Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter poglądowy. Dokładamy wszelich starań, by były poprawne, ale zawsze weryfikuj je z fachowcem.

Przejdź do treści

Kalkulator rozwiązywania trójkątów | Sinusy i cosinusy

Rozwiąż dowolny trójkąt z 3 danych: oblicz wszystkie boki i kąty metodą twierdzenia sinusów i cosinusów. Obsługa SSS, SAS, ASA/AAS i SSA (warianty).

Dane wprowadzane

Frazy: „rozwiąż trójkąt z 3 danych”, „twierdzenie sinusów kalkulator”, „twierdzenie cosinusów obliczenia”.
°
°
°
Podaj dwa kąty (np. A i B), trzeci zostanie wyliczony.
To przypadek niejednoznaczny – kalkulator pokaże 0/1/2 możliwe trójkąty.
Tylko opis – obliczenia są bezwymiarowe.

Wynik

Status
—
Pole
—
—

Wskazówka od KalkulatorXXL

Jeśli wpisujesz „jak rozwiązać trójkąt z 2 boków i kąta”, wybierz SAS – tam używamy twierdzenia cosinusów. Przy SSA (2 boki i kąt niepomiędzy) możliwe są dwa różne trójkąty, więc kalkulator pokaże oba warianty. Do powiązanych tematów zobacz też: Pitagoras, trygonometria, siła prasy i wat na ampery.

Ciekawostka

Ten sam zestaw danych SSA potrafi dać dwa różne trójkąty (kąt „ostry” i „rozwarty” po drugiej stronie), dlatego w geometrii mówi się o „przypadku niejednoznacznym” twierdzenia sinusów.

Rozwiązywanie trójkątów – twierdzenie sinusów i cosinusów

Ten opis wspiera kalkulator rozwiązywania trójkątów i odpowiada na pytania typu: „rozwiąż trójkąt z trzech danych”, „twierdzenie sinusów obliczenia”, „twierdzenie cosinusów kalkulator”. Jeśli liczysz też wartości funkcji, przyda się kalkulator sin/cos/tan, a do klasyki geometrii – twierdzenie Pitagorasa. Dla praktycznych obliczeń w innych działach zobacz koszt energii silnika, stężenie chłodziwa CNC oraz ciężar więźby dachowej.

Jakie zestawy danych są jednoznaczne?

Najpewniejsze przypadki to SSS (3 boki), SAS (2 boki i kąt między nimi) oraz ASA/AAS (2 kąty i 1 bok). Przypadek SSA bywa niejednoznaczny – czasem istnieje 0, 1 albo 2 poprawne trójkąty.

Aby rozwiązać trójkąt…
Wystarczy wybrać zestaw danych (SSS/SAS/ASA/SSA) i wpisać znane wartości. Kalkulator obliczy komplet boków i kątów oraz poda pole i obwód.

Przykładowe zadanie i rozwiązanie

Zadanie: Znam a=5 cm, b=7 cm i kąt C=60°. Oblicz pozostałe elementy.

Rozwiązanie: Wybierz SAS, ustaw „a i b + kąt C”, wpisz a=5, b=7, C=60°. Kalkulator policzy c twierdzeniem cosinusów, a potem kąty twierdzeniem sinusów.

Tabela – kiedy używamy sinusów, a kiedy cosinusów

PrzypadekCo liczymy najpierwNajczęstsza fraza
SSSkąty z cosinusów„mam 3 boki, policz kąty”
SASbrakujący bok z cosinusów„2 boki i kąt między nimi”
ASA/AAStrzeci kąt, potem boki z sinusów„2 kąty i bok”
SSAsprawdzenie liczby rozwiązań, potem sin/cos„2 boki i kąt niepomiędzy”

Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku

  • Mylenie „kąta między bokami” (SAS) z kątem naprzeciw boku (SSA).
  • Wpisywanie trzech kątów bez żadnego boku – brakuje skali (trójkąt podobny, ale nie jednoznaczny).
  • Podawanie boków łamiących nierówność trójkąta (np. a+b ≤ c).
  • Zaokrąglanie w trakcie – lepiej zaokrąglić dopiero wyniki.
Ciekawostka

Jeśli w SSA wyjdą dwa rozwiązania, oba mają te same dane wejściowe, ale inny kształt (inny jeden z kątów). To dobry test, czy na pewno masz „kąt między bokami”, czy kąt naprzeciw boku.

FAQ – Kalkulator rozwiązywania trójkątów

Wybierz SSS i wpisz a, b, c. Kalkulator wyliczy kąty twierdzeniem cosinusów i poda pole oraz obwód.

W SAS najpierw liczy się brakujący bok z twierdzenia cosinusów, a potem kąty z twierdzenia sinusów. W kalkulatorze wybierz parę boków i kąt między nimi.

Mówi, że a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Gdy znasz dwa kąty i jeden bok (ASA/AAS), możesz policzyć pozostałe boki.

Dla boku c: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Używa się go w SSS i SAS, gdy potrzebujesz policzyć bok lub kąt.

Bo z twierdzenia sinusów możesz dostać kąt ostry albo dopełniający go do 180° (rozwarty). W zależności od danych istnieje 0, 1 albo 2 trójkąty.

Gdy z obliczeń wychodzi sin(θ) > 1 (geometria jest niemożliwa) albo gdy suma kątów nie może dać 180°. Kalkulator pokaże status „brak”.

Nie da się jednoznacznie – znasz tylko kształt (trójkąty podobne). Potrzebujesz przynajmniej jednego boku, żeby ustalić skalę.

Musi być spełniona nierówność trójkąta: a+b>c, a+c>b, b+c>a. Gdy nie jest spełniona, kalkulator nie wyliczy wyników.

To obliczenia numeryczne. Zmień zaokrąglenie w ustawieniach, a przy SSA sprawdź oba warianty, jeśli się pojawią.

Najczęściej używane razem

Kalkulator trygonometrycznyPopularne
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator NWD i NWWPopularne
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator błędu bezwzględnego i względnego
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator błędu bezwzględnego i względnego
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.

Ostatnia aktualizacja kalkulatora: 2026-04