Kalkulator ruchu harmonicznego (sprężyna)
Policz okres T, częstotliwość f i częstość kątową ω dla drgań sprężyny, a także siłę, przyspieszenie i energie w zależności od wychylenia. Przydatne na fizyce w szkole i na studiach.
ω = √(k/m)
•
T = 2π √(m/k)
•
f = 1/T
•
F = −k·x
Wzór i logika obliczeń
Dla sprężyny (bez tłumienia) najważniejsze zależności to:
- ω = √(k/m)
- T = 2π √(m/k)
- f = 1/T
- F(x) = −k·x oraz a(x) = −ω²·x
- E = (1/2)·k·A², E_p = (1/2)·k·x², E_k = E − E_p
Jakie pytania to rozwiązuje?
„okres drgań sprężyny wzór”, „częstotliwość drgań sprężyny”, „omega sprężyna”, „energia sprężyny z amplitudy”, „siła w wychyleniu x” – wpisz m, k, A i x.
Przykład obliczeń
Przykład 1: m = 0,50 kg i k = 20 N/m → ω ≈ √(20/0,5) = √40 ≈ 6,3249 rad/s, a okres T ≈ 2π/ω ≈ 0,993 s.
Przykład 2: k = 20 N/m, A = 0,10 m → energia całkowita E = (1/2)·20·0,10² = 0,10 J. Dla x = 0,05 m masz E_p = 0,025 J, a E_k = 0,075 J.
Zadanie przykładowe i rozwiązanie (1)
Zadanie: Ciężarek m=200 g jest na sprężynie k=50 N/m. Jaki jest okres drgań?
Rozwiązanie: Wpisz m=200 g, k=50 N/m. Kalkulator policzy T z wzoru T = 2π √(m/k). To typowe wyszukiwanie „okres drgań sprężyny 200 g 50 N/m”.
Zadanie przykładowe i rozwiązanie (2)
Zadanie: Sprężyna ma k=30 N/m i amplitudę A=8 cm. Ile wynosi energia całkowita drgań oraz energia potencjalna dla x=5 cm?
Rozwiązanie: Ustaw k=30, A=8 cm, x=5 cm. Kalkulator poda E=(1/2)·k·A² oraz E_p=(1/2)·k·x² i automatycznie wyliczy E_k.
To często pada jako „energia sprężyny z amplitudy”.
Tabela: szybka ściąga wzorów
| Wielkość |
Symbol |
Wzór |
Jednostka |
| Częstość kątowa | ω | √(k/m) | rad/s |
| Okres | T | 2π √(m/k) | s |
| Częstotliwość | f | 1/T | Hz |
| Siła sprężyny | F | −k·x | N |
| Energia całkowita | E | (1/2)·k·A² | J |
Do przeliczania energii i mocy w innych zadaniach zobacz praca, moc, energia.
Tabela porównawcza: co zmienia m, a co k?
| Parametr |
Jak wpływa na ω i T? |
Intuicja |
Wskazówka do zadań |
| Większa masa m | ω maleje, T rośnie | ciężej „rozbujać” | spodziewaj się wolniejszych drgań |
| Większe k | ω rośnie, T maleje | sprężyna „twardsza” | drgania szybsze |
| Większa A | ω i T bez zmian (ideał) | zmienia się tylko energia | uważaj: w realu bywa nieliniowo |
Jeśli liczysz też siły w układach, przyda się II zasada Newtona oraz moment siły.
Ciekawostka
W idealnym ruchu harmonicznym okres nie zależy od amplitudy. To zaskakuje, bo „większe wychylenie” nie oznacza „wolniej” – w sprężynie rośnie wtedy też siła powrotu.
Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku
- Jednostki – 200 g to 0,2 kg, 8 cm to 0,08 m. Błąd jednostek robi wynik 10× lub 100× zły.
- |x| większe niż A – w idealnym modelu wychylenie nie powinno przekraczać amplitudy.
- Mylenie ω z f – ω jest w rad/s, a f w Hz. Łączy je zależność ω = 2πf.
- Pomijanie znaku – F i a mają przeciwny znak do x (siła „ciągnie” do zera).
Jeśli wpisujesz „omega to 2πf?”, tak – kalkulator pokazuje oba wyniki.
Drgania w praktyce
Tłumienie w realu
W praktyce tarcie i opory zmniejszają amplitudę w czasie. Okres często jest podobny, ale energie już nie są stałe.
Siła i bezpieczeństwo
Dla dużego k i dużego |x| siła rośnie liniowo: |F|=k·|x|. To przydaje się w zadaniach o amortyzacji i sprężynach.
Do ujęcia „siła średnia w krótkim czasie” zobacz pęd i impuls, a do zderzeń zderzenia.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Jeśli w zadaniu masz tylko m i k, najpewniej chodzi o T, f lub ω. Jeśli masz też A i x – wtedy wchodzi energia i siła sprężyny.
FAQ – Ruch harmoniczny sprężyny (okres, częstotliwość, energia)
Użyj wzoru T = 2π √(m/k). Wpisz m i k w kalkulatorze, a dostaniesz T oraz f i ω.
Najpierw liczysz okres T, a potem f = 1/T. Kalkulator robi to automatycznie.
ω to częstość kątowa w rad/s. Z częstotliwością łączy ją ω = 2πf.
Energia całkowita w drganiach sprężyny to E = (1/2)·k·A². Wpisz k i A, a kalkulator poda E.
Z prawa Hooke’a: F = −k·x. Znak minus oznacza, że siła jest skierowana do położenia równowagi.
W idealnym modelu sprężyny (liniowa zależność F=−kx) okres zależy tylko od m i k. Amplituda wpływa na energię, ale nie na T.
W idealnych drganiach nie. Jeśli |x| > A, to dane są niespójne (albo A jest źle podane). Kalkulator może ostrzegać o tym przypadku.
200 g = 0,2 kg, 8 cm = 0,08 m. W kalkulatorze możesz zmienić jednostki, żeby uniknąć pomyłek.
Dla x=0 energia jest głównie kinetyczna, a dla x=±A – potencjalna. Kalkulator pokazuje E, E_p i E_k dla podanego x.