Jak korzystać z tej tablicy?
Ta tablica zbiera najważniejsze wzory na pola i obwody figur płaskich. Znajdziesz tu kwadrat, prostokąt, trójkąt, równoległobok, romb, trapez, deltoid, wielokąty foremne, koło, okrąg, łuk i wycinek koła. Wzory są podane tak, aby można było szybko sprawdzić, jak obliczyć pole figury, jak obliczyć obwód figury i jak dobrać właściwy wzór do treści zadania.
Do szybkich obliczeń użyj kalkulatora pól i obwodów figur płaskich. Gdy zadanie dotyczy koła, pomocny będzie kalkulator pola koła, a przy łuku i wycinku kalkulator długości łuku i wycinka koła.
Oznaczenia używane we wzorach
| Symbol | Znaczenie | Przykład użycia |
|---|---|---|
| P | pole figury | P = a · b |
| O | obwód figury | O = 2a + 2b |
| a, b, c, d | boki figury | a = 6 cm |
| h | wysokość opuszczona na wybraną podstawę | P = a · h |
| d, d1, d2 | przekątna albo przekątne | P = d1 · d2 / 2 |
| r | promień koła | P = πr² |
| R | promień okręgu opisanego | wielokąty foremne |
| π | liczba pi, w przybliżeniu 3,14 | O = 2πr |
| α | kąt, najczęściej w stopniach | wycinek koła |
W geometrii bardzo ważne są jednostki. Jeśli bok jest w centymetrach, obwód będzie w centymetrach, a pole w centymetrach kwadratowych. Jeżeli w zadaniu mieszasz metry i centymetry, najpierw sprowadź je do jednej jednostki.
Kwadrat
Kwadrat ma cztery równe boki i cztery kąty proste. To najprostsza figura do rozpoczęcia powtórki z pól i obwodów.
Pole
Bok razy bok.
Obwód
Suma czterech równych boków.
Przekątna
Wynika z twierdzenia Pitagorasa.
Przykład
Kwadrat ma bok 7 cm. Pole: 7² = 49 cm². Obwód: 4 · 7 = 28 cm.
Prostokąt
Prostokąt ma przeciwległe boki równe i cztery kąty proste. W zadaniach często pojawia się jako działka, pokój, blat, kartka, ekran albo prostokątna rama.
Pole
Obwód
Przekątna
Przykład
Prostokąt ma boki 8 cm i 5 cm. Pole: 8 · 5 = 40 cm². Obwód: 2·8 + 2·5 = 26 cm.
Przekątną prostokąta możesz sprawdzić także wzorem z twierdzenia Pitagorasa, a przy dłuższych przykładach przyda się kalkulator Pitagorasa.
Trójkąt – wzory podstawowe
Najczęstszy wzór na pole trójkąta wykorzystuje podstawę i wysokość. Wysokość musi być opuszczona na tę podstawę, która znajduje się we wzorze.
Pole
Obwód
Suma kątów
Przykład
Trójkąt ma podstawę 10 cm i wysokość 6 cm. Pole: 10 · 6 / 2 = 30 cm².
Jeżeli zadanie dotyczy boków i kątów w trójkącie, później warto użyć kalkulatora rozwiązywania trójkątów.
Trójkąty szczególne
| Rodzaj trójkąta | Co jest charakterystyczne? | Przydatny wzór | Przykład |
|---|---|---|---|
| Równoboczny | wszystkie boki równe, kąty po 60° | P = a²√3 / 4 | a=6 → P=9√3 |
| Równoramienny | dwa boki równe | P = a · h / 2 | wysokość dzieli podstawę na połowy |
| Prostokątny | jeden kąt ma 90° | P = a · b / 2 | przyprostokątne tworzą wysokość i podstawę |
| Dowolny | różne boki i kąty | P = a · h / 2 | potrzebna wysokość |
W trójkącie prostokątnym często używa się twierdzenia Pitagorasa. Jeśli znasz dwie strony i szukasz trzeciej, użyj kalkulatora twierdzenia Pitagorasa.
Równoległobok
Równoległobok ma dwie pary boków równoległych. Pole obliczamy przez bok wybrany jako podstawę i wysokość opuszczoną na tę podstawę.
