W kalkulatorze wielokąta foremnego policzysz najważniejsze parametry figury, która ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe. Użytkownicy często szukają takich obliczeń jako „pole sześciokąta foremnego”, „obwód pięciokąta foremnego”, „kąt wewnętrzny wielokąta foremnego” albo „ile przekątnych ma wielokąt foremny”.
Wzór i logika obliczeń
Najważniejszy punkt to liczba boków n. Gdy znasz bok a, obwód wynosi P = n · a. Apotema, czyli promień okręgu wpisanego, ma wzór r = a / (2 · tg(180°/n)), a promień okręgu opisanego R = a / (2 · sin(180°/n)).
Pole wielokąta foremnego można zapisać jako S = P · r / 2 albo bezpośrednio z boku: S = n · a² / (4 · tg(180°/n)). Kąt środkowy to 360°/n, kąt zewnętrzny również 360°/n, a jeden kąt wewnętrzny to (n-2) · 180° / n. Jeśli potrzebujesz zamiany stopni na radiany, użyj kalkulatora stopni i radianów.
Przykład obliczeń
Załóżmy, że sześciokąt foremny ma bok 8 cm. Obwód to 6 · 8 = 48 cm. Kąt wewnętrzny ma wartość (6-2) · 180° / 6 = 120°. Pole liczymy ze wzoru S = 6 · 8² / (4 · tg 30°), czyli około 166,28 cm².
Ten przykład dobrze pokazuje, dlaczego sześciokąt foremny jest często omawiany razem z trójkątami równobocznymi i okręgiem. Można rozłożyć go na 6 takich samych trójkątów, a każdy z nich ma kąt środkowy 60°.
Zadania przykładowe
Zadanie 1
Ośmiokąt foremny ma bok 5 cm. Oblicz jego obwód, kąt wewnętrzny i liczbę przekątnych.
Odpowiedź: P = 40 cm, kąt = 135°, przekątne = 20.
Zadanie 2
Pięciokąt foremny ma obwód 45 cm. Oblicz długość jednego boku i kąt zewnętrzny.
Odpowiedź: a = 9 cm, kąt zewnętrzny = 72°.
Tabela referencyjna
| Figura foremna | n | Kąt wewnętrzny | Kąt środkowy | Liczba przekątnych |
|---|---|---|---|---|
| Trójkąt równoboczny | 3 | 60° | 120° | 0 |
| Kwadrat | 4 | 90° | 90° | 2 |
| Pięciokąt foremny | 5 | 108° | 72° | 5 |
| Sześciokąt foremny | 6 | 120° | 60° | 9 |
| Ośmiokąt foremny | 8 | 135° | 45° | 20 |
Tabela porównawcza: bok, apotema, promień i pole
| Znasz | Co można policzyć? | Kiedy to wybrać? |
|---|---|---|
| Bok a | obwód, pole, promienie, kąty | najczęstsze zadania szkolne |
| Obwód P | bok, pole, apotemę, promień | gdy podano sumę wszystkich boków |
| Apotemę r | bok, obwód, pole | gdy figura jest opisana wokół okręgu |
| Promień R | bok, obwód, pole | gdy wierzchołki leżą na okręgu |
| Pole S | bok, obwód, promienie | gdy trzeba odtworzyć rozmiar figury |
Ciekawostka
Im więcej boków ma wielokąt foremny, tym bardziej przypomina koło. Dla bardzo dużego n obwód wielokąta wpisanego w okrąg zbliża się do obwodu okręgu, a pole do pola koła. To jeden z klasycznych sposobów intuicyjnego przybliżania liczby π.
Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku
- Mylenie apotemy z promieniem opisanym - apotema dochodzi do środka boku, a promień opisany do wierzchołka.
- Wpisanie kąta wewnętrznego zamiast liczby boków - kalkulator zaczyna od n, a kąty oblicza automatycznie.
- Zaokrąglanie po drodze - przy polu z trygonometrii najlepiej zaokrąglić dopiero wynik końcowy.
- Niepełna jednostka pola - jeśli bok jest w cm, pole zapisujesz w cm², a obwód w cm.
Wielokąt foremny w zadaniach z okręgiem
Wielokąt wpisany
Jeśli wszystkie wierzchołki leżą na okręgu, ważny jest promień opisany R. Z niego policzysz bok przez sinus kąta 180°/n.
Wielokąt opisany
Jeśli boki dotykają okręgu, ważna jest apotema r. Pole można wtedy szybko policzyć ze wzoru S = P · r / 2.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Jeżeli nie wiesz, od czego zacząć, narