Kalkulator liczby krawędzi w grafie pełnym

Wariant	Wzór na \|E\|	Uwagi
—	—	—

Wariant

Wzór na |E|

Uwagi

—

Graf pełny Kₙ – ile ma krawędzi?

W kalkulatorze liczby krawędzi w grafie pełnym sprawdzasz szybko, ile krawędzi ma Kₙ dla podanej liczby wierzchołków. To dokładnie pytania typu „ile krawędzi ma K10”, „graf pełny wzór na krawędzie” albo „Kₙ liczba krawędzi”.

Jeśli uczysz się teorii grafów, przyda się też kalkulator stopni wierzchołków grafu, a do zadań kombinatorycznych: permutacje, działania na zbiorach oraz regułę trzech.

Wzór, który warto zapamiętać

W klasycznym grafie pełnym nieskierowanym (bez pętli) każda krawędź odpowiada parze wierzchołków, więc liczba krawędzi to liczba par:

Wzór

|E| = C(n,2) = n(n−1)/2

Przy okazji: w Kₙ każdy wierzchołek ma stopień n−1, więc graf jest (n−1)-regularny. Jeśli chcesz to od razu policzyć dla konkretnej macierzy sąsiedztwa – użyj stopni wierzchołków.

Wskazówka od KalkulatorXXL

Gdy ktoś pyta „ile krawędzi ma K12”, nie licz ręcznie – podstaw: 12·11/2 = 66. W zadaniach mieszanych często łączysz to z kombinatoryką (np. permutacjami) albo z zależnościami w geometrii (np. odległością punktów, Pitagorasem, rozwiązywaniem trójkątów).

Tabela – szybkie wartości (bez pętli)

Poniżej masz gotowe odpowiedzi na „K5 ile krawędzi”, „K8 ile krawędzi” itd. Jeśli liczysz coś w statystyce i potrzebujesz tylko szybkich przeliczeń, zajrzyj też do wariancji i odchylenia lub ciągów.

n	\|E\| = n(n−1)/2	deg = n−1
4	6	3
5	10	4
6	15	5
8	28	7
10	45	9
12	66	11

Przykładowe zadania i rozwiązania

Zadanie 1: Ile krawędzi ma graf pełny K₈?

Rozwiązanie: |E| = 8·7/2 = 28. (To dokładnie „ile krawędzi ma K8”.)

Zadanie 2: Graf pełny ma 45 krawędzi. Ile ma wierzchołków?

Rozwiązanie: n(n−1)/2 = 45 ⇒ n(n−1)=90 ⇒ n=10, więc to K₁₀.

Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku

Mylenie wariantów: dla grafu skierowanego bez pętli typowo jest |E|=n(n−1), a nie n(n−1)/2.
Pętle: jeśli dopuszczasz pętle, liczba krawędzi w wariancie nieskierowanym zmienia się na n(n+1)/2.
Zły „n” z treści zadania: czasem n oznacza liczbę elementów, a wierzchołków jest np. n+1 – warto to sprawdzić w opisie.
Brak kontroli stopni: w Kₙ stopień zawsze wynosi n−1 – jeśli w Twojej konstrukcji wychodzi inaczej, to nie jest graf pełny.

Ciekawostka

W grafie pełnym liczba trójkątów to C(n,3). Dlatego K₆ ma 20 trójkątów – to często pojawia się w zadaniach łączących grafy i kombinatorykę. Jeśli liczysz symbole Newtona w innych kontekstach, przyda się też kalkulator permutacji oraz działania na ułamkach.

FAQ – Kalkulator liczby krawędzi w grafie pełnym

Dla klasycznego Kₙ: |E| = n(n−1)/2. Dla n=10: 10·9/2 = 45.

W grafie nieskierowanym bez pętli: |E| = C(n,2) = n(n−1)/2.

Bo w grafie nieskierowanym para (i,j) jest tym samym co (j,i), więc liczymy pary nieuporządkowane.

W klasycznym Kₙ każdy wierzchołek ma stopień n−1.

Tak. Kₙ jest zawsze (n−1)-regularny.

Bez pętli: |E| = n(n−1), bo liczymy uporządkowane pary (i→j).

Wtedy liczba krawędzi wynosi n(n+1)/2 (wariant nieskierowany z pętlami).

Rozwiąż n(n−1)/2 = |E|. Np. dla |E|=45 wychodzi n=10.

Lemat o uściskach dłoni: każda krawędź zwiększa sumę stopni o 2.

Kalkulator liczby krawędzi w grafie pełnym | Kₙ

Oblicz, ile krawędzi ma graf pełny Kₙ dla podanej liczby wierzchołków. Kalkulator pokaże wzór n(n−1)/2, stopień wierzchołka (n−1), regularność oraz wykres zależności |E| od n.

Dane wprowadzane

Wynik

Graf pełny Kₙ – ile ma krawędzi?

Wzór, który warto zapamiętać

Wskazówka od KalkulatorXXL

Tabela – szybkie wartości (bez pętli)

Przykładowe zadania i rozwiązania

Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku

FAQ – Kalkulator liczby krawędzi w grafie pełnym

Najczęściej używane razem

Kalkulator liczby krawędzi w grafie pełnym | Kₙ

Oblicz, ile krawędzi ma graf pełny Kₙ dla podanej liczby wierzchołków. Kalkulator pokaże wzór n(n−1)/2, stopień wierzchołka (n−1), regularność oraz wykres zależności |E| od n.

Dane wprowadzane

Wynik

Graf pełny Kₙ – ile ma krawędzi?

Wzór, który warto zapamiętać

Wskazówka od KalkulatorXXL

Tabela – szybkie wartości (bez pętli)

Przykładowe zadania i rozwiązania

Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku

FAQ – Kalkulator liczby krawędzi w grafie pełnym

Ile krawędzi ma graf pełny K10?

Jaki jest wzór na liczbę krawędzi w Kₙ?

Dlaczego w Kₙ jest n(n−1)/2, a nie n(n−1)?

Jaki stopień ma wierzchołek w grafie pełnym?

Czy graf pełny jest regularny?

Jak policzyć liczbę krawędzi w grafie pełnym skierowanym?

Co jeśli graf pełny ma pętle?

Jak odtworzyć n, jeśli znam liczbę krawędzi?

Skąd wiadomo, że suma stopni to 2·|E|?

Najczęściej używane razem