Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter poglądowy. Dokładamy wszelkich starań, by były poprawne, ale zawsze weryfikuj je z fachowcem.

Przejdź do treści

Kalkulator rozwiązywania trójkątów | Sinusy i cosinusy

Rozwiąż dowolny trójkąt z 3 danych: oblicz wszystkie boki i kąty metodą twierdzenia sinusów i cosinusów. Obsługa SSS, SAS, ASA/AAS i SSA (warianty).

Dane do rozwiązania trójkąta

Wybierz zestaw danych i wpisz tylko wartości oznaczone jako potrzebne w danym trybie.
SSS • SAS • ASA/AAS • SSA
SSA może mieć 0, 1 albo 2 poprawne rozwiązania. Kalkulator pokaże każdy wariant osobno.
°
°
°
Trzeci kąt jest zawsze liczony jako 180° minus suma dwóch wybranych kątów.
To przypadek niejednoznaczny: te same trzy dane mogą opisywać dwa różne trójkąty.
To tylko opis wyniku; wszystkie boki muszą być w tej samej jednostce.

Wynik

Status
—
Pole
—
—

Jak rozwiązać trójkąt z trzech danych?

Do jednoznacznego wyznaczenia boków i kątów potrzebujesz odpowiedniego zestawu danych. Kalkulator obsługuje cztery najczęstsze przypadki: SSS, SAS, ASA/AAS oraz SSA.

Wybierz tryb odpowiadający temu, co faktycznie znasz. Kalkulator sprawdzi, czy dane mogą tworzyć trójkąt, wyliczy brakujące boki i kąty, a następnie poda pole, obwód i wysokości.

SSS, SAS, ASA/AAS i SSA - który tryb wybrać?

TrybZnane daneCo liczymy najpierwUwagi
SSS3 bokikąty z twierdzenia cosinusówRozwiązanie jest jednoznaczne, jeśli boki spełniają nierówność trójkąta.
SAS2 boki i kąt między nimitrzeci bok z twierdzenia cosinusówPo wyznaczeniu trzech boków pozostałe kąty są liczone jednoznacznie z cosinusów.
ASA/AAS2 kąty i 1 boktrzeci kąt z sumy 180°Następnie brakujące boki są wyznaczane z twierdzenia sinusów.
SSA2 boki i kąt naprzeciw jednego z nichsprawdzenie możliwych kątówMoże istnieć 0, 1 albo 2 poprawne trójkąty.

Twierdzenie sinusów i cosinusów

W zależności od zestawu danych kalkulator korzysta z dwóch podstawowych zależności.

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
c² = a² + b² - 2ab · cos(C)

Dla każdego poprawnego trójkąta zachodzi też A + B + C = 180°. W trybie ASA/AAS trzeci kąt jest zawsze wyznaczany właśnie z tej sumy, dlatego nie trzeba go wpisywać ręcznie.

Przykład SAS krok po kroku

Dane: a = 5 cm, b = 7 cm, C = 60°. Oblicz brakujący bok i kąty.

Najpierw z twierdzenia cosinusów:

c = √(5² + 7² - 2 · 5 · 7 · cos 60°) ≈ 6,245 cm

Następnie z trzech boków kalkulator wyznacza kąty: A ≈ 43,898° i B ≈ 76,102°. Pole wynosi około 15,155 cm².

Ciekawostka

Przypadek SSA jest nazywany niejednoznacznym, ponieważ ten sam zestaw dwóch boków i jednego kąta może opisywać dwa różne trójkąty. Kalkulator pokazuje oba warianty, jeśli oba są geometrycznie możliwe.

Najczęstsze błędy przy rozwiązywaniu trójkąta

  • Mylenie SAS z SSA: w SAS znany kąt leży między dwoma znanymi bokami, a w SSA jest naprzeciw jednego z nich.
  • Niepoprawne boki: suma długości dowolnych dwóch boków musi być większa od trzeciego boku.
  • Trzy kąty bez boku: określają tylko kształt, ale nie skalę trójkąta.
  • Zaokrąglanie pośrednie: najlepiej zachować pełną dokładność w obliczeniach i zaokrąglić dopiero wynik końcowy.
  • Pominięcie drugiego wariantu SSA: przy tym zestawie danych zawsze warto sprawdzić, czy istnieje drugie rozwiązanie.

Powiązane kalkulatory

Twierdzenie Pitagorasa
Oblicz bok trójkąta prostokątnego.
Sinus, cosinus i tangens
Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta.
Pole trójkąta - Heron i wysokość
Policz pole z boków oraz wysokości trójkąta.

Wskazówka od KalkulatorXXL

Jeżeli masz dwa boki i jeden kąt, najpierw sprawdź położenie kąta. Kąt między bokami oznacza SAS. Kąt naprzeciw jednego z boków oznacza SSA i może prowadzić do dwóch rozwiązań.

FAQ - kalkulator rozwiązywania trójkątów

Wybierz SSS i wpisz długości a, b i c. Kalkulator najpierw sprawdzi nierówność trójkąta, a następnie wyliczy wszystkie kąty z twierdzenia cosinusów oraz pole, obwód i wysokości.

Wybierz SAS oraz właściwą parę boków i kąt między nimi. Brakujący bok jest liczony z twierdzenia cosinusów, a po wyznaczeniu trzech boków pozostałe kąty również są obliczane jednoznacznie z cosinusów.

Wybierz znany bok oraz parę znanych kątów A+B, A+C albo B+C. Trzeci kąt kalkulator policzy jako 180° minus suma dwóch znanych kątów, a brakujące boki wyznaczy z twierdzenia sinusów.

Twierdzenie sinusów ma postać a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Jest szczególnie przydatne w ASA/AAS oraz przy analizie przypadku SSA.

Dla boku c wzór ma postać c² = a² + b² - 2ab·cos(C). Twierdzenie cosinusów pozwala wyznaczać brakujący bok w SAS i kąty przy znanych trzech bokach w SSS.

Przy danych SSA ta sama wartość sinusa może odpowiadać kątowi ostremu i rozwartemu. Jeśli oba warianty spełniają warunki trójkąta, kalkulator pokaże dwa osobne rozwiązania.

Brak rozwiązania występuje wtedy, gdy dane nie mogą utworzyć trójkąta, np. z obliczeń wynika wartość sinusa większa od 1 albo pozostałe kąty nie mogą mieć dodatnich wartości.

Nie wystarczy to do wyznaczenia długości boków. Trzy kąty określają kształt trójkąta, ale potrzebny jest co najmniej jeden bok, aby ustalić jego skalę.

Muszą być spełnione trzy nierówności: a+b>c, a+c>b oraz b+c>a. Jeżeli choć jedna nie jest spełniona, taki trójkąt nie istnieje.

Tak. Jeżeli dane SSA prowadzą do dwóch poprawnych trójkątów, wynik pokazuje oba warianty osobno zamiast prezentować tylko pierwszy z nich.

Wpisuj możliwie dokładne dane wejściowe i nie zaokrąglaj wartości pośrednich. W kalkulatorze możesz wybrać liczbę miejsc po przecinku dla wyniku końcowego.

Ostatnia aktualizacja: 08.09.2026

Popularne w tej kategorii

Kalkulator procentówPopularne
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator liczb rzymskichPopularne
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator liczb parzystych i nieparzystych
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator zaokrąglania liczb
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.