Szybka odpowiedź: odległość punktu od prostej
Dla punktu P(x₀,y₀) i prostej Ax+By+C=0 użyj wzoru d = |Ax₀+By₀+C| / √(A²+B²). Kalkulator wyżej od razu podstawia liczby, podaje wynik dokładny i dziesiętny oraz wyznacza rzut prostopadły H.
Jeśli masz prostą w postaci y=mx+b albo x=k, wybierz odpowiedni tryb — narzędzie przeliczy ją na postać ogólną automatycznie.
Punkty i proste — następne obliczenia
Wzór na odległość punktu od prostej
Dla punktu P(x₀,y₀) oraz prostej Ax+By+C=0 odległość wynosi:
d = |Ax₀+By₀+C| / √(A²+B²)
W liczniku podstawiamy współrzędne punktu do równania prostej i bierzemy wartość bezwzględną. W mianowniku znajduje się długość wektora normalnego [A,B].
Jeżeli A i B byłyby jednocześnie równe 0, równanie nie opisywałoby prostej i wzoru nie można zastosować.
Przykład: P(3,2) i prosta 2x-y-1=0
Najpierw obliczamy wartość podstawienia:
S = 2·3 + (-1)·2 - 1 = 3
Mianownik wynosi √(2²+(-1)²)=√5. Zatem:
d = |3|/√5 = 3√5/5 ≈ 1,34
Rzut prostopadły punktu P na prostą ma współrzędne H(1,8;2,6). Długość PH jest równa obliczonej odległości.
Po podstawieniu H do równania prostej otrzymujemy 0, co potwierdza poprawność rzutu.
Jak zapisać prostą w postaci ogólnej?
Wzór wykorzystuje postać Ax+By+C=0. Kalkulator potrafi sam przekształcić postać kierunkową i pionową, ale warto znać zasady:
| Równanie początkowe | Postać ogólna | A, B, C |
|---|---|---|
| y=2x-1 | 2x-y-1=0 | 2, -1, -1 |
| y=-x/2+3 | x+2y-6=0 | 1, 2, -6 |
| x=5 | x-5=0 | 1, 0, -5 |
| y=-2 | y+2=0 | 0, 1, 2 |
Pomnożenie całego równania przez tę samą niezerową liczbę nie zmienia prostej ani odległości.
Rzut prostopadły punktu na prostą
Punkt H jest najbliższym punktem prostej względem P. Dla S=Ax₀+By₀+C jego współrzędne wynoszą:
xₕ = x₀ - A·S/(A²+B²)
yₕ = y₀ - B·S/(A²+B²)
Odcinek PH jest prostopadły do danej prostej, a jego długość jest równa d.
Kalkulator pokazuje H oraz sprawdza wartość Axₕ+Byₕ+C.
Równanie prostej prostopadłej przez punkt P
Dana prosta ma wektor normalny [A,B] i kierunkowy [B,-A]. Prosta prostopadła przechodząca przez P może mieć postać:
Bx-Ay+C'=0
Wyraz C' dobieramy przez podstawienie punktu P. Przecięcie tej prostopadłej z prostą bazową jest punktem H.
Dzięki temu wynik można niezależnie sprawdzić w kalkulatorze punktu przecięcia prostych.
Odległość podpisana i strona prostej
Wartość bez modułu:
dₛ = (Ax₀+By₀+C)/√(A²+B²)
może być dodatnia, ujemna albo równa 0. Jej wartość bezwzględna jest zwykłą odległością.
Znak informuje, po której stronie zorientowanej prostej leży punkt. Zależy od znaku współczynników wpisanego równania; pomnożenie całego równania przez liczbę ujemną odwraca znak odległości podpisanej, ale nie zmienia zwykłej odległości.
Wynik 0 oznacza, że punkt leży na prostej.
Punkt symetryczny względem prostej
Jeżeli H jest rzutem punktu P na prostą, punkt symetryczny P' spełnia:
P' = 2H-P
Prosta jest symetralną odcinka PP'. Odległości P-H i H-P' są równe.
Kalkulator podaje współrzędne P', co pozwala wykorzystać ten sam wynik w zadaniach z symetrią osiową.
Prosta pionowa i pozioma
Dla prostej pionowej x=k odległość od P(x₀,y₀) wynosi po prostu |x₀-k|. Rzut ma współrzędne H(k,y₀).
Dla prostej poziomej y=k otrzymujemy |y₀-k|, a rzut to H(x₀,k).
Są to szczególne przypadki tego samego ogólnego wzoru, a nie oddzielne reguły.
Wynik dokładny z pierwiastkiem
Jeżeli współczynniki i współrzędne są całkowite, wynik często można zapisać dokładnie. Przykładowo 3/√5 po usunięciu niewymierności z mianownika daje 3√5/5.
Kalkulator pokazuje postać dokładną, gdy liczby pozwalają ją wiarygodnie uprościć, oraz niezależne przybliżenie dziesiętne.
W obliczeniach kontrolnych używane są wartości niezaokrąglone. Zaokrąglenie wpływa tylko na sposób prezentacji.
Kiedy użyć innego kalkulatora?
Ten kalkulator rozwiązuje dokładnie zadanie punkt → prosta: szuka najkrótszego odcinka prostopadłego do prostej.
- Jeśli masz dwa punkty A i B, użyj kalkulatora odległości między punktami.
- Jeśli porównujesz dwie proste, użyj kalkulatora prostych równoległych i prostopadłych.
Najczęstsze błędy
- Brak wartości bezwzględnej — zwykła odległość nie może być ujemna.
- Zły znak C — szczególnie po przeniesieniu wyrazu wolnego na lewą stronę.
- Dzielenie przez A²+B² zamiast przez pierwiastek — mianownik wzoru to √(A²+B²).
- Wpisanie A=B=0 — takie równanie nie opisuje prostej.
- Mylenie punktu P z rzutem H — H zawsze leży na prostej, P nie musi.
- Zaokrąglanie przed obliczeniem rzutu — może pogorszyć kontrolę Axₕ+Byₕ+C=0.
Zadania z odległości punktu od prostej
Każde zadanie ma osobny przycisk. Po kliknięciu pojawia się wynik i podstawienie.
Zadanie 1: prosta ukośna
Oblicz odległość P(3,2) od prostej 2x-y-1=0.
Zadanie 2: punkt na prostej
Oblicz odległość P(1,1) od prostej x+y-2=0.
Zadanie 3: trójka pitagorejska
Oblicz odległość P(0,4) od prostej 3x+4y-8=0.
Zadanie 4: prosta pionowa
Jaka jest odległość P(2,-1) od prostej x-5=0?
Zadanie 5: prosta pozioma
Oblicz odległość P(-3,4) od prostej y+2=0.
Zadanie 6: postać kierunkowa
Oblicz odległość P(0,0) od prostej y=2x+3.
Ciekawostka
Rzut prostopadły jest rozwiązaniem zadania minimalizacyjnego: spośród wszystkich punktów prostej to H ma najmniejszą odległość od P.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Najpierw sprawdź postać równania i oblicz S=Ax₀+By₀+C. Dopiero potem stosuj moduł i dziel przez √(A²+B²).
Cała geometria w jednym miejscu: Akademia geometrii – figury, bryły, trygonometria i zadania łączy pola i obwody figur z geometrią analityczną, twierdzeniem Pitagorasa, trygonometrią, podobieństwem oraz polami powierzchni i objętościami brył.
FAQ – odległość punktu od prostej: kalkulator i wzór
Powiązane narzędzia
Dla analogicznego zadania w przestrzeni 3D użyj kalkulatora odległości punktu od płaszczyzny.