Ciągi rekurencyjne – n-ty wyraz i pierwsze wyrazy
Ten opis wspiera kalkulator ciągów rekurencyjnych i odpowiada na pytania typu: „jak obliczyć n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego”, „Fibonacci n-ty wyraz”, „pierwsze wyrazy ciągu z rekurencji”.
Wzory użyte w kalkulatorze
Rekurencja 1. rzędu: aₙ = p·aₙ₋₁ + c (znasz a₀). Rekurencja 2. rzędu: aₙ = p·aₙ₋₁ + q·aₙ₋₂ + c (znasz a₀ i a₁). Fibonacci to przypadek p=1, q=1, c=0.
Przykładowe zadanie i rozwiązanie 1
Zadanie: Ciąg Fibonacci: a₀=0, a₁=1, aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂. Oblicz a₂₀.
Rozwiązanie: Wybierz preset Fibonacci i ustaw n=20. Kalkulator zwróci a₂₀ oraz pokaże pierwsze wyrazy na liście i wykresie.
Przykładowe zadanie i rozwiązanie 2
Zadanie: a₀=3, aₙ=2·aₙ₋₁. Wypisz pierwsze 6 wyrazów i podaj a₁₀.
Rozwiązanie: Ustaw rząd 1, p=2, c=0, a₀=3. Wpisz „ile wyrazów” = 6 i n=10. Kalkulator wypisze 3, 6, 12, 24, 48, 96 oraz a₁₀.
Tabela – co oznacza parametr
| Parametr | Opis | Przykład |
|---|---|---|
| p, q | wagi poprzednich wyrazów | Fibonacci: p=1, q=1 |
| c | stała dodawana w każdym kroku | ciąg z przesunięciem: c=5 |
| mod | liczenie modulo m | mod=1000 (ostatnie 3 cyfry) |
Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku
- Brak a₁ przy rekurencji 2. rzędu – bez niego nie policzysz kolejnych wyrazów.
- Ustawiony moduł, gdy chcesz wynik „normalny” – mod=0 oznacza brak modulo.
- Za duże n bez modułu przy szybkim wzroście – wartości mogą stać się ogromne.
- Pomylenie indeksowania (a₀ vs a₁) – w kalkulatorze startujemy od a₀.
Wiele ciągów rekurencyjnych 2. rzędu ma postać zbliżoną do Fibonacciego – zmiana p i q potrafi całkowicie zmienić tempo wzrostu i zachowanie (np. oscylacje przy q<0).
FAQ – Kalkulator ciągów rekurencyjnych
Ostatnia aktualizacja: 19.08.2026