Policz konkretną bryłę lub sprawdź wzór
Poradnik pomaga wybrać właściwy wzór. Gdy masz już dane liczbowe, przejdź do kalkulatora danej bryły albo do zbiorczej tablicy wzorów.
Jak liczyć bryły i nie mieszać wzorów?
W zadaniach z geometrii przestrzennej najważniejsze jest rozpoznanie bryły. Inaczej liczy się sześcian, inaczej walec, a jeszcze inaczej stożek lub ostrosłup. Wiele pomyłek bierze się z tego, że uczeń zapamiętuje tylko fragment wzoru, np. „pole podstawy razy wysokość”, ale nie sprawdza, czy trzeba podzielić przez 3 albo dodać pole boczne.
Ten poradnik jest podzielony według brył, żeby łatwo znaleźć właściwy schemat. Znajdziesz tu wzory na objętość, pole powierzchni całkowitej, pole boczne, przekroje oraz przykłady pokazujące, jak dobrać wzór i pilnować jednostek.
Objętość, pole boczne i pole całkowite — najpierw rozróżnij pytanie
Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła albo ile może pomieścić. Pole powierzchni mówi, jak dużą powierzchnię mają ściany bryły. Pole boczne obejmuje tylko ściany boczne, a pole całkowite obejmuje wszystkie ściany, podstawy i powierzchnie, które tworzą zewnętrzną część bryły.
Objętość
Wynik w cm³, dm³, m³ albo litrach.
Pole boczne
Ściany boczne, bez podstaw.
Pole całkowite
Wszystkie zewnętrzne powierzchnie bryły.
Jak odczytać treść zadania?
„Ile wody się zmieści?” oznacza objętość. „Ile papieru potrzeba na oklejenie?” oznacza pole powierzchni. „Ile farby na ściany boczne walca?” oznacza pole boczne.
Szybki wybór wzoru według bryły
| Bryła | Kiedy ją rozpoznasz? | Najważniejszy wzór na objętość | Co uważać? |
|---|---|---|---|
| Sześcian | wszystkie krawędzie równe | V = a³ | pole całkowite ma 6 ścian |
| Prostopadłościan | długość, szerokość i wysokość | V = a·b·c | nie pomyl z polem powierzchni |
| Graniastosłup | dwie takie same, równoległe podstawy | V = Pp·H | najpierw policz pole podstawy |
| Ostrosłup | jedna podstawa i wierzchołek | V = Pp·H/3 | dzielenie przez 3 |
| Walec | dwie podstawy kołowe | V = πr²H | promień, nie średnica |
| Stożek | kołowa podstawa i jeden wierzchołek | V = πr²H/3 | tworząca l w polu bocznym |
| Kula | brak podstaw, tylko promień | V = 4/3πr³ | promień do trzeciej potęgi |
Sześcian — jedna krawędź, wiele wzorów
Sześcian to bryła, w której wszystkie krawędzie mają tę samą długość, a każda ściana jest kwadratem. W zadaniach wystarczy znać jedną krawędź, aby policzyć objętość, pole całkowite, pole jednej ściany, sumę krawędzi i przekątną bryły.
Objętość
Pole całkowite
Przekątna bryły
Zadanie
Sześcian ma krawędź 5 cm. Objętość: 5³ = 125 cm³. Pole całkowite: 6·25 = 150 cm².
Jak sprawdzić wynik?
Objętość ma jednostkę sześcienną, a pole jednostkę kwadratową. Jeśli przy V wyszło cm², to jednostka jest zła.
Prostopadłościan — pudełko, pokój, akwarium, karton
Prostopadłościan ma trzy podstawowe wymiary: długość, szerokość i wysokość. To jedna z najczęstszych brył w zadaniach praktycznych, bo opisuje kartony, pomieszczenia, zbiorniki, akwaria i paczki.
Objętość
Pole całkowite
Przekątna
Zadanie
Akwarium ma 80 cm, 40 cm i 50 cm. Objętość: 80·40·50 = 160 000 cm³ = 160 litrów.
Otwarty pojemnik
Jeśli pudełko nie ma pokrywy, przy polu powierzchni nie liczysz górnej ściany. To ważne przy zadaniach o oklejaniu lub malowaniu.
Graniastosłup — najpierw pole podstawy
Graniastosłup ma dwie przystające, równoległe podstawy. Podstawa może być trójkątem, kwadratem, prostokątem, sześciokątem albo innym wielokątem. Dlatego najważniejszy krok to obliczenie pola podstawy.
Objętość
Pole całkowite
| Podstawa graniastosłupa | Pole podstawy Pp | Co dalej? |
|---|---|---|
| kwadrat | a² | pomnóż przez wysokość bryły |
| prostokąt | a·b | pomnóż przez wysokość bryły |
| trójkąt | a·h/2 | najpierw znajdź wysokość trójkąta |
| trapez | (a+b)·h/2 | użyj wysokości trapezu, nie bryły |
| sześciokąt foremny | 6 · a²√3/4 | potem V = Pp·H |
Zadanie
Graniastosłup ma podstawę trójkątną o podstawie 10 cm i wysokości 6 cm. Wysokość bryły wynosi 12 cm. Pp = 10·6/2 = 30 cm², V = 30·12 = 360 cm³.
Ostrosłup — dzielenie przez 3
Ostrosłup ma jedną podstawę i ściany boczne zbiegające się w jednym wierzchołku. Najważniejsza różnica między ostrosłupem a graniastosłupem jest taka, że objętość ostrosłupa dzielimy przez 3.
Objętość
Pole całkowite
Zadanie
Ostrosłup ma pole podstawy 54 cm² i wysokość 10 cm. Objętość: 54·10/3 = 180 cm³.
Pole boczne
Jeśli ostrosłup jest prawidłowy, ściany boczne są zwykle trójkątami równoramiennymi. Liczymy ich pola i dodajemy.
Przy ścianach bocznych często wraca temat pól trójkątów, więc przyda się poradnik trójkąty, Pitagoras, kąty i wysokości.
Walec — podstawa jest kołem
Walec ma dwie podstawy w kształcie koła. Objętość walca to pole koła w podstawie razy wysokość. Pole boczne walca można sobie wyobrazić jako prostokąt po rozwinięciu powierzchni bocznej.
Objętość
Pole boczne
Pole całkowite
Zadanie
Walec ma r = 4 cm i H = 9 cm. Objętość: π·16·9 = 144π cm³.
Typowy błąd
Jeśli podano średnicę 8 cm, promień wynosi 4 cm. Nie podstawiaj 8 jako r.
Wzory na koło, łuk i wycinek znajdziesz w poradniku koło, okrąg, łuk, wycinek i pierścień.
Stożek — objętość równa 1/3 objętości walca
Stożek ma kołową podstawę i jeden wierzchołek. Objętość stożka jest równa jednej trzeciej objętości walca o takiej samej podstawie i wysokości. Przy polu powierzchni pojawia się tworząca, czyli długość boku powierzchni bocznej stożka.
Objętość
Pole boczne
Pole całkowite
Zadanie
Stożek ma r = 6 cm i H = 10 cm. Objętość: π·36·10/3 = 120π cm³.
Tworząca
W stożku prostym tworzącą często liczy się z Pitagorasa: l = √(r²+H²).
Kula — promień do kwadratu i do trzeciej potęgi
Kula nie ma podstaw, krawędzi ani ścian płaskich. W zadaniach najczęściej znamy promień albo średnicę. Jeśli podano średnicę, najpierw obliczamy promień.
Objętość
Pole powierzchni
Zadanie
Kula ma r = 3 cm. Objętość: 4/3·π·27 = 36π cm³. Pole: 4π·9 = 36π cm².
Średnica
Jeśli kula ma średnicę 14 cm, promień wynosi 7 cm. Dopiero tę wartość podstawiamy do wzorów.
Półkula — powierzchnia z podstawą albo bez podstawy
Półkula to połowa kuli. W zadaniach trzeba uważnie czytać, czy szukamy samej powierzchni zaokrąglonej, czy powierzchni całkowitej z kołową podstawą. To częsty punkt, w którym wynik może różnić się o pole koła.
Objętość półkuli
Powierzchnia zakrzywiona
Powierzchnia z podstawą
Przykład
Półkula ma r = 4 cm. Objętość: 2/3·π·64 = 128π/3 cm³. Powierzchnia z podstawą: 3π·16 = 48π cm².
Przekroje brył — co właściwie widzimy?
Przekrój to figura płaska powstała po przecięciu bryły płaszczyzną. W zadaniach przekrój może być prostokątem, kwadratem, trójkątem, kołem albo inną figurą. Najpierw trzeba ustalić, jaka figura powstaje w przekroju, a dopiero potem dobrać wzór z geometrii płaskiej.
| Bryła | Typowy przekrój | Co liczymy? |
|---|---|---|
| Sześcian | kwadrat, prostokąt, czasem trójkąt | przekątne ścian i bryły |
| Prostopadłościan | prostokąt | przekątne z Pitagorasa |
| Walec | koło albo prostokąt | przekrój poprzeczny lub osiowy |
| Stożek | koło, trójkąt równoramienny, elipsa | przekrój osiowy często daje trójkąt |
| Kula | koło | największy przekrój to koło wielkie |
| Ostrosłup | trójkąt lub wielokąt | zależnie od płaszczyzny cięcia |
Przekrój osiowy walca i stożka
Przekrój osiowy przechodzi przez oś bryły. W walcu przekrój osiowy jest prostokątem o bokach równych wysokości walca i średnicy podstawy. W stożku przekrój osiowy jest trójkątem równoramiennym, którego podstawa jest średnicą koła, a ramiona są tworzącymi stożka.
Walec
Jeśli d=10 i H=12, pole przekroju to 120.
Stożek
Wysokość przekroju jest wysokością stożka.
W przekrojach stożka często wraca Pitagoras, bo r, H i l tworzą trójkąt prostokątny.
Bryły złożone — podziel na prostsze części
Bryła złożona składa się z kilku prostszych brył. Najbezpieczniejsza metoda to rozdzielić ją na sześciany, prostopadłościany, walce, stożki lub kule, policzyć każdą część osobno i dopiero potem dodać albo odjąć wyniki. Przy polu powierzchni trzeba uważać na powierzchnie styku, bo nie są widoczne na zewnątrz.
Objętość bryły złożonej
Dodaj objętości części albo odejmij wycięte fragmenty.
Pole powierzchni bryły złożonej
Nie licz ścian, które przylegają do siebie wewnątrz bryły.
Jednostki: cm³, dm³, m³ i litry
Objętość zapisujemy w jednostkach sześciennych. W zadaniach praktycznych często trzeba przeliczyć objętość na litry. Najważniejsza zależność to 1 dm³ = 1 litr. Ponieważ 1 dm = 10 cm, to 1 dm³ = 1000 cm³.
| Zależność | Wartość | Przykład |
|---|---|---|
| 1 dm³ | 1 l | 10 cm × 10 cm × 10 cm |
| 1000 cm³ | 1 l | mały zbiornik |
| 1 m³ | 1000 l | duży zbiornik |
| 1 cm³ | 0,001 l | bardzo mała objętość |
Przykład
Prostopadłościan ma objętość 240 000 cm³. W litrach: 240 000 / 1000 = 240 l.
Tabela zbiorcza: objętości i pola
| Bryła | Objętość | Pole / pole całkowite | Najważniejsza uwaga |
|---|---|---|---|
| Sześcian | a³ | 6a² | jedna krawędź wystarczy |
| Prostopadłościan | a·b·c | 2ab+2ac+2bc | trzy wymiary |
| Graniastosłup | Pp·H | 2Pp+Pb | najpierw pole podstawy |
| Ostrosłup | Pp·H/3 | Pp+Pb | dziel objętość przez 3 |
| Walec | πr²H | 2πr²+2πrH | dwie podstawy kołowe |
| Stożek | πr²H/3 | πr²+πrl | tworząca l w polu bocznym |
| Kula | 4/3πr³ | 4πr² | brak podstaw |
| Półkula | 2/3πr³ | 2πr² lub 3πr² | zależy, czy liczysz podstawę |
Zadania z rozwiązaniem według brył
Sześcian
a=6. V=216, Pc=216. W tym konkretnym przypadku liczby są takie same, ale jednostki inne: cm³ i cm².
Prostopadłościan
4×5×12. V=240. Pc=2·20+2·48+2·60=256.
Walec
r=3, H=8. V=72π. Pc=2π·9+2π·3·8=66π.
Stożek
r=5, H=12. V=100π. Jeśli l=13, Pc=25π+65π=90π.
Kula
r=4. V=256π/3, P=64π.
Ostrosłup
Pp=36, H=15. V=36·15/3=180.
Zadania do samodzielnej powtórki
| Zadanie | Odpowiedź | Bryła |
|---|---|---|
| Sześcian ma krawędź 7 cm. Objętość? | 343 cm³ | sześcian |
| Sześcian ma krawędź 5 cm. Pole całkowite? | 150 cm² | sześcian |
| Prostopadłościan 3×8×10. Objętość? | 240 | prostopadłościan |
| Graniastosłup: Pp=42, H=9. Objętość? | 378 | graniastosłup |
| Ostrosłup: Pp=60, H=12. Objętość? | 240 | ostrosłup |
| Walec: r=4, H=5. Objętość? | 80π | walec |
| Stożek: r=6, H=8. Objętość? | 96π | stożek |
| Kula: r=3. Pole powierzchni? | 36π | kula |
| Półkula: r=5. Objętość? | 250π/3 | półkula |
| Walec ma d=10 i H=7. Objętość? | 175π | walec |
Najczęstsze błędy
- Mylenie objętości z polem powierzchni.
- Podawanie objętości w cm² zamiast cm³.
- Pomijanie dzielenia przez 3 przy ostrosłupie i stożku.
- Podstawianie średnicy zamiast promienia w walcu, stożku albo kuli.
- Liczenie pola całkowitego pojemnika otwartego tak, jakby miał pokrywę.
- Mylenie wysokości bryły z wysokością figury w podstawie.
- Mylenie wysokości stożka z tworzącą stożka.
- Liczenie ścian stykających się wewnątrz bryły złożonej jako zewnętrznego pola powierzchni.
- Zapominanie, że 1 m³ to 1000 litrów, a 1 dm³ to 1 litr.
Ciekawostka: te same wymiary, inne bryły, różne objętości
Walec i stożek mogą mieć taką samą podstawę i wysokość, ale stożek ma objętość równą jednej trzeciej objętości walca. Podobnie ostrosłup i graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości różnią się czynnikiem 3. To jeden z najprostszych sposobów na sprawdzenie, czy w zadaniu nie zabrakło dzielenia przez 3.
Pełna ścieżka geometrii
Ten materiał jest częścią większego pakietu geometrii. Pełną ścieżkę nauki, tablice, poradniki i kalkulatory znajdziesz w akademii geometrii: figury, bryły, trygonometria i zadania.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Zawsze zaczynaj od pytania: „czy szukam objętości, czy powierzchni?”. Potem rozpoznaj bryłę i podstawę. W graniastosłupach, ostrosłupach, walcach i stożkach najpierw liczysz pole podstawy, a dopiero później używasz wysokości bryły. Przy stożku i ostrosłupie pamiętaj o dzieleniu przez 3.