Policz kolejne elementy trójkąta
Wybierz narzędzie odpowiadające danym z zadania: boki, współrzędne, kąty albo zestaw wzorów.
Wzór na pole trójkąta z podstawy i wysokości
Najczęściej używany wzór ma postać P = a × hₐ / 2. Litera a oznacza wybraną podstawę, a hₐ wysokość opuszczoną prostopadle na tę podstawę lub jej przedłużenie.
Dla podstawy 12 cm i wysokości 7,5 cm pole wynosi 12 × 7,5 / 2 = 45 cm².
Sama podstawa i wysokość wystarczają do obliczenia pola, ale nie wystarczają do jednoznacznego ustalenia pozostałych boków ani obwodu.
Jak obliczyć wysokość z pola?
Przekształć wzór P = a × h / 2:
h = 2P / a
Dla pola 45 cm² i podstawy 12 cm wysokość wynosi 7,5 cm.
Jak obliczyć podstawę z pola?
Jeżeli znasz pole i odpowiadającą mu wysokość, użyj:
a = 2P / h
Dla pola 45 cm² i wysokości 7,5 cm podstawa wynosi 12 cm.
Wzór Herona - pole trójkąta z trzech boków
Gdy znasz boki a, b i c, nie musisz osobno wyznaczać wysokości. Najpierw policz półobwód:
s = (a + b + c) / 2
Następnie zastosuj wzór Herona:
P = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
Dla boków 5 cm, 6 cm i 7 cm półobwód wynosi 9 cm, a pole około 14,70 cm². Kalkulator pokazuje również obwód, trzy wysokości, kąty, typ trójkąta oraz promienie okręgu wpisanego i opisanego.
Przed użyciem wzoru trzeba sprawdzić warunek istnienia trójkąta: suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego.
Pole z dwóch boków i kąta między nimi
Jeżeli znasz dwa boki oraz kąt zawarty między nimi, pole wynosi:
P = a × b × sin(γ) / 2
Kąt γ musi leżeć między podanymi bokami. Dla kąta 0° lub 180° figura jest zdegenerowana i nie ma dodatniego pola.
Kalkulator wyznacza także trzeci bok z twierdzenia cosinusów, a następnie pozostałe kąty, obwód i wysokości. W radianach można wpisać liczbę dziesiętną albo zapis podobny do π/3.
Pole trójkąta prostokątnego
Przyprostokątne są jednocześnie podstawą i wysokością, dlatego pole wynosi P = a × b / 2.
Dla przyprostokątnych 3 cm i 4 cm pole wynosi 6 cm², a przeciwprostokątna obliczona z twierdzenia Pitagorasa ma 5 cm.
Jeżeli znasz przeciwprostokątną i tylko jedną przyprostokątną, najpierw wyznacz brakujący bok w kalkulatorze twierdzenia Pitagorasa.
Pole trójkąta równobocznego
Dla trójkąta równobocznego wszystkie boki mają tę samą długość, a każdy kąt wynosi 60°. Wysokość i pole można obliczyć bez dodatkowych danych:
h = a√3/2, P = a²√3/4
Dla boku 8 cm wysokość wynosi około 6,93 cm, a pole około 27,71 cm².
Typ trójkąta z trzech boków
Kalkulator rozpoznaje trójkąt równoboczny, równoramienny lub różnoboczny. Na podstawie porównania kwadratów boków określa też, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny.
| Porównanie dla x ≤ y ≤ z | Rodzaj kątów |
|---|---|
| x² + y² > z² | trójkąt ostrokątny |
| x² + y² = z² | trójkąt prostokątny |
| x² + y² < z² | trójkąt rozwartokątny |
Klasyfikacja jest dostępna w trybach, w których kalkulator zna wszystkie trzy boki.
Promień okręgu wpisanego i opisanego
Jeżeli znasz pole P i półobwód s, promień okręgu wpisanego wynosi r = P/s.
Promień okręgu opisanego można policzyć ze wzoru R = abc/(4P). Oba wyniki pojawiają się wtedy, gdy kalkulator zna wszystkie trzy boki trójkąta.
W trójkącie prostokątnym promień okręgu opisanego jest równy połowie przeciwprostokątnej.
Jednostki pola i długości
Jeżeli długości podajesz w centymetrach, pole otrzymujesz w cm². Dla metrów będzie to m², a dla milimetrów mm².
Nie mieszaj jednostek w jednym obliczeniu. Przykładowo 2 m i 50 cm trzeba najpierw zapisać jako 2 m i 0,5 m albo jako 200 cm i 50 cm.
Wysokości, boki, obwód i promienie mają zwykłą jednostkę długości. Tylko pole ma jednostkę kwadratową.
Najczęstsze błędy
- Mylenie wysokości z dowolnym bokiem — wysokość musi być prostopadła do wybranej podstawy.
- Niespełnienie warunku trójkąta — dwa krótsze boki muszą mieć sumę większą od najdłuższego.
- Użycie niewłaściwego kąta — we wzorze z sinusem potrzebny jest kąt między podanymi bokami.
- Pominięcie dzielenia przez 2 — dotyczy wzoru z podstawą i wysokością oraz dwóch boków i kąta.
- Mieszanie jednostek — wszystkie długości muszą być zapisane w tej samej jednostce.
- Zaokrąglanie wyników pośrednich — najlepiej zaokrąglić dopiero końcowy wynik.
Ciekawostka
Dla dwóch boków o stałych długościach największe pole powstaje wtedy, gdy kąt między nimi wynosi 90°, ponieważ sin(90°) = 1.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Najpierw wypisz dane z zadania. Podstawa i wysokość prowadzą do P = ah/2, trzy boki do wzoru Herona, a dwa boki i kąt między nimi do P = ab sin(γ)/2.
Cała geometria w jednym miejscu: Akademia geometrii – figury, bryły, trygonometria i zadania łączy pola i obwody figur z geometrią analityczną, twierdzeniem Pitagorasa, trygonometrią, podobieństwem oraz polami powierzchni i objętościami brył.