wartość wydłuża prawą stronę danych.

Asymetria ujemna

−20, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Pojedyncza mała wartość wydłuża lewą stronę danych.

Dane symetryczne

6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Wartości układają się symetrycznie wokół 9.

Ciekawostka

Trzecia potęga zachowuje znak odchylenia, dlatego pomaga odróżnić lewą stronę danych od prawej. Czwarta potęga mocno podkreśla wartości leżące daleko od średniej, dlatego ma duży wpływ na kurtozę.

Najczęstsze błędy

  • Mylenie asymetrii z kurtozą. Pierwsza mówi o kierunku, druga opisuje zachowanie ogonów.
  • Traktowanie asymetrii 0 jako dowodu normalności. Dane mogą być symetryczne, ale nadal nie mieć rozkładu normalnego.
  • Traktowanie kurtozy nadmiarowej 0 jako dowodu normalności. Jedna zgodna miara nie wystarcza.
  • Mieszanie kurtozy klasycznej i nadmiarowej. Dla rozkładu normalnego punkty odniesienia to odpowiednio 3 i 0.
  • Porównywanie wyników z różnych programów bez sprawdzenia sposobu liczenia. Przy małych próbach różnice mogą być wyraźne.

Wskazówka od KalkulatorXXL

Nie oceniaj danych tylko po jednym współczynniku. Najpierw spójrz na histogram, potem sprawdź wartości odstające i kwartyle. Taki zestaw daje znacznie pełniejszy obraz niż sama asymetria albo sama kurtoza.

Chcesz sprawdzić więcej?

W jednym miejscu znajdziesz kalkulatory średniej, wariancji, kwartylów, wartości odstających, rozkładów i testów.

Statystyka, prawdopodobieństwo i analiza danych
Przejdź do kolejnych obliczeń i wybierz narzędzie pasujące do Twoich danych.

FAQ - asymetria i kurtoza

Asymetria, nazywana też skośnością, opisuje brak symetrii rozkładu danych. Znak współczynnika wskazuje kierunek dłuższego ogona rozkładu.

Asymetria dodatnia oznacza dłuższy prawy ogon rozkładu. Pojedyncze duże wartości mogą przesuwać średnią w górę.

Asymetria ujemna oznacza dłuższy lewy ogon rozkładu. Pojedyncze małe wartości mogą przesuwać średnią w dół.

Dla momentów populacyjnych współczynnik asymetrii można zapisać jako g1 = m3 / m2^(3/2), gdzie m2 i m3 są drugim i trzecim momentem centralnym.

Kurtoza opisuje czwarty standaryzowany moment rozkładu. W praktyce pomaga oceniać ciężkość ogonów i podatność rozkładu na wartości skrajne.

Kurtoza klasyczna ma postać K = m4 / m2^2, gdzie m2 i m4 to drugi i czwarty moment centralny. Kurtoza nadmiarowa wynosi K - 3.

To kurtoza klasyczna pomniejszona o 3. Dla rozkładu normalnego jej wartość teoretyczna wynosi 0.

Oznacza cięższe ogony niż w normalnym punkcie odniesienia, a więc większą podatność na obserwacje skrajne. Sama dodatnia kurtoza nie mówi, po której stronie znajdują się te obserwacje.

Oznacza lżejsze ogony niż w normalnym punkcie odniesienia. Nie jest to samo co ujemna asymetria.

Nie. Kurtoza klasyczna równa 3 jest zgodna z wartością dla rozkładu normalnego, ale sama kurtoza nie wystarcza do stwierdzenia normalności.

Nie. Asymetria 0 oznacza brak skośności mierzonej trzecim momentem, ale rozkład może nadal znacznie różnić się od normalnego.

Średnia reaguje na wartości skrajne silniej niż mediana. Przy prawym ogonie duże wartości często podnoszą średnią, a przy lewym ogonie małe wartości często ją obniżają.

Tryb populacyjny liczy współczynniki bezpośrednio z momentów centralnych dzielonych przez n. Tryb próby stosuje popularne poprawki na obciążenie dla asymetrii i kurtozy oraz odchylenie standardowe z mianownikiem n-1.

Istnieje kilka definicji estymatorów skośności i kurtozy. Różnice są szczególnie widoczne przy małych próbach, dlatego trzeba sprawdzić, jakiej konwencji używa program.

Nie ma jednej magicznej liczby, ale przy bardzo małych próbach oba współczynniki są niestabilne. Kalkulator wymaga co najmniej 4 obserwacji i ostrzega przy krótkich seriach.

Warto obejrzeć histogram, sprawdzić kwartyle i IQR oraz wartości odstające. Te narzędzia pokazują kształt danych w sposób uzupełniający współczynniki liczbowe.

Popularne w tej kategorii

Kalkulator liczb rzymskichPopularne
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator wspólnego mianownika ułamkówPopularne
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator działań pisemnych
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator procentów
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.