Wzór na przekątną prostopadłościanu
Jeżeli krawędzie prostopadłościanu mają długości a, b i c, przekątna bryły ma długość:
Wzór wynika z dwukrotnego użycia twierdzenia Pitagorasa. Najpierw przekątna prostokątnej podstawy:
Następnie dp i wysokość c są przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego wewnątrz bryły: d = √(dp² + c²).
Wzór na przekątną sześcianu
W sześcianie wszystkie krawędzie mają tę samą długość a, więc wzór na przekątną bryły upraszcza się:
Przekątna jednej kwadratowej ściany sześcianu wynosi:
Sześcian ma 4 przekątne bryły łączące pary przeciwległych wierzchołków. Każda ma długość a√3. Oprócz tego na sześciu ścianach znajduje się łącznie 12 przekątnych ścian.
Przykład: przekątna prostopadłościanu
Prostopadłościan ma krawędzie a = 8 cm, b = 6 cm i c = 10 cm. Przekątna podstawy wynosi √(8² + 6²) = √100 = 10 cm. Przekątna bryły:
Dla sześcianu o krawędzi 5 cm przekątna ściany to 5√2 ≈ 7,07 cm, a przekątna bryły 5√3 ≈ 8,66 cm.
Jak wyznaczyć brakującą krawędź?
Jeżeli znasz przekątną bryły d oraz dwie krawędzie a i b, trzecią krawędź c wyznaczysz ze wzoru:
Taki wynik istnieje tylko wtedy, gdy d > √(a² + b²). Jeśli przekątna jest równa lub krótsza od przekątnej prostokąta o bokach a i b, dodatnia trzecia krawędź nie istnieje.
Przekątna ściany, podstawy i bryły – nie pomyl ich
| Rodzaj | Wzór | Gdzie leży? |
|---|---|---|
| Przekątna prostokątnej podstawy | √(a² + b²) | Na podstawie prostopadłościanu |
| Przekątna ściany sześcianu | a√2 | Na jednej kwadratowej ścianie |
| Przekątna bryły prostopadłościanu | √(a² + b² + c²) | Przez wnętrze bryły |
| Przekątna bryły sześcianu | a√3 | Przez wnętrze sześcianu |
Najczęstsze błędy
- Mylenie przekątnej ściany z przekątną bryły. Na ścianie pojawiają się dwa kwadraty długości, a dla przekątnej bryły trzy.
- Pominięcie pierwiastka. Suma kwadratów nie jest jeszcze długością przekątnej.
- Mieszanie jednostek. Wszystkie dane w jednym obliczeniu muszą być w tej samej jednostce.
- Niemożliwe dane. Przy wyznaczaniu brakującej krawędzi przekątna bryły musi być dłuższa od przekątnej utworzonej przez dwie znane krawędzie.