Policz kolejne elementy koła i geometrii
Po obliczeniu łuku możesz sprawdzić pełne koło, znaleźć promień z odległości punktów albo rozwiązać zadanie z trójkątem.
Wzór na długość łuku
Jeżeli kąt jest podany w radianach, długość łuku obliczamy ze wzoru L = rθ. Litera r oznacza promień, a θ kąt środkowy w radianach.
Dla kąta w stopniach można użyć wzoru L = (α/360°) × 2πr. W praktyce oznacza to, że łuk stanowi taką samą część obwodu, jaką kąt stanowi z pełnych 360°.
Dla promienia 12 cm i kąta 60° łuk ma długość 4π cm, czyli około 12,57 cm.
Jak obliczyć promień łuku?
Gdy znasz długość łuku i kąt w radianach, użyj wzoru r = L/θ. Dla kąta w stopniach można zapisać r = 180L/(πα).
Przykład: łuk 10 cm i kąt 60° dają promień około 9,55 cm. Wybierz tryb „Długość łuku i kąt”.
Jak obliczyć kąt z długości łuku?
Jeśli znasz promień i łuk, kąt w radianach wynosi θ = L/r. Następnie można przeliczyć go na stopnie.
Przykład: promień 5 cm i łuk 10 cm dają kąt 2 rad, czyli około 114,59°.
Pole wycinka koła
Wycinek koła jest obszarem ograniczonym przez dwa promienie i łuk. Dla kąta w radianach pole wynosi P = ½r²θ. Dla stopni można użyć wzoru P = (α/360°) × πr².
Dla promienia 10 cm i kąta 90° wycinek stanowi ćwiartkę koła. Jego pole wynosi 25π cm², czyli około 78,54 cm².
Pole ma jednostkę kwadratową, np. cm² lub m². Długość łuku, promień, średnica i cięciwa mają zwykłą jednostkę długości.
Długość cięciwy a długość łuku
Cięciwa jest prostym odcinkiem łączącym końce łuku. Nie jest tym samym co zakrzywiony fragment okręgu. Jej długość oblicza się ze wzoru c = 2r sin(θ/2).
Dla promienia 10 cm i kąta 90° długość łuku wynosi około 15,71 cm, a cięciwa około 14,14 cm. Łuk jest dłuższy, ponieważ biegnie po krzywiźnie okręgu.
Kalkulator pokazuje cięciwę jako wynik pomocniczy. Nie liczy długości dowolnej krzywej, lecz wyłącznie łuk okręgu.
Jak obliczyć promień lub kąt z cięciwy?
Jeżeli znasz cięciwę i kąt środkowy, promień oblicza się ze wzoru r = c/[2 sin(θ/2)]. Dla cięciwy 14,14 cm i kąta 90° promień wynosi około 10 cm.
Jeśli znasz promień i cięciwę, mniejszy kąt środkowy wynosi θ = 2 asin(c/(2r)). Cięciwa nie może być dłuższa od średnicy, czyli od 2r.
Ta sama cięciwa może ograniczać także większy łuk. W trybie „Promień i cięciwa” kalkulator pokazuje mniejszy kąt oraz krótszy łuk; większy kąt wynosi 360° minus otrzymany wynik.
Obwód wycinka koła
Dla wycinka o kącie mniejszym niż 360° obwód obejmuje łuk oraz dwa promienie, dlatego liczymy go jako O = L + 2r.
Jeśli łuk ma 12,57 cm, a promień 12 cm, obwód wycinka wynosi 12,57 + 24, czyli około 36,57 cm.
Wyjątek stanowi pełne 360°: wycinek staje się całym kołem, więc jego obwód jest równy samemu łukowi pełnego okręgu, czyli 2πr.
Stopnie i radiany
| Stopnie | Radiany | Część koła |
|---|---|---|
| 30° | π/6 | 1/12 |
| 45° | π/4 | 1/8 |
| 60° | π/3 | 1/6 |
| 90° | π/2 | 1/4 |
| 120° | 2π/3 | 1/3 |
| 180° | π | 1/2 |
| 360° | 2π | całe koło |
Po wybraniu radianów możesz wpisać liczbę dziesiętną albo zapis π/3, 2π/3 czy π.
Przykłady obliczeń
| Dane | Długość łuku | Pole wycinka | Cięciwa |
|---|---|---|---|
| r = 12 cm, 60° | 4π ≈ 12,57 cm | 24π ≈ 75,40 cm² | 12,00 cm |
| d = 20 cm, 90° | 5π ≈ 15,71 cm | 25π ≈ 78,54 cm² | 14,14 cm |
| r = 8 m, 120° | 16π/3 ≈ 16,76 m | 64π/3 ≈ 67,02 m² | 13,86 m |
| r = 5 cm, L = 10 cm | 10,00 cm | 25,00 cm² | 8,41 cm |
| r = 10 cm, c = 14,14 cm | około 15,71 cm | około 78,54 cm² | 14,14 cm |
W czwartym przykładzie kąt wynosi 2 rad, dlatego pole wycinka można też szybko policzyć jako ½rL = 25 cm².
Najczęstsze błędy
- Wpisanie średnicy jako promienia — średnica jest dwa razy większa.
- Pomylenie stopni i radianów — 60° nie oznacza 60 radianów.
- Mylenie łuku z cięciwą — łuk jest zakrzywiony, a cięciwa prosta.
- Cięciwa dłuższa od średnicy — dla promienia r długość cięciwy nie może przekroczyć 2r.
- Podanie pola w zwykłej jednostce — pole wycinka zapisujemy np. w cm².
- Dodanie promieni do długości łuku — robi się to tylko przy obwodzie wycinka.
- Użycie kąta większego niż pełny obrót — ten kalkulator opisuje pojedynczy wycinek koła.
Ciekawostka
Jeden radian to taki kąt, dla którego długość łuku jest równa promieniowi. Gdy θ = 1, ze wzoru L = rθ otrzymujemy L = r.
Jak sprawdzić wynik?
Dla 90° łuk i pole powinny stanowić 25% pełnego okręgu i koła. Dla 180° powinny stanowić połowę, a dla 60° jedną szóstą.
Zastosowania praktyczne
Łuk i wycinek pojawiają się przy zraszaczach, okrągłych rabatach, sektorach sceny, tarczach, elementach maszyn, pizzy i fragmentach okrągłych powierzchni.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przed liczeniem zaznacz w treści zadania, czy masz promień, średnicę, długość łuku czy kąt. Następnie wybierz odpowiadający temu tryb kalkulatora.
Cała geometria w jednym miejscu: Akademia geometrii – figury, bryły, trygonometria i zadania łączy pola i obwody figur z geometrią analityczną, twierdzeniem Pitagorasa, trygonometrią, podobieństwem oraz polami powierzchni i objętościami brył.