Masz wynik? Sprawdź kolejny typ ciągu
Jeśli rozpoznasz w zadaniu szczególny rodzaj ciągu, możesz przejść od razu do kalkulatora lub poradnika dopasowanego do tego przypadku.
Czym jest ciąg rekurencyjny?
W ciągu rekurencyjnym kolejne wyrazy wyznacza się z wcześniejszych. Dla rekurencji 1. rzędu każdy kolejny wyraz zależy od jednego poprzedniego, a dla rekurencji 2. rzędu – od dwóch poprzednich.
Kalkulator startuje od indeksu a₀. Przy rekurencji 2. rzędu trzeba więc podać również a₁.
Wzory używane w kalkulatorze
Ciąg Fibonacciego jest szczególnym przypadkiem drugiego wzoru: p=1, q=1, c=0, a₀=0 i a₁=1. Wtedy każdy kolejny wyraz jest sumą dwóch poprzednich.
Przykład: Fibonacci
Dla a₀=0, a₁=1 i aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂ otrzymujemy kolejno:
Jeśli ustawisz n=20, kalkulator zwróci a₂₀=6765.
Przykład: rekurencja 1. rzędu
Dla a₀=3 oraz aₙ=2·aₙ₋₁ kolejne wyrazy to:
W tym przykładzie każdy wyraz jest dwa razy większy od poprzedniego.
Co oznaczają parametry?
Określają, jak mocno poprzednie wyrazy wpływają na następny.
To stała dodawana w każdym kolejnym kroku.
To warunki początkowe, od których zaczyna się ciąg.
Po każdym kroku wynik jest zastępowany resztą z dzielenia przez m. W tym trybie dane muszą być całkowite.
Najczęstsze pomyłki
- Brak a₁ przy rekurencji 2. rzędu. Do rozpoczęcia obliczeń potrzebne są dwa warunki początkowe.
- Pomylenie indeksowania. Ten kalkulator zaczyna od a₀, a nie od a₁.
- Modulo z ułamkami. W trybie modulo współczynniki i warunki początkowe powinny być całkowite.
- Bardzo szybki wzrost. Niektóre ciągi osiągają ogromne wartości już dla stosunkowo małego n.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Najpierw sprawdź, od którego indeksu zaczyna się ciąg w zadaniu. Potem wpisz warunki początkowe i dopiero współczynniki rekurencji. Na końcu porównaj kilka pierwszych wyrazów z obliczeniem ręcznym — to najszybszy sposób na wychwycenie pomyłki w przepisanym wzorze.
Cała algebra w jednym miejscu: Akademia algebry – wzory, równania, funkcje i wielomiany.
FAQ – Kalkulator ciągów rekurencyjnych
Ostatnia aktualizacja: 29.09.2026