Masz już punkty A, B i C? Sprawdź, co jeszcze możesz policzyć
Po polu trójkąta możesz od razu sprawdzić długość boku, policzyć trójkąt z innych danych albo przejść do obliczeń dla dwóch wybranych punktów.
Wzór na pole trójkąta w układzie współrzędnych
Dla punktów A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) i C(x₃,y₃) pole można obliczyć bez wcześniejszego wyznaczania boków i wysokości:
Wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest podwojonym polem ze znakiem. Wartość bezwzględna sprawia, że pole pozostaje dodatnie niezależnie od kolejności punktów.
Wzór działa dla współrzędnych dodatnich, ujemnych i dziesiętnych.
Przykład: A(1,1), B(6,2), C(3,5)
Podstawienie do wzoru:
Po wzięciu wartości bezwzględnej i podzieleniu przez 2 otrzymujemy P = 9 jednostek kwadratowych.
Wzór sznurowadłowy
Ten sam wynik można zapisać w drugiej, równoważnej postaci:
Obie postacie prowadzą do tego samego pola. Kalkulator pokazuje podstawienie na podstawie różnic współrzędnych, bo jest ono stabilniejsze przy dużych liczbach.
Jak sprawdzić, czy trzy punkty leżą na jednej prostej?
Jeżeli podwojone pole 2P wynosi 0, wszystkie trzy punkty leżą na jednej prostej. Pole również wynosi wtedy 0, więc nie powstaje trójkąt o dodatnim polu.
Przykład: A(0,0), B(2,2), C(4,4). Wszystkie punkty leżą na prostej y = x.
Kalkulator porównuje wyznacznik dokładnie, dlatego nawet bardzo małe niezerowe pole nie jest uznawane za zero.
Co mówi znak 2P?
| Znak 2P | Kierunek punktów | Co to oznacza? |
|---|---|---|
| dodatni | przeciwnie do ruchu wskazówek zegara | przejście A → B → C skręca w lewo |
| ujemny | zgodnie z ruchem wskazówek zegara | przejście A → B → C skręca w prawo |
| zero | brak kierunku trójkąta | punkty leżą na jednej prostej |
Zmiana kolejności dwóch punktów odwraca znak 2P, ale nie zmienia wartości pola.
Długości boków i obwód
Każdy bok jest odległością między parą punktów. Przykładowo:
Analogicznie oblicza się BC i CA. Obwód jest sumą trzech długości.
Jeśli potrzebujesz tylko jednego boku, użyj kalkulatora odległości między punktami.
Wysokości trójkąta ze współrzędnych
Po obliczeniu pola i boków wysokości można wyznaczyć ze wzorów:
W oznaczeniach kalkulatora bok a to BC, bok b to CA, a bok c to AB.
Jeśli punkty leżą na jednej prostej albo dwa z nich się pokrywają, wysokości i kąty nie opisują właściwego trójkąta.
Środek ciężkości trójkąta
Środek ciężkości G ma współrzędne równe średnim współrzędnych wierzchołków:
Dla A(1,1), B(6,2), C(3,5) otrzymujemy około G(3,33; 2,67).
Rodzaj trójkąta i kąty
Na podstawie długości boków kalkulator rozpoznaje trójkąt równoboczny, równoramienny lub różnoboczny. Sprawdza też, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny.
Kąty A, B i C są liczone z długości boków.
Jeśli punkty leżą na jednej prostej albo dwa z nich są w tym samym miejscu, klasyfikacja nie jest wykonywana.
Pole ze współrzędnych czy z boków?
Jeżeli znasz współrzędne trzech punktów, najkrócej policzysz pole bezpośrednio z tych punktów. Nie musisz najpierw wyznaczać trzech boków.
Jeśli zamiast współrzędnych znasz boki, wysokość albo kąt, przejdź do kalkulatora pola trójkąta z innych danych.
Najczęstsze pomyłki
- Zamiana x z y — każda współrzędna musi trafić do właściwego pola.
- Pominięcie wartości bezwzględnej — ujemne 2P nie oznacza ujemnego pola.
- Brak dzielenia przez 2 — 2P jest podwojonym polem.
- Ignorowanie pola równego 0 — wtedy punkty nie tworzą właściwego trójkąta.
- Mylenie pola z obwodem — pole ma jednostkę kwadratową, a obwód jednostkę długości.
- Zaokrąglanie współrzędnych przed obliczeniem — może zmienić wynik.
Ciekawostka
Ten sam sposób sprawdzania kierunku trzech punktów pomaga programom graficznym rozpoznać, po której stronie odcinka leży kolejny punkt.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Jeśli masz współrzędne trzech wierzchołków, wpisz je bez wcześniejszego zaokrąglania. Dzięki temu pole, boki i kąty będą liczone z możliwie dokładnych danych.