Punkty i proste - następne obliczenia
Równanie prostej, prostopadłość i punkt przecięcia pomagają sprawdzić rzut oraz wynik odległości.
Wzór na odległość punktu od prostej
Dla punktu P(x₀,y₀) oraz prostej Ax+By+C=0 odległość wynosi:
d = |Ax₀+By₀+C| / √(A²+B²)
W liczniku podstawiamy współrzędne punktu do równania prostej i bierzemy wartość bezwzględną. W mianowniku znajduje się długość wektora normalnego [A,B].
Jeżeli A i B byłyby jednocześnie równe 0, równanie nie opisywałoby prostej i wzoru nie można zastosować.
Przykład: P(3,2) i prosta 2x-y-1=0
Najpierw obliczamy wartość podstawienia:
S = 2·3 + (-1)·2 - 1 = 3
Mianownik wynosi √(2²+(-1)²)=√5. Zatem:
d = |3|/√5 = 3√5/5 ≈ 1,34
Rzut prostopadły punktu P na prostą ma współrzędne H(1,8;2,6). Długość PH jest równa obliczonej odległości.
Po podstawieniu H do równania prostej otrzymujemy 0, co potwierdza poprawność rzutu.
Jak zapisać prostą w postaci ogólnej?
Wzór wykorzystuje postać Ax+By+C=0. Kalkulator potrafi sam przekształcić postać kierunkową i pionową, ale warto znać zasady:
| Równanie początkowe | Postać ogólna | A, B, C |
|---|---|---|
| y=2x-1 | 2x-y-1=0 | 2, -1, -1 |
| y=-x/2+3 | x+2y-6=0 | 1, 2, -6 |
| x=5 | x-5=0 | 1, 0, -5 |
| y=-2 | y+2=0 | 0, 1, 2 |
Pomnożenie całego równania przez tę samą niezerową liczbę nie zmienia prostej ani odległości.
Rzut prostopadły punktu na prostą
Punkt H jest najbliższym punktem prostej względem P. Dla S=Ax₀+By₀+C jego współrzędne wynoszą:
xₕ = x₀ - A·S/(A²+B²)
yₕ = y₀ - B·S/(A²+B²)
Odcinek PH jest prostopadły do danej prostej, a jego długość jest równa d.
Kalkulator pokazuje H oraz sprawdza wartość Axₕ+Byₕ+C.
Równanie prostej prostopadłej przez punkt P
Dana prosta ma wektor normalny [A,B] i kierunkowy [B,-A]. Prosta prostopadła przechodząca przez P może mieć postać:
Bx-Ay+C'=0
Wyraz C' dobieramy przez podstawienie punktu P. Przecięcie tej prostopadłej z prostą bazową jest punktem H.
Dzięki temu wynik można niezależnie sprawdzić w kalkulatorze punktu przecięcia prostych.
Odległość podpisana i strona prostej
Wartość bez modułu:
dₛ = (Ax₀+By₀+C)/√(A²+B²)
może być dodatnia, ujemna albo równa 0. Jej wartość bezwzględna jest zwykłą odległością.
Znak informuje, po której stronie zorientowanej prostej leży punkt. Zależy on od przyjętego znaku współczynników równania, dlatego kalkulator najpierw normalizuje zapis prostej.
Wynik 0 oznacza, że punkt leży na prostej.
Punkt symetryczny względem prostej
Jeżeli H jest rzutem punktu P na prostą, punkt symetryczny P' spełnia:
P' = 2H-P
Prosta jest symetralną odcinka PP'. Odległości P-H i H-P' są równe.
Kalkulator podaje współrzędne P', co pozwala wykorzystać ten sam wynik w zadaniach z symetrią osiową.
Prosta pionowa i pozioma
Dla prostej pionowej x=k odległość od P(x₀,y₀) wynosi po prostu |x₀-k|. Rzut ma współrzędne H(k,y₀).
Dla prostej poziomej y=k otrzymujemy |y₀-k|, a rzut to H(x₀,k).
Są to szczególne przypadki tego samego ogólnego wzoru, a nie oddzielne reguły.
Wynik dokładny z pierwiastkiem
Jeżeli współczynniki i współrzędne są całkowite, wynik często można zapisać dokładnie. Przykładowo 3/√5 po usunięciu niewymierności z mianownika daje 3√5/5.
Kalkulator pokazuje postać dokładną, gdy liczby pozwalają ją wiarygodnie uprościć, oraz niezależne przybliżenie dziesiętne.
W obliczeniach kontrolnych używane są wartości niezaokrąglone. Zaokrąglenie wpływa tylko na sposób prezentacji.
Odległość w linii prostej a odległość punktu od prostej
Fraza „odległość w linii prostej” zwykle oznacza długość najkrótszego odcinka między dwoma punktami. Wtedy potrzebne są dwa punkty A i B.
W tym kalkulatorze jeden obiekt jest punktem, a drugi całą prostą. Szukany odcinek kończy się w rzucie H i musi być prostopadły do prostej.
Do dwóch punktów użyj kalkulatora odległości między punktami.
Odległość punktu od prostej a odległość dwóch prostych
Dwie przecinające się proste mają odległość równą 0, ponieważ mają wspólny punkt. Dodatnią, stałą odległość można wyznaczyć wyłącznie dla różnych prostych równoległych.
Odległość punktu od prostej jest natomiast określona dla każdego punktu i każdej poprawnej prostej.
Relację i odległość prostych równoległych sprawdzisz w kalkulatorze prostych prostopadłych i równoległych.
Najczęstsze błędy
- Brak wartości bezwzględnej — zwykła odległość nie może być ujemna.
- Zły znak C — szczególnie po przeniesieniu wyrazu wolnego na lewą stronę.
- Dzielenie przez A²+B² zamiast przez pierwiastek — mianownik wzoru to √(A²+B²).
- Wpisanie A=B=0 — takie równanie nie opisuje prostej.
- Mylenie punktu P z rzutem H — H zawsze leży na prostej, P nie musi.
- Zaokrąglanie przed obliczeniem rzutu — może pogorszyć kontrolę Axₕ+Byₕ+C=0.
Zadania z odległości punktu od prostej
Każde zadanie ma osobny przycisk. Po kliknięciu pojawia się wynik i podstawienie.
Zadanie 1: prosta ukośna
Oblicz odległość P(3,2) od prostej 2x-y-1=0.
Zadanie 2: punkt na prostej
Oblicz odległość P(1,1) od prostej x+y-2=0.
Zadanie 3: trójka pitagorejska
Oblicz odległość P(0,4) od prostej 3x+4y-8=0.
Zadanie 4: prosta pionowa
Jaka jest odległość P(2,-1) od prostej x-5=0?
Zadanie 5: prosta pozioma
Oblicz odległość P(-3,4) od prostej y+2=0.
Zadanie 6: postać kierunkowa
Oblicz odległość P(0,0) od prostej y=2x+3.
Ciekawostka
Rzut prostopadły jest rozwiązaniem zadania minimalizacyjnego: spośród wszystkich punktów prostej to H ma najmniejszą odległość od P.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Najpierw sprawdź postać równania i oblicz S=Ax₀+By₀+C. Dopiero potem stosuj moduł i dziel przez √(A²+B²).
Cała geometria w jednym miejscu: Akademia geometrii – figury, bryły, trygonometria i zadania łączy pola i obwody figur z geometrią analityczną, twierdzeniem Pitagorasa, trygonometrią, podobieństwem oraz polami powierzchni i objętościami brył.