Pole
Wysokość musi być prostopadła do podstawy.
Obwód
Tak jak w prostokącie, ale kąty nie muszą być proste.
Przykład
Równoległobok ma podstawę 12 cm i wysokość 5 cm. Pole: 12 · 5 = 60 cm².
Romb
Romb ma wszystkie boki równe. Pole można policzyć przez bok i wysokość albo przez przekątne.
Pole przez wysokość
Pole przez przekątne
Obwód
Przykład
Romb ma przekątne 10 cm i 6 cm. Pole: 10 · 6 / 2 = 30 cm².
Trapez
Trapez ma co najmniej jedną parę boków równoległych. We wzorze na pole dodajemy długości podstaw i mnożymy przez wysokość, a potem dzielimy przez 2.
Pole
Obwód
Przykład
Trapez ma podstawy 12 cm i 8 cm oraz wysokość 5 cm. Pole: (12 + 8) · 5 / 2 = 50 cm².
Deltoid i czworokąty z przekątnymi
Deltoid ma dwie pary sąsiednich boków równych. W wielu zadaniach najwygodniejszy jest wzór z przekątnych. Ten sam wzór działa także dla rombu.
Pole deltoidu
Obwód deltoidu
Przykład
Deltoid ma przekątne 14 cm i 9 cm. Pole: 14 · 9 / 2 = 63 cm².
Koło i okrąg
Koło to figura wypełniona, a okrąg to sama linia brzegowa. Dlatego mówimy o polu koła i długości okręgu.
Pole koła
Długość okręgu
Średnica
Przykład
Koło ma promień 5 cm. Pole: 25π cm², czyli około 78,5 cm². Długość okręgu: 10π cm, czyli około 31,4 cm.
Łuk, wycinek koła i pierścień
Wycinek koła to część koła wyznaczona przez dwa promienie i łuk. Jego pole zależy od kąta środkowego. Pierścień kołowy powstaje przez odjęcie mniejszego koła od większego.
| Element | Wzór | Opis |
|---|---|---|
| Długość łuku | L = 2πr · α/360° | część obwodu okręgu |
| Pole wycinka | P = πr² · α/360° | część pola koła |
| Pole pierścienia | P = π(R² - r²) | większe koło minus mniejsze koło |
Przykłady dla łuku i wycinka policzysz w kalkulatorze długości łuku i wycinka koła.
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe. Przy polu często korzysta się z apotemy, czyli odcinka od środka wielokąta do środka boku, prostopadłego do tego boku.
Suma kątów wewnętrznych
Pole wielokąta foremnego
O – obwód, ap – apotema.
Przykład
Suma kątów wewnętrznych sześciokąta: (6 - 2) · 180° = 720°.
Kąty możesz sprawdzić w kalkulatorze kątów w wielokącie.
Tabela zbiorcza pól i obwodów
| Figura | Pole | Obwód | Najważniejsza uwaga |
|---|---|---|---|
| Kwadrat | a² | 4a | wszystkie boki równe |
| Prostokąt | a · b | 2a + 2b | cztery kąty proste |
| Trójkąt | a · h / 2 | a + b + c | wysokość do wybranej podstawy |
| Równoległobok | a · h | 2a + 2b | wysokość prostopadła do podstawy |
| Romb | a · h albo d1 · d2 / 2 | 4a | wszystkie boki równe |
| Trapez | (a + b) · h / 2 | a + b + c + d | a i b to podstawy równoległe |
| Deltoid | d1 · d2 / 2 | 2a + 2b | dwie pary sąsiednich boków równych |
| Koło | πr² | 2πr | obwód koła to długość okręgu |
Jak dobrać właściwy wzór?
W zadaniach najpierw rozpoznaj figurę, a dopiero potem wybierz wzór. Jeśli treść mówi o podłodze, działce, blacie albo kartce, często chodzi o prostokąt. Jeśli występują podstawy i wysokość, może chodzić o trapez, trójkąt albo równoległobok. Jeśli podane są przekątne, sprawdź, czy figura to romb albo deltoid.
| W treści zadania widzisz... | Najczęstsza figura | Wzór, od którego zacząć |
|---|---|---|
| bok kwadratu | kwadrat | P = a², O = 4a |
| dwa boki prostokąta | prostokąt | P = a · b |
| podstawę i wysokość | trójkąt / równoległobok | P = a·h/2 albo P = a·h |
| dwie podstawy i wysokość | trapez | P = (a+b)·h/2 |
| dwie przekątne | romb / deltoid | P = d1·d2/2 |
| promień lub średnicę | koło / okrąg | P = πr², O = 2πr |
| liczbę boków wielokąta | wielokąt | S = (n-2)·180° |
Jednostki w polu i obwodzie
Obwód jest długością, dlatego zapisujemy go w jednostkach długości, np. cm, m, km. Pole jest powierzchnią, dlatego zapisujemy je w jednostkach kwadratowych, np. cm², m², km². To jedna z najczęstszych pomyłek w zadaniach z geometrii.
Obwód
Jeżeli boki są w cm, obwód podajemy w cm.
Pole
Jeżeli boki są w cm, pole podajemy w cm².
Przy skali i zamianie jednostek wróć do kalkulatora proporcji i skali.
Zadania kontrolne
| Zadanie | Odpowiedź | Temat |
|---|---|---|
| Kwadrat ma bok 9 cm. Oblicz pole. | 81 cm² | kwadrat |
| Prostokąt ma boki 6 cm i 11 cm. Oblicz obwód. | 34 cm | prostokąt |
| Trójkąt ma podstawę 12 cm i wysokość 7 cm. Oblicz pole. | 42 cm² | trójkąt |
| Romb ma przekątne 8 cm i 13 cm. Oblicz pole. | 52 cm² | romb |
| Trapez ma podstawy 10 cm i 16 cm oraz wysokość 4 cm. Oblicz pole. | 52 cm² | trapez |
| Koło ma promień 3 cm. Oblicz pole. | 9π cm² | koło |
| Suma kątów wewnętrznych pięciokąta. | 540° | wielokąt |
| Okrąg ma promień 7 cm. Oblicz długość okręgu. | 14π cm | okrąg |
Najczęstsze błędy
- Mylenie pola z obwodem: pole opisuje powierzchnię, a obwód długość brzegu figury.
- Brak dzielenia przez 2 przy polu trójkąta, trapezu, rombu z przekątnych i deltoidu.
- Użycie wysokości, która nie jest prostopadła do wybranej podstawy.
- Podstawienie średnicy zamiast promienia we wzorze P = πr².
- Podawanie pola w cm zamiast cm² albo obwodu w cm² zamiast cm.
- Dodawanie tylko dwóch boków prostokąta zamiast całego obwodu.
- Mylenie podstaw trapezu z ramionami trapezu.
- Przepisywanie wzoru bez sprawdzenia, czy wszystkie dane są w tej samej jednostce.
Ciekawostka: ten sam wzór może opisywać różne figury
Wzór P = d1 · d2 / 2 pojawia się przy rombie i deltoidzie, a wzór P = a · h pojawia się przy prostokącie oraz równoległoboku. Różnica polega na tym, co oznaczają dane w konkretnej figurze. Dlatego w geometrii zawsze najpierw rozpoznaj figurę, a dopiero potem podstawiaj liczby.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przed obliczeniem pola narysuj mały szkic i podpisz dane. Zaznacz podstawę, wysokość, promień albo przekątne. W wielu zadaniach sam szkic od razu pokazuje, którego wzoru użyć i czy podana długość jest bokiem, wysokością czy przekątną.
Główna mapa działu: Akademia matematyki – kalkulatory, tablice i poradniki łączy tę tablicę z odpowiednimi kalkulatorami, poradnikami oraz osobnymi Akademiami algebry, geometrii, funkcji, matematyki dyskretnej i statystyki.
Pełna ścieżka geometrii
Ten materiał uzupełnia inne tematy z geometrii. Pełną ścieżkę nauki, tablice, poradniki i kalkulatory znajdziesz w akademii geometrii: figury, bryły, trygonometria i zadania.
Nowe kalkulatory do figur płaskich
Do tej strony dopięto osobne kalkulatory dla najczęściej szukanych zadań z planimetrii. Dzięki temu użytkownik może zacząć od ogólnej tablicy lub poradnika, a potem przejść do dokładnego narzędzia dla konkretnej figury.