Symetria, rzut i proste - policz dalej
Odbicie punktu łączy rzut prostopadły, odległość od osi i środek odcinka PP′.
Jak obliczyć punkt symetryczny względem prostej?
Dla punktu P(x₀,y₀) i osi symetrii Ax+By+C=0 obliczamy:
S=Ax₀+By₀+C
Następnie współrzędne punktu odbitego P′ wynoszą:
x′=x₀-2A·S/(A²+B²)
y′=y₀-2B·S/(A²+B²)
To bezpośredni wzór na symetrię punktu względem dowolnej prostej w układzie współrzędnych.
Przykład: odbicie P(3,2) względem 2x-y-1=0
Podstawienie do równania osi daje:
S=2·3-2-1=3
Współrzędne odbicia:
x′=3-2·2·3/5=3/5=0,6
y′=2-2·(-1)·3/5=16/5=3,2
Otrzymujemy P′(0,6;3,2). Rzut H ma współrzędne H(1,8;2,6) i jest środkiem odcinka PP′.
P oraz P′ leżą po przeciwnych stronach osi w tej samej odległości.
Symetria punktu względem osi OX
Oś OX ma równanie y=0. Odbicie nie zmienia współrzędnej x, natomiast zmienia znak y:
(x,y) → (x,-y)
Przykład: P(4,1) odbija się na P′(4,-1). Rzut H ma współrzędne (4,0).
W kalkulatorze wybierz postać ogólną i wpisz A=0, B=1, C=0 albo użyj szybkiego przykładu „Względem osi OX”.
Symetria punktu względem osi OY
Oś OY ma równanie x=0. Zmienia się znak współrzędnej x, a y pozostaje bez zmian:
(x,y) → (-x,y)
Przykład: P(2,5) przechodzi w P′(-2,5). Środkiem odcinka PP′ jest H(0,5).
Możesz wpisać prostą jako x=0 albo skorzystać z gotowego przycisku OY.
Symetria punktu względem prostej y=x
Prosta y=x ma postać ogólną x-y=0. Odbicie zamienia współrzędne miejscami:
(x,y) → (y,x)
Dla P(4,1) otrzymujemy P′(1,4). Rzut leży w połowie tych punktów: H(2,5;2,5).
Ten przypadek często pojawia się w zadaniach o odbiciu wykresu funkcji i punktów w układzie współrzędnych.
Symetria punktu względem prostej y=-x
Prosta y=-x ma równanie x+y=0. Odbicie punktu ma postać:
(x,y) → (-y,-x)
Dla P(4,1) punktem symetrycznym jest P′(-1,-4).
Znaki obu współrzędnych zmieniają się po ich zamianie miejscami.
Odbicie punktu względem prostej pionowej x=k
Współrzędna y pozostaje bez zmian, a nowa współrzędna x wynosi:
x′=2k-x
Dla P(5,1) i osi x=2 otrzymujemy P′(-1,1). Rzut ma współrzędne H(2,1).
Kalkulator ma osobny tryb `x=k`, więc nie trzeba ręcznie zamieniać równania na x-k=0.
Odbicie punktu względem prostej poziomej y=k
Dla osi y=k współrzędna x nie zmienia się, a:
y′=2k-y
Dla P(2,5) i osi y=3 otrzymujemy P′(2,1). Rzut to H(2,3).
Prostą poziomą można podać jako y=0x+k w trybie kierunkowym.
Punkt symetryczny względem prostej y=mx+b
Równanie kierunkowe zamieniamy na postać ogólną:
mx-y+b=0
Następnie stosujemy zwykły wzór z A=m, B=-1 i C=b.
Kalkulator wykonuje to przekształcenie automatycznie i zachowuje dokładny wynik współrzędnych, gdy jest on wymierny.
Symetria względem prostej wyznaczonej przez dwa punkty
Jeżeli oś przechodzi przez A(x₁,y₁) i B(x₂,y₂), jej postać ogólną można zapisać jako:
(y₁-y₂)x+(x₂-x₁)y+(x₁y₂-x₂y₁)=0
Po wyznaczeniu A, B i C stosujemy wzór na odbicie punktu. Punkty wyznaczające prostą muszą być różne.
Ten tryb odpowiada na zadania, w których oś symetrii nie jest podana gotowym równaniem.
Rzut H i środek odcinka PP′
Rzut prostopadły H obliczamy ze wzorów:
xₕ=x₀-A·S/(A²+B²)
yₕ=y₀-B·S/(A²+B²)
Punkt H leży na osi symetrii i jest środkiem odcinka łączącego P z P′:
H=(P+P′)/2
Kalkulator osobno sprawdza równanie osi oraz zgodność środka odcinka.
Odległość punktu od osi symetrii
Odległość P od osi wynosi:
d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)
Punkt P′ znajduje się po drugiej stronie osi w tej samej odległości. Dlatego długość odcinka PP′ jest równa 2d.
Sama odległość jest liczbą, natomiast wynik symetrii jest nowym punktem o dwóch współrzędnych.
Jak sprawdzić punkt symetryczny?
- H powinien leżeć na osi symetrii.
- H powinien być środkiem odcinka PP′.
- Odcinek PP′ powinien być prostopadły do osi.
- Odległości P-H i H-P′ powinny być równe.
- P i P′ powinny leżeć po przeciwnych stronach osi, chyba że P leży na osi.
- Ponowne odbicie P′ względem tej samej prostej powinno zwrócić P.
Co jeśli punkt leży na osi symetrii?
Jeżeli Ax₀+By₀+C=0, punkt należy do osi. Jego odległość od prostej wynosi 0, rzut H jest równy P, a odbicie nie zmienia punktu:
P′=P
Nie jest to błąd obliczeń, tylko punkt stały symetrii osiowej.
Symetria osiowa w postaci macierzowej
Dla prostej przechodzącej przez początek układu odbicie jest przekształceniem liniowym. Dla dowolnej prostej dochodzi dodatkowe przesunięcie zależne od C.
Bezpośredni zapis:
P′ = P - 2(Ax₀+By₀+C)/(A²+B²) · [A,B]
Ten wzór jest wygodny w geometrii analitycznej, grafice komputerowej i obliczeniach wektorowych.
Najczęstsze błędy przy odbiciu punktu
- Mylenie H z P′ — H leży na osi, a P′ po drugiej stronie.
- Brak mnożnika 2 — we wzorze na P′ przesunięcie od P jest dwukrotnie większe niż do H.
- Zły znak C — zmienia położenie osi symetrii.
- Użycie A=B=0 — takie równanie nie opisuje prostej.
- Dwa identyczne punkty osi — nie wyznaczają jednej prostej.
- Zaokrąglanie H przed obliczeniem P′ — może pogorszyć wynik końcowy.
Zadania z symetrii punktu względem prostej
Każde zadanie ma osobny przycisk z wynikiem i krótkim rozwiązaniem.
Zadanie 1: dowolna prosta
Odbij P(3,2) względem prostej 2x-y-1=0.
Zadanie 2: oś OX
Odbij P(4,1) względem osi OX.
Zadanie 3: oś OY
Odbij P(2,5) względem osi OY.
Zadanie 4: prosta y=x
Odbij P(4,1) względem prostej y=x.
Zadanie 5: prosta y=-x
Odbij P(4,1) względem prostej y=-x.
Zadanie 6: prosta pionowa
Odbij P(5,1) względem prostej x=2.
Zadanie 7: prosta pozioma
Odbij P(2,5) względem prostej y=3.
Zadanie 8: punkt na osi
Odbij P(2,2) względem prostej y=x.
Ciekawostka
Symetria osiowa jest izometrią: zachowuje długości, kąty i pola figur. Dwukrotne odbicie względem tej samej prostej przywraca punkt początkowy.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Najpewniejsza kontrola to sprawdzenie, czy H leży na osi i jest środkiem PP′. Jeśli oba warunki są spełnione, odbicie jest poprawne.
Cała geometria w jednym miejscu: Akademia geometrii – figury, bryły, trygonometria i zadania łączy pola i obwody figur z geometrią analityczną, twierdzeniem Pitagorasa, trygonometrią, podobieństwem oraz polami powierzchni i objętościami brył.