Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter poglądowy. Dokładamy wszelich starań, by były poprawne, ale zawsze weryfikuj je z fachowcem.

Przejdź do treści

Kalkulator ciągów rekurencyjnych | n-ty wyraz i pierwsze wyrazy

Policz n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego (np. Fibonacci) i wypisz pierwsze wyrazy. Obsługa rekurencji 1. i 2. rzędu, stałych, modułu oraz wykresu wartości.

Dane wprowadzane

Frazy: „ciąg rekurencyjny n-ty wyraz”, „rekurencja Fibonacci kalkulator”, „pierwsze wyrazy ciągu”.
0 = bez modulo.

Wynik

Wartość aₙ
—
Ostatni policzony
—
—
—
ParametrWartośćZnaczenie
p, q, c—współczynniki rekurencji
a₀, a₁—warunki początkowe
mod—moduł (0 = brak)
Pierwsze wyrazy

        


        

          
Ciekawostka

          

            Fibonacci to rekurencja 2. rzędu. Takie ciągi często da się liczyć bardzo szybko macierzowo, ale do zadań szkolnych wystarcza iteracja po kolejnych wyrazach.
          

        

      

    

  


  

    

      

        
Wskazówka od KalkulatorXXL

        

          Jeśli szukasz „n-ty wyraz Fibonacciego”, ustaw preset Fibonacci i wpisz n.
          Do powiązanych tematów zajrzyj:
          ciągi,
          permutacje,
          reguła trzech,
          układy równań,
          wariancja,
          ułamki,
          wycinek koła i
          kula.
        

      

    

    

      

        
Szybka interpretacja

        
    
          
  • Rekurencja 1. rzędu: każdy wyraz zależy tylko od poprzedniego.
    • 
          
  • Rekurencja 2. rzędu: zależy od dwóch poprzednich (np. Fibonacci).
    • 
          
  • Moduł przydaje się w zadaniach z arytmetyki modularnej i programowania.
    • 
        

      

    

  


  

    

      
Ciągi rekurencyjne – n-ty wyraz i pierwsze wyrazy

      

        Ten opis wspiera kalkulator ciągów rekurencyjnych i odpowiada na pytania typu:
        „jak obliczyć n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego”, „Fibonacci n-ty wyraz”, „pierwsze wyrazy ciągu z rekurencji”.
      

    


    

      
Wzory użyte w kalkulatorze

      

        Rekurencja 1. rzędu: aₙ = p·aₙ₋₁ + c (znasz a₀).
        Rekurencja 2. rzędu: aₙ = p·aₙ₋₁ + q·aₙ₋₂ + c (znasz a₀ i a₁).
        Fibonacci to przypadek p=1, q=1, c=0.
      

      

        
Aby obliczyć…

        
Wybierz rząd rekurencji, ustaw parametry i wpisz n. Kalkulator policzy iteracyjnie kolejne wyrazy oraz narysuje wykres.

      

    


    

      
Przykładowe zadanie i rozwiązanie 1

      

        
Zadanie: Ciąg Fibonacci: a₀=0, a₁=1, aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂. Oblicz a₂₀.

        
Rozwiązanie: Wybierz preset Fibonacci i ustaw n=20. Kalkulator zwróci a₂₀ oraz pokaże pierwsze wyrazy na liście i wykresie.

      

    


    

      
Przykładowe zadanie i rozwiązanie 2

      

        
Zadanie: a₀=3, aₙ=2·aₙ₋₁. Wypisz pierwsze 6 wyrazów i podaj a₁₀.

        
Rozwiązanie: Ustaw rząd 1, p=2, c=0, a₀=3. Wpisz „ile wyrazów” = 6 i n=10. Kalkulator wypisze 3, 6, 12, 24, 48, 96 oraz a₁₀.

      

    


    

      
Tabela – co oznacza parametr

      

        

          
ParametrOpisPrzykład

          
            
p, qwagi poprzednich wyrazówFibonacci: p=1, q=1

            
cstała dodawana w każdym krokuciąg z przesunięciem: c=5

            
modliczenie modulo mmod=1000 (ostatnie 3 cyfry)

          
        

      

    


    

      
Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku

      
    
        
  • Brak a₁ przy rekurencji 2. rzędu – bez niego nie policzysz kolejnych wyrazów.
    • 
        
  • Ustawiony moduł, gdy chcesz wynik „normalny” – mod=0 oznacza brak modulo.
    • 
        
  • Za duże n bez modułu przy szybkim wzroście – wartości mogą stać się ogromne.
    • 
        
  • Pomylenie indeksowania (a₀ vs a₁) – w kalkulatorze startujemy od a₀.
    • 
      

    


    

      
Ciekawostka

      

        Wiele ciągów rekurencyjnych 2. rzędu ma postać zbliżoną do Fibonacciego – zmiana p i q potrafi całkowicie zmienić tempo wzrostu i zachowanie (np. oscylacje przy q<0).
      

    


    
FAQ – Kalkulator ciągów rekurencyjnych
Ustaw rekurencję (1. lub 2. rzędu), wpisz warunki początkowe i n. Kalkulator policzy kolejne wyrazy iteracyjnie.
Wybierz preset Fibonacci i wpisz n. Wzór: aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂, a₀=0, a₁=1.
To taka, gdzie aₙ zależy tylko od aₙ₋₁, np. aₙ=2·aₙ₋₁. Wystarczy znać a₀.
To taka, gdzie aₙ zależy od aₙ₋₁ i aₙ₋₂, np. Fibonacci. Trzeba znać a₀ i a₁.
Ustaw pole „Ile pierwszych wyrazów wypisać?”, a lista pojawi się w wynikach (możesz wybrać format).
Pozwala liczyć wyrazy modulo m (np. ostatnie 3 cyfry). Przy dużych n zapobiega ogromnym liczbom.
Wiele rekurencji (np. z p>1) rośnie wykładniczo. Wtedy wartości szybko przekraczają typowe zakresy liczb.
W kalkulatorze startujemy od a₀. Jeśli w zadaniu startujesz od a₁, przepisz warunki tak, aby pasowały do a₀/a₁.
Włącz „Pokaż wzór i podstawienie” i porównaj pierwsze wyrazy z tym, co wychodzi ręcznie dla kilku kroków.
  





        

          

            
Najczęściej używane razem
                        

                          
                            

                              Kalkulator trygonometrycznyPopularne                            

                            
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.

                          
                        

                                                

                          
                            

                              Kalkulator NWD i NWWPopularne                            

                            
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.

                          
                        

                                                

                          
                            

                              Kalkulator sumy kątów w wielokącie                            

                            
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.

                          
                        

                                                

                          
                            

                              Kalkulator odchylenia przeciętnego                            

                            
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.

                          
                        

                                  

        

        

  Ostatnia aktualizacja kalkulatora: 2026-04