Policz kolejne elementy geometrii
Odległość punktów może być bokiem trójkąta, średnicą albo promieniem koła.
Wzór na odległość między punktami
Dla punktów A(x₁, y₁) i B(x₂, y₂) odległość oblicza się ze wzoru:
d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
Różnica współrzędnych x tworzy poziomy bok trójkąta prostokątnego, a różnica y bok pionowy. Szukany odcinek AB jest przeciwprostokątną, dlatego wzór wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa.
Kolejność punktów nie zmienia długości. Po zamianie A z B różnice mają przeciwne znaki, ale ich kwadraty pozostają takie same.
Przykład: A(0,0), B(3,4)
Δx = 3 − 0 = 3, a Δy = 4 − 0 = 4. Suma kwadratów wynosi 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
Odległość to √25 = 5 jednostek. Jest to klasyczna trójka pitagorejska 3-4-5.
Przykład z liczbami ujemnymi
Dla A(-2,5) i B(4,-3) mamy Δx = 6 oraz Δy = -8. Suma kwadratów wynosi 36 + 64 = 100.
Odległość to √100 = 10 jednostek. Ujemny znak różnicy znika po podniesieniu do kwadratu.
Wynik dokładny z pierwiastkiem
Nie każda odległość jest liczbą całkowitą. Dla A(0,0) i B(1,1) suma kwadratów wynosi 2, więc dokładny wynik to √2, a przybliżenie około 1,41.
Kalkulator upraszcza pierwiastki dla całkowitych współrzędnych. Przykładowo √12 zostanie pokazane jako 2√3. Jeśli suma kwadratów jest pełnym kwadratem, wynik dokładny jest liczbą całkowitą.
Przy współrzędnych dziesiętnych kalkulator pokazuje dokładny zapis wzoru z podstawionymi różnicami oraz wynik przybliżony z wybraną dokładnością.
Długość odcinka AB
Polecenie „oblicz długość odcinka AB” oznacza to samo co obliczenie odległości między jego końcami. Współrzędne punktów A i B podstawia się do tego samego wzoru.
Dla A(2,1) i B(8,9) różnice wynoszą 6 i 8. Długość odcinka to √(6² + 8²) = √100 = 10.
Przy trójkącie lub wielokącie kalkulatora można użyć osobno dla każdej pary sąsiednich wierzchołków, a następnie dodać długości boków.
Punkt środkowy odcinka
Środek odcinka AB ma współrzędne:
S = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
Dla A(2,3) i B(8,7) otrzymujemy S(5,5). Punkt środkowy dzieli odcinek na dwie części o tej samej długości.
Jeśli A i B są końcami średnicy koła, punkt środkowy jest środkiem koła, a połowa odległości AB jest jego promieniem.
Nachylenie i równanie prostej przez dwa punkty
Dla Δx różnego od zera współczynnik kierunkowy wynosi m = Δy/Δx. Kalkulator pokazuje także równanie prostej w postaci y = mx + b.
Gdy x₁ = x₂, prosta jest pionowa i ma równanie x = x₁. Gdy punkty pokrywają się, jedna para współrzędnych nie wystarcza do wyznaczenia jednoznacznej prostej.
Nachylenie jest wynikiem pomocniczym. Do samego obliczenia odległości potrzebne są wyłącznie różnice współrzędnych i twierdzenie Pitagorasa.
Odległość punktu od początku układu
Początek układu ma współrzędne O(0,0). Dla punktu P(x,y) wzór upraszcza się do d = √(x² + y²).
Przykład: punkt P(6,8) leży 10 jednostek od początku układu, ponieważ √(36 + 64) = √100 = 10.
Jeżeli O jest środkiem okręgu, obliczona odległość może być jego promieniem.
Punkty na jednej poziomej lub pionowej prostej
| Położenie punktów | Warunek | Odległość |
|---|---|---|
| ta sama pozioma prosta | y₁ = y₂ | |x₂ − x₁| |
| ta sama pionowa prosta | x₁ = x₂ | |y₂ − y₁| |
| ten sam punkt | x₁ = x₂ i y₁ = y₂ | 0 |
| dowolne dwa punkty | brak uproszczenia | √(Δx² + Δy²) |
Jeżeli jedna z różnic wynosi zero, nie trzeba wykonywać pełnego obliczenia z pierwiastkiem.
Najczęstsze błędy
- Błędne odejmowanie liczb ujemnych — na przykład 4 − (-2) = 6.
- Dodanie Δx i Δy bez kwadratów — odległość nie jest sumą przesunięć.
- Pominięcie pierwiastka — suma kwadratów nie jest jeszcze długością odcinka.
- Mylenie punktu środkowego z odległością — środek ma dwie współrzędne, odległość jest jedną liczbą.
- Przedwczesne zaokrąglenie — najlepiej zaokrąglić dopiero wynik końcowy.
- Brak jednostki — jeśli osie są w metrach, odległość również jest w metrach.
Ciekawostka
Odległość między punktami jest odległością euklidesową. Jest to najkrótsza droga w linii prostej, a nie długość trasy biegnącej wyłącznie poziomo i pionowo.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Najpierw oblicz Δx i Δy razem ze znakami. Dopiero potem podnieś różnice do kwadratu. Ten porządek ogranicza większość błędów przy ujemnych współrzędnych.
Cała geometria w jednym miejscu: Akademia geometrii – figury, bryły, trygonometria i zadania łączy pola i obwody figur z geometrią analityczną, twierdzeniem Pitagorasa, trygonometrią, podobieństwem oraz polami powierzchni i objętościami brył.