Co obejmuje ta tablica?
Ta tablica zbiera najważniejsze wzory z geometrii analitycznej, czyli geometrii liczonej na układzie współrzędnych. Znajdziesz tu punkt, współrzędne, odległość między punktami, środek odcinka, nachylenie prostej, równanie kierunkowe i ogólne prostej, miejsca przecięcia z osiami, proste równoległe i prostopadłe oraz pole trójkąta z wierzchołków.
Do szybkiego liczenia użyj kalkulatora odległości punktów w układzie współrzędnych. Jeśli zadanie łączy współrzędne z figurami płaskimi, wróć też do tablicy geometria: figury płaskie – wzory.
Układ współrzędnych – podstawy
Punkt na płaszczyźnie zapisujemy jako parę liczb A(x, y). Pierwsza liczba to współrzędna x, czyli położenie poziome. Druga liczba to współrzędna y, czyli położenie pionowe. Punkt przecięcia osi ma współrzędne (0,0) i nazywa się początkiem układu.
Oś X
Pozioma oś układu. W prawo wartości są dodatnie, w lewo ujemne.
Oś Y
Pionowa oś układu. W górę wartości są dodatnie, w dół ujemne.
Punkt
Najpierw x, potem y.
Ćwiartki układu współrzędnych
Znak współrzędnych pozwala szybko rozpoznać, w której ćwiartce leży punkt. Punkty leżące na osiach nie należą do żadnej ćwiartki.
| Ćwiartka | Znak x | Znak y | Przykład punktu |
|---|---|---|---|
| I | + | + | A(3, 5) |
| II | - | + | B(-4, 2) |
| III | - | - | C(-2, -6) |
| IV | + | - | D(7, -1) |
| oś X | dowolny | 0 | E(5, 0) |
| oś Y | 0 | dowolny | F(0, -3) |
Odległość między dwoma punktami
Odległość punktów w układzie współrzędnych wynika z twierdzenia Pitagorasa. Różnica współrzędnych x tworzy poziomą przyprostokątną, a różnica współrzędnych y pionową przyprostokątną.
Przykład
Dane są punkty A(1,2) i B(5,5). Różnica x wynosi 4, różnica y wynosi 3. Odległość: √(4²+3²)=√25=5.
Ten sam schemat policzysz w kalkulatorze odległości punktów.
Środek odcinka
Środek odcinka ma współrzędne będące średnią arytmetyczną współrzędnych końców odcinka. Osobno liczymy średnią dla x i osobno dla y.
Przykład
A(2,4), B(8,10). S = ((2+8)/2, (4+10)/2) = (5,7).
Z wartościami ujemnymi
A(-4,6), B(2,-2). S = (-1,2).
Wektor między punktami
Wektor od punktu A do punktu B pokazuje przesunięcie: o ile zmienia się x i o ile zmienia się y. To przydatne przy przesuwaniu figur oraz sprawdzaniu równoległości odcinków.
Przykład
A(1, -2), B(6, 4). Wektor AB = (6-1, 4-(-2)) = (5, 6).
Równanie kierunkowe prostej
Równanie kierunkowe prostej ma postać y = ax + b. Liczba a to współczynnik kierunkowy, czyli nachylenie prostej. Liczba b mówi, w którym miejscu prosta przecina oś Y.
Postać kierunkowa
Nachylenie z dwóch punktów
Przykład
Dla punktów A(1,2) i B(3,6): a = (6-2)/(3-1)=4/2=2.
Równanie prostej przez dwa punkty
Aby napisać równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, najpierw oblicz współczynnik kierunkowy a, a potem podstaw współrzędne jednego punktu do wzoru y = ax + b i wyznacz b.
Przykład
Prosta przechodzi przez A(1,2) i B(3,6). Nachylenie a = 2. Podstawiamy punkt A: 2 = 2·1 + b, więc b = 0. Równanie prostej: y = 2x.
Uwaga
Jeśli punkty mają takie samo x, prosta jest pionowa i nie da się zapisać jej w postaci y = ax + b. Jej równanie ma postać x = stała.
Postać ogólna prostej
Prostą można też zapisać w postaci ogólnej. Ta postać jest wygodna przy sprawdzaniu, czy punkt leży na prostej oraz przy obliczaniu odległości punktu od prostej.
Przykład
y = 2x + 3 można zapisać jako 2x - y + 3 = 0.
Punkt na prostej
Podstaw x i y. Jeśli wynik to 0, punkt leży na prostej.
Proste równoległe i prostopadłe
W postaci kierunkowej łatwo rozpoznać proste równoległe i prostopadłe. Proste równoległe mają taki sam współczynnik kierunkowy. Proste prostopadłe mają współczynniki, których iloczyn wynosi -1.
| Relacja prostych | Warunek | Przykład |
|---|---|---|
| Równoległe | a1 = a2 | y=2x+1 i y=2x-4 |
| Prostopadłe | a1 · a2 = -1 | y=2x+1 i y=-1/2x+3 |
| Przecinające się | a1 ≠ a2 | y=x i y=3x+2 |
| Ta sama prosta | te same a i b | y=2x+1 i 2y=4x+2 |
Miejsca przecięcia prostej z osiami
Aby znaleźć przecięcie z osią Y, podstawiamy x=0. Aby znaleźć przecięcie z osią X, podstawiamy y=0. Te dwa punkty często pomagają szybko narysować prostą.
Przecięcie z osią Y
Przecięcie z osią X
Przykład
Dla y = 2x - 6: z osią Y mamy punkt (0,-6), a z osią X: 0 = 2x - 6, więc x = 3 i punkt (3,0).
Odległość punktu od prostej
Odległość punktu od prostej to najkrótsza odległość, czyli odcinek prostopadły do prostej. Wzór wykorzystuje postać ogólną prostej Ax + By + C = 0.
Przykład
Punkt P(1,2), prosta 3x + 4y - 10 = 0. d = |3·1 + 4·2 - 10| / √(3²+4²) = |1|/5 = 1/5.
Pole trójkąta z punktów
Jeżeli znamy współrzędne trzech wierzchołków trójkąta, pole można obliczyć bez rysowania wysokości. Wzór wygląda dłużej, ale jest bardzo praktyczny przy zadaniach z układem współrzędnych.
Przykład
A(0,0), B(4,0), C(0,3). P = 1/2 · |0 + 4(3-0) + 0| = 6. Pole wynosi 6.
Jeśli jeden bok leży na osi, często szybciej policzyć pole zwykłym wzorem z podstawy i wysokości.
Symetria punktu względem osi i początku układu
Symetrie w układzie współrzędnych polegają najczęściej na zmianie znaków współrzędnych. To szybki sposób na sprawdzenie odbicia figury względem osi X, osi Y albo początku układu.
| Symetria | Punkt A(x,y) przechodzi w... | Przykład dla A(3,-5) |
|---|---|---|
| względem osi X | (x, -y) | (3, 5) |
| względem osi Y | (-x, y) | (-3, -5) |
| względem początku układu | (-x, -y) | (-3, 5) |
| przesunięcie o wektor (p,q) | (x+p, y+q) | np. o (2,1): (5,-4) |
Tabela zbiorcza wzorów
| Temat | Wzór | Kiedy stosować? |
|---|---|---|
| Odległość punktów | √[(x2-x1)²+(y2-y1)²] | gdy znasz dwa punkty |
| Środek odcinka | ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2) | gdy szukasz środka między punktami |
| Wektor AB | (xB-xA, yB-yA) | przesunięcie z A do B |
| Nachylenie prostej | a=(y2-y1)/(x2-x1) | równanie prostej z dwóch punktów |
| Prosta kierunkowa | y=ax+b | gdy prosta nie jest pionowa |
| Prosta ogólna | Ax+By+C=0 | odległość punktu od prostej |
| Proste równoległe | a1=a2 | porównanie nachyleń |
| Proste prostopadłe | a1·a2=-1 | sprawdzenie kąta prostego |
| Pole trójkąta | 1/2·|x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)| | trzy punkty w układzie |
Jak dobrać wzór do zadania?
| W treści zadania widzisz... | Najczęstszy temat | Co zrobić? |
|---|---|---|
| dwa punkty i pytanie o długość odcinka | odległość punktów | użyj wzoru z pierwiastkiem |
| dwa punkty i pytanie o środek | środek odcinka | policz średnie współrzędnych |
| dwa punkty i pytanie o prostą | równanie prostej | oblicz a, potem b |
| proste równoległe | współczynnik kierunkowy | porównaj a |
| proste prostopadłe | współczynniki odwrotne i przeciwne | sprawdź a1·a2=-1 |
| punkt i prosta Ax+By+C=0 | odległość punktu od prostej | podstaw do wzoru z wartością bezwzględną |
| trzy punkty i pytanie o pole | pole trójkąta z punktów | użyj wzoru współrzędnych |
Pułapka z pionową prostą
Nie każda prosta ma postać y = ax + b. Prosta pionowa ma równanie x = liczba, ponieważ wszystkie jej punkty mają tę samą współrzędną x. W takim przypadku nie obliczamy współczynnika kierunkowego zwykłym wzorem, bo w mianowniku pojawiłoby się zero. To jeden z najważniejszych wyjątków w geometrii analitycznej.
Prosta pionowa
Punkty A(3,1) i B(3,7) leżą na prostej x = 3.
Prosta pozioma
Punkty A(2,5) i B(8,5) leżą na prostej y = 5.
Zadania kontrolne
| Zadanie | Odpowiedź | Temat |
|---|---|---|
| Odległość A(0,0), B(3,4) | 5 | odległość punktów |
| Środek A(2,6), B(8,10) | (5,8) | środek odcinka |
| Wektor A(-1,3), B(4,7) | (5,4) | wektor |
| Nachylenie prostej przez A(1,2), B(4,8) | 2 | współczynnik kierunkowy |
| Przecięcie y=3x-6 z osią X | (2,0) | miejsce zerowe |
| Czy y=2x+1 i y=2x-5 są równoległe? | tak | proste równoległe |
| Czy y=4x+2 i y=-1/4x+1 są prostopadłe? | tak | proste prostopadłe |
| Symetria A(3,-2) względem osi Y | (-3,-2) | symetria |
Najczęstsze błędy
- Mylenie kolejności współrzędnych punktu: najpierw x, potem y.
- Pomijanie nawiasów przy odejmowaniu liczb ujemnych.
- Zapominanie o kwadratach we wzorze na odległość punktów.
- Dzielenie przez zero przy próbie liczenia nachylenia prostej pionowej.
- Mylenie prostej poziomej y = stała z pionową x = stała.
- Przyjmowanie, że proste prostopadłe mają współczynniki tylko z przeciwnym znakiem.
- Brak wartości bezwzględnej we wzorze na odległość punktu od prostej.
- Błędne podstawienie punktów we wzorze na pole trójkąta.
Ciekawostka: Pitagoras ukrywa się w odległości punktów
Wzór na odległość między punktami to tak naprawdę twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych. Różnice współrzędnych tworzą przyprostokątne, a odcinek między punktami jest przeciwprostokątną.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przy zadaniach z układem współrzędnych zawsze zapisuj punkty w nawiasach i podpisuj, który punkt jest pierwszy, a który drugi. Wzory z odejmowaniem są bezpieczniejsze, gdy od razu podstawisz całe nawiasy, np. y2 - y1 = 4 - (-2), zamiast robić to w pamięci.
Pełna ścieżka nauki: Akademia funkcji, wykresów i analizy funkcji prowadzi od tej tablicy do kalkulatorów i poradników o wykresach, miejscach zerowych, przekształceniach, granicach, pochodnych i całkach.
Kalkulatory geometrii analitycznej do tego materiału
Ta tablica spina teorię i wzory, a poniższe kalkulatory prowadzą przez konkretne typy zadań. Dzięki temu osobno pracujesz na punktach, osobno na prostych, a osobno na okręgach i symetrii, bez mieszania różnych intencji w jednej stronie.
Jeżeli zaczynasz od zera, przejdź kolejno przez środek odcinka, równanie prostej z dwóch punktów, punkt przecięcia prostych, relacje równoległości i prostopadłości, odległość punktu od prostej, równanie okręgu, pole trójkąta z współrzędnych oraz symetrię punktu względem prostej.
Pełna ścieżka geometrii
Ten materiał uzupełnia inne tematy z geometrii. Pełną ścieżkę nauki, tablice, poradniki i kalkulatory znajdziesz w akademii geometrii: figury, bryły, trygonometria i zadania.