Graf pełny Kₙ - co liczy ten kalkulator?
W kalkulatorze grafu pełnego Kₙ wpisujesz liczbę wierzchołków i od razu otrzymujesz liczbę krawędzi, stopień każdego wierzchołka oraz kontrolę, czy podana liczba krawędzi może pochodzić z klasycznego grafu pełnego. To narzędzie odpowiada na pytania typu „ile krawędzi ma K10”, „graf pełny wzór na krawędzie”, „ile połączeń w sieci każdy z każdym” oraz „jak policzyć krawędzie w grafie pełnym”.
Ten temat najlepiej łączy się z kalkulatorem stopni wierzchołków grafu, bo w Kₙ każdy wierzchołek ma ten sam stopień. Przy zadaniach z elementami i parami przyda się także kalkulator działań na zbiorach, a przy zadaniach liczbowych kalkulator modulo oraz rozszerzony algorytm Euklidesa.
Wzór i logika obliczeń
W klasycznym grafie pełnym nieskierowanym bez pętli każda krawędź łączy dokładnie dwa różne wierzchołki. Dlatego nie liczymy kierunku połączenia, tylko pary wierzchołków.
| Wariant | Wzór na liczbę krawędzi | Stopień wierzchołka | Kiedy używać? |
|---|---|---|---|
| Klasyczny Kₙ | |E| = n(n-1)/2 | n-1 | Najczęstsze zadania szkolne i akademickie z grafem pełnym. |
| Skierowany bez pętli | |E| = n(n-1) | out=n-1, in=n-1 | Gdy liczy się kierunek połączenia między wierzchołkami. |
| Nieskierowany z pętlami | |E| = n(n+1)/2 | n+1 | Gdy dozwolone jest połączenie wierzchołka z samym sobą. Pętla wnosi 2 do stopnia wierzchołka. |
Przykład obliczeń: ile krawędzi ma K₈?
Dla grafu pełnego K₈ mamy osiem wierzchołków. W klasycznym wariancie każdy wierzchołek łączy się z siedmioma pozostałymi, ale każda krawędź zostałaby wtedy policzona dwa razy, dlatego wynik dzielimy przez 2.
Ten sam wynik można odczytać jako liczbę wszystkich par z 8 wierzchołków. Jeśli użytkownik wpisuje w Google „K8 ile krawędzi”, odpowiedź brzmi: 28 krawędzi.
Jak odtworzyć liczbę wierzchołków z liczby krawędzi?
Czasem zadanie działa odwrotnie: znamy liczbę krawędzi i trzeba sprawdzić, czy graf może być grafem pełnym. Wtedy rozwiązujemy równanie n(n-1)/2 = m. Kalkulator robi tę kontrolę dla klasycznego grafu Kₙ.
m=45, więc n(n-1)/2=45. Otrzymujemy n=10, czyli graf K₁₀.
m=50 nie daje całkowitego n, więc 50 krawędzi nie jest liczbą krawędzi żadnego klasycznego grafu pełnego Kₙ.
Zadania przykładowe
Zadanie 1
Ile krawędzi ma graf pełny K₁₂?
Odpowiedź: 12 · 11 / 2 = 66.
Zadanie 2
Graf pełny ma 21 krawędzi. Ile ma wierzchołków?
Odpowiedź: n(n-1)/2=21, więc n=7.
Tabela wartości dla najczęstszych grafów pełnych
Ta tabela pomaga szybko sprawdzić wyniki dla popularnych pytań: „K5 ile krawędzi”, „K6 liczba krawędzi”, „K10 graf pełny”.
| Graf | Wierzchołki | Krawędzie | Stopień każdego wierzchołka | Liczba trójkątów |
|---|---|---|---|---|
| K₄ | 4 | 6 | 3 | 4 |
| K₅ | 5 | 10 | 4 | 10 |
| K₆ | 6 | 15 | 5 | 20 |
| K₈ | 8 | 28 | 7 | 56 |
| K₁₀ | 10 | 45 | 9 | 120 |
| K₁₂ | 12 | 66 | 11 | 220 |
Graf pełny a inne tematy matematyki dyskretnej
Graf pełny jest bardzo dobrym mostem między teorią grafów i kombinatoryką. Liczba krawędzi to liczba par wierzchołków, liczba trójkątów to liczba trójek, a większe podgrafy pełne prowadzą do symboli Newtona. Dlatego przy takich zadaniach przydadzą się także wariacje i kombinacje, permutacje oraz silnia i symbol Newtona.
Jeżeli zadanie dotyczy nie liczby wszystkich możliwych połączeń, ale konkretnej macierzy sąsiedztwa, przejdź do kalkulatora stopni wierzchołków grafu. Tam można sprawdzić sumy wierszy, graf skierowany, graf nieskierowany i podstawowe zależności stopni.
Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku
- Mylenie grafu skierowanego z nieskierowanym: w grafie skierowanym bez pętli wynik jest dwa razy większy niż w klasycznym Kₙ.
- Pomijanie pętli: jeśli pętle są dozwolone, dochodzi jeszcze n dodatkowych połączeń własnych.
- Liczenie stopni zamiast krawędzi: w Kₙ suma stopni wynosi n(n-1), ale liczba krawędzi to połowa tej wartości.
- Niecałkowite n w zadaniu odwrotnym: jeśli z równania nie wychodzi liczba całkowita, dana liczba krawędzi nie odpowiada klasycznemu grafowi pełnemu.
Ciekawostka
W grafie pełnym Kₙ każda trójka wierzchołków tworzy trójkąt. Dlatego liczba trójkątów w Kₙ to C(n,3). Dla K₆ jest ich 20, a dla K₁₀ już 120 - to pokazuje, jak szybko rośnie liczba zależności w pełnej sieci połączeń.
Powiązane kalkulatory matematyki dyskretnej
Jeśli chcesz domknąć cały pakiet logiki, zbiorów i grafów, przejdź kolejno przez tablice prawdy, działania na zbiorach, modulo, rozszerzony algorytm Euklidesa oraz stopnie wierzchołków grafu. Graf pełny warto traktować jako szybki kalkulator wzoru, a stopnie grafu jako narzędzie do analizy konkretnej struktury.
Cały pakiet: matematyka dyskretna, logika, zbiory i grafy
Ten kalkulator należy do jednego pakietu z zakresu matematyki dyskretnej. Jeżeli pracujesz z logiką i zbiorami, przejdź kolejno przez tablica prawdy, prawa De Morgana, działania na zbiorach oraz relacje i własności relacji. Te narzędzia pomagają rozumieć zapisy zdań, negacje, diagramy Venna i własności relacji.
Jeśli zadanie dotyczy reszt z dzielenia, wybierz modulo i reszty z dzielenia, kongruencje liniowe albo rozszerzony algorytm Euklidesa. Do zadań z gwarantowanym powtórzeniem pasuje zasada szufladkowa Dirichleta, szczególnie gdy szufladami są reszty modulo, kolory, miesiące lub inne klasy.
Część grafową tworzą: stopnie wierzchołków grafu, graf pełny Kₙ, drzewa w grafach, ścieżki i cykle w grafie i macierz sąsiedztwa grafu. Dzięki temu możesz przejść od listy krawędzi, przez macierz sąsiedztwa, aż po stopnie, cykle, drzewa i graf pełny.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Gdy w zadaniu widzisz zapis Kₙ, najpierw ustal, czy chodzi o klasyczny graf pełny bez pętli. Jeśli tak, prawie zawsze zaczynasz od wzoru n(n-1)/2. Dopiero potem sprawdzasz dodatkowe warunki, np. stopnie wierzchołków, liczbę trójkątów albo relację z kombinatoryką.
Cały dział matematyki dyskretnej: Akademia matematyki dyskretnej – logika, zbiory i grafy łączy tablice prawdy, prawa De Morgana, zbiory, relacje, modulo, kongruencje, podzielność, kombinatorykę, prawdopodobieństwo i teorię grafów.
FAQ - graf pełny Kₙ i liczba krawędzi
Ostatnia aktualizacja: 26.09.2026