Co policzyć dalej?
Jeśli masz już wynik z centralnego twierdzenia granicznego, możesz od razu przejść do kolejnego obliczenia.
Co mówi centralne twierdzenie graniczne?
Centralne twierdzenie graniczne mówi, że rozkład średniej z próby staje się coraz bardziej podobny do rozkładu normalnego, gdy liczebność próby rośnie. Działa to nawet wtedy, gdy pojedyncze obserwacje nie mają rozkładu normalnego, o ile spełnione są podstawowe warunki, m.in. niezależność i skończona wariancja.
Dzięki CLT można liczyć prawdopodobieństwa dla średnich i sum za pomocą rozkładu normalnego. Sam rozkład normalny sprawdzisz w kalkulatorze rozkładu normalnego, a gotowy przedział dla średniej w kalkulatorze przedziału ufności dla średniej.
Rozkład średniej z próby
Jeżeli pojedyncza obserwacja ma średnią μ i odchylenie standardowe σ, to średnia z próby o liczebności n ma przybliżony rozkład:
Wielkość σ/√n nazywa się błędem standardowym średniej. Im większe n, tym mniejszy błąd standardowy i tym bardziej średnie z prób skupiają się wokół μ.
Rozkład sumy zmiennych
Jeżeli interesuje Cię suma n obserwacji, to średnia sumy wynosi nμ, a odchylenie standardowe sumy wynosi σ√n:
Ten wariant przydaje się w zadaniach o łącznym wyniku, czasie, koszcie albo sumie pomiarów.
Kiedy przybliżenie jest wiarygodne?
Populacja normalna
Średnia z próby ma rozkład normalny także dla małych n.
Umiarkowany kształt danych
W typowych zadaniach większa próba zwykle daje lepsze przybliżenie.
Wyraźna skośność
Potrzebna może być większa liczebność próby.
Ciężkie ogony lub wartości odstające
Przybliżenie może być słabsze, zwłaszcza przy małej próbie.
Przed analizą warto obejrzeć dane przez histogram oraz sprawdzić kwartyle i IQR.
Z-score dla średniej lub sumy
Po wyznaczeniu środka rozkładu i jego odchylenia wynik przelicza się na z-score:
Dla średniej z próby odchylenie rozkładu to σ/√n. Dla sumy to σ√n.
Dobór liczebności próby
W trybie doboru n kalkulator używa wzoru na minimalną liczebność próby dla średniej przy znanym σ:
Średnia populacji nie jest do tego obliczenia potrzebna. Wystarczą odchylenie standardowe, margines błędu i poziom ufności.
Przykład krok po kroku
Załóżmy, że μ=50, σ=12 i n=36. Dla średniej z próby błąd standardowy wynosi 12/√36=2. Jeśli chcesz policzyć P(X̄≤53), przeliczamy granicę na z-score:
Następnie z rozkładu normalnego standardowego odczytujemy P(Z≤1,5). Kalkulator wykonuje te kroki automatycznie.
Zadania przykładowe
Zadanie 1
Dane: μ=80, σ=10, n=25. Jaki jest błąd standardowy średniej?
Pokaż odpowiedź
10/√25 = 2.
Zadanie 2
Dane: μ=5, σ=2, n=100. Jaka jest średnia sumy?
Pokaż odpowiedź
nμ = 500.
Zadanie 3
Czy CLT mówi, że pojedyncze obserwacje mają rozkład normalny?
Pokaż odpowiedź
Nie. Dotyczy rozkładu średniej lub sumy z wielu obserwacji.
Zadanie 4
Co dzieje się z błędem standardowym, gdy n rośnie czterokrotnie?
Pokaż odpowiedź
Maleje dwukrotnie, bo dzielimy przez √n.
Najczęstsze błędy
- Mylenie σ z błędem standardowym — dla średniej używa się σ/√n.
- Stosowanie CLT do pojedynczego pomiaru — twierdzenie dotyczy średnich i sum.
- Ignorowanie zależności obserwacji — zależności mogą pogarszać przybliżenie.
- Za małe n przy bardzo skośnych danych — wtedy przybliżenie normalne może być słabsze.
- Mylenie średniej sumy ze średnią obserwacji — dla sumy średnia wynosi nμ, a dla średniej z próby μ.
Wskazówka od KalkulatorXXL
W rozwiązaniu z CLT zawsze zapisz, czy liczysz średnią z próby, czy sumę. W obu przypadkach używasz przybliżenia normalnego, ale środek i odchylenie rozkładu są inne.
Jeśli wynik zależy od z-score, możesz go dodatkowo sprawdzić w kalkulatorze Z-score albo przejść do kalkulatora rozkładu normalnego.