Wzór na odległość między punktami
Dla punktów A(x₁, y₁) i B(x₂, y₂) odległość w układzie współrzędnych oblicza się ze wzoru:
Różnice współrzędnych tworzą przyprostokątne trójkąta prostokątnego, a odcinek AB jest jego przeciwprostokątną. Dlatego wzór wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa.
Szybki przykład: A(0,0), B(3,4) → d = √(3² + 4²) = √25 = 5.
Jak obliczyć odległość między dwoma punktami krok po kroku?
Odejmij współrzędne x: Δx = x₂ − x₁.
Odejmij współrzędne y: Δy = y₂ − y₁.
Policz Δx² + Δy². Znaki ujemne znikają po podniesieniu do kwadratu.
Pierwiastek z sumy kwadratów jest długością odcinka AB.
Przykład: A(0,0), B(3,4)
Δx = 3 − 0 = 3, a Δy = 4 − 0 = 4. Suma kwadratów wynosi 3² + 4² = 25.
Odległość to √25 = 5 jednostek. Jest to klasyczna trójka pitagorejska 3-4-5.
Przykład z liczbami ujemnymi
Dla A(-2,5) i B(4,-3) mamy Δx = 6 oraz Δy = -8. Suma kwadratów wynosi 36 + 64 = 100.
Odległość to √100 = 10 jednostek. Ujemny znak różnicy nie zmienia końcowej długości.
Wynik dokładny z pierwiastkiem i wynik przybliżony
Dla A(0,0) i B(1,1) suma kwadratów wynosi 2, więc dokładny wynik to √2, a wartość dziesiętna to około 1,4142.
Kalkulator upraszcza pierwiastki dla całkowitych danych, np. √12 do 2√3. Jeśli suma kwadratów jest pełnym kwadratem, wynik dokładny jest liczbą całkowitą.
Przy współrzędnych dziesiętnych pokazuje pełne podstawienie bez przedwczesnego zaokrąglania wartości pośrednich, a wynik końcowy zaokrągla zgodnie z wybranym ustawieniem.
Długość odcinka AB a odległość między punktami
Polecenie „oblicz długość odcinka AB” oznacza to samo co obliczenie odległości między jego końcami. Współrzędne punktów A i B podstawia się do tego samego wzoru.
Dla A(2,1) i B(8,9) różnice wynoszą 6 i 8, więc długość odcinka wynosi √(6² + 8²) = √100 = 10.
W trójkącie lub wielokącie kalkulatora można użyć osobno dla każdej pary sąsiednich wierzchołków, a następnie dodać długości boków.
Punkt środkowy odcinka
Środek odcinka AB ma współrzędne:
Dla A(2,3) i B(8,7) otrzymujemy S(5,5). Punkt środkowy dzieli odcinek na dwie części o tej samej długości.
Jeśli A i B są końcami średnicy koła, punkt środkowy jest środkiem koła, a połowa odległości AB jest promieniem.
Nachylenie i równanie prostej przez dwa punkty
Dla Δx różnego od zera współczynnik kierunkowy wynosi m = Δy / Δx. Kalkulator pokazuje także równanie prostej przechodzącej przez A i B.
Gdy x₁ = x₂, prosta jest pionowa i ma równanie x = x₁. Gdy punkty pokrywają się, jedna para identycznych punktów nie wyznacza jednoznacznej prostej.
Nachylenie jest wynikiem pomocniczym. Do samego obliczenia odległości potrzebne są tylko różnice współrzędnych i twierdzenie Pitagorasa.
Odległość punktu od początku układu
Początek układu ma współrzędne O(0,0). Dla punktu P(x,y) wzór upraszcza się do:
Przykład: punkt P(6,8) leży 10 jednostek od początku układu, ponieważ √(36 + 64) = √100 = 10.
Punkty na jednej poziomej lub pionowej prostej
| Położenie punktów | Warunek | Odległość |
|---|---|---|
| ta sama pozioma prosta | y₁ = y₂ | |x₂ − x₁| |
| ta sama pionowa prosta | x₁ = x₂ | |y₂ − y₁| |
| ten sam punkt | x₁ = x₂ i y₁ = y₂ | 0 |
| dowolne dwa punkty | brak uproszczenia | √(Δx² + Δy²) |
Najczęstsze błędy przy liczeniu odległości
- Błędne odejmowanie liczb ujemnych — np. 4 − (-2) = 6.
- Dodanie Δx i Δy bez kwadratów — odległość nie jest sumą przesunięć.
- Pominięcie pierwiastka — suma kwadratów nie jest jeszcze długością odcinka.
- Przedwczesne zaokrąglenie — najlepiej zaokrąglić dopiero wynik końcowy.
- Mylenie punktu środkowego z odległością — środek ma dwie współrzędne, a odległość jest jedną liczbą.
Wskazówka
Najpierw policz Δx i Δy ze znakami, a dopiero potem podnieś je do kwadratu. Ten prosty porządek ogranicza większość błędów przy ujemnych współrzędnych.
Policz kolejne elementy geometrii
Odległość punktów może być bokiem trójkąta, średnicą albo promieniem koła. Jeśli wynik jest częścią większego zadania, przejdź do odpowiedniego kalkulatora.
Więcej geometrii: Akademia geometrii – figury, bryły, trygonometria i zadania.
FAQ – odległość między punktami i długość odcinka
Ostatnia aktualizacja: 23.09.2026