Jak działa kalkulator stożka?
W kalkulatorze stożka wpisujesz promień, średnicę, wysokość, tworzącą, objętość albo pole całkowite, a narzędzie wyznacza pozostałe wielkości. To osobny kalkulator dla stożka prostego, dlatego jest dokładniejszy niż ogólny kalkulator objętości brył.
Jeśli potrzebujesz wzorów dla stożka, walca, kuli i ostrosłupa w jednym miejscu, sprawdź tablicę brył oraz poradnik jak liczyć objętość i pole powierzchni brył.
Wzór i logika obliczeń
Dla stożka prostego najważniejsze zależności to: tworząca l = √(r²+h²), pole podstawy Pp = πr², pole boczne Pb = πrl, pole całkowite Pc = πr(r+l) oraz objętość V = πr²h/3. Jeśli znasz pole całkowite i promień, kalkulator wyznacza tworzącą ze wzoru l = Pc/(πr) - r.
| Wielkość | Wzór | Znaczenie |
|---|---|---|
| Objętość | V = πr²h/3 | stożek ma 1/3 objętości walca o tej samej podstawie i wysokości |
| Tworząca | l = √(r²+h²) | bok powierzchni bocznej stożka |
| Pole boczne | Pb = πrl | powierzchnia bez podstawy |
| Pole całkowite | Pc = πr(r+l) | podstawa i powierzchnia boczna |
Przykład obliczeń
Stożek ma promień 5 cm i wysokość 12 cm. Tworząca wynosi l = √(5²+12²) = 13 cm. Objętość to V = π · 5² · 12 / 3 = 100π, czyli około 314,16 cm³. Pole boczne wynosi 65π, a pole całkowite 90π.
Dla walca o takim samym promieniu i wysokości objętość byłaby trzy razy większa. Możesz to porównać w kalkulatorze walca.
Zadania przykładowe z przyciskiem do sprawdzenia wyniku
Spróbuj policzyć zadania samodzielnie, a potem użyj przycisku Sprawdź wynik. W stożku szczególnie ważne jest rozróżnienie wysokości h i tworzącej l.
Zadanie 1
Stożek ma promień 6 cm i wysokość 8 cm. Oblicz tworzącą, objętość, pole boczne i pole całkowite.
Zadanie 2
Stożek ma promień 4 cm i objętość 200 cm³. Oblicz wysokość i tworzącą.
Zadanie 3
Stożek ma średnicę 10 cm i wysokość 12 cm. Oblicz tworzącą, objętość, pole boczne i pole całkowite.
Zadanie 4
Pole całkowite stożka wynosi 300 cm², a promień podstawy 6 cm. Oblicz tworzącą, wysokość i objętość.
Rozwiązania zadań
- r = 6 cm, h = 8 cm: l = 10 cm, V = 96π ≈ 301,59 cm³, Pb = 60π ≈ 188,50 cm², Pc = 96π ≈ 301,59 cm².
- r = 4 cm, V = 200 cm³: h = 3V/(πr²) ≈ 11,94 cm, l ≈ 12,59 cm.
- d = 10 cm, h = 12 cm: r = 5 cm, l = 13 cm, V = 100π ≈ 314,16 cm³, Pb = 65π ≈ 204,20 cm², Pc = 90π ≈ 282,74 cm².
- Pc = 300 cm², r = 6 cm: l = Pc/(πr) - r ≈ 9,92 cm, h ≈ 7,89 cm, V ≈ 297,57 cm³.
Jak wybrać właściwy wzór na stożek?
Stożek ma trzy długości, które często się mylą: promień r, wysokość h i tworzącą l. Promień leży w podstawie, wysokość jest prostopadła do podstawy, a tworząca biegnie po boku stożka. Jeżeli znasz promień i wysokość, najpierw liczysz tworzącą ze wzoru Pitagorasa. Dopiero potem można policzyć pole boczne i całkowite.
| Dane w zadaniu | Co wybrać w kalkulatorze? | Najważniejszy wzór |
|---|---|---|
| promień i wysokość | objętość i pola z promienia i wysokości | l = √(r²+h²) |
| średnica i wysokość | objętość i pola ze średnicy i wysokości | r = d/2 |
| promień i tworząca | wysokość z promienia i tworzącej | h = √(l²-r²) |
| objętość i promień | wysokość z objętości i promienia | h = 3V/(πr²) |
Dlaczego stożek ma 1/3 objętości walca?
Jeżeli walec i stożek mają taką samą podstawę oraz taką samą wysokość, objętość stożka wynosi dokładnie jedną trzecią objętości walca. Dlatego we wzorze V = πr²h/3 pojawia się dzielenie przez 3. To częsty punkt sprawdzianów: uczeń zna pole podstawy, zna wysokość, ale zapomina o podzieleniu wyniku.
Warto porównywać wynik z kalkulatorem walca. Jeśli stożek i walec mają te same r i h, wynik stożka powinien być trzy razy mniejszy. Taka kontrola szybko wykrywa błąd we wzorze.
Tabela referencyjna
| r | h | l | V | Pc |
|---|---|---|---|---|
| 3 cm | 4 cm | 5 cm | 37,70 cm³ | 75,40 cm² |
| 5 cm | 12 cm | 13 cm | 314,16 cm³ | 282,74 cm² |
| 6 cm | 8 cm | 10 cm | 301,59 cm³ | 301,59 cm² |
Tabela porównawcza: stożek, walec i ostrosłup
| Bryła | Wzór na objętość | Podobieństwo |
|---|---|---|
| Stożek | V = πr²h/3 | 1/3 walca o tej samej podstawie i wysokości |
| Walec | V = πr²h | ta sama podstawa kołowa |
| Ostrosłup | V = Pp·h/3 | też ma dzielenie przez 3 |
Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku
- Mylenie tworzącej z wysokością - tworząca leży na boku stożka, a wysokość jest prostopadła do podstawy.
- Pomijanie dzielenia przez 3 w objętości.
- Używanie średnicy zamiast promienia.
- Liczenie pola bocznego bez tworzącej.
Ciekawostka
Jeżeli stożek i walec mają identyczną podstawę oraz wysokość, stożek zajmuje dokładnie jedną trzecią objętości walca. To jedna z najprostszych zależności w stereometrii.
Stożek w zadaniach szkolnych i praktycznych
Szkoła
Najczęściej trzeba policzyć tworzącą, pole boczne, pole całkowite albo objętość z promienia i wysokości.
Praktyka
Stożek pojawia się w lejkach, daszkach, nasypach, formach technicznych i zadaniach o przekrojach.
Sprawdź także
Do powtórki stereometrii przejdź do Akademii geometrii. Przy figurach płaskich pomocne są pole trójkąta, trapez i równoległobok, romb i deltoid.
Pakiet brył: co dalej policzyć?
Ten kalkulator jest częścią większego pakietu stereometrii. Jeśli w zadaniu pojawia się inna bryła albo trzeba porównać kilka wzorów, przejdź do powiązanych narzędzi. Dzięki temu łatwiej rozdzielić objętość, pole podstawy, pole boczne, pole całkowite, przekątną i wysokość.
Kalkulator walca liczy objętość, pole boczne, pole całkowite, promień i wysokość.
Kalkulator stożka pomaga przy tworzącej, wysokości, polu bocznym i objętości.
Kalkulator graniastosłupa prowadzi od pola podstawy do objętości i pola całkowitego.
Kalkulator ostrosłupa liczy objętość, apotemę, pole boczne i pole całkowite.
Kalkulator prostopadłościanu i sześcianu liczy objętość, pole, sumę krawędzi i przekątne.
Kalkulator przekątnych pokazuje Pitagorasa w 3D dla prostopadłościanu i sześcianu.
Do powtórki wzorów użyj tablicy brył, a do nauki krok po kroku poradnika o objętości, polu powierzchni i przekrojach. Cały dział spina Akademia geometrii.
Wskazówka od KalkulatorXXL
W stożku zawsze sprawdź, czy w treści zadania podano wysokość h, czy tworzącą l. To dwie różne długości i prowadzą do różnych wzorów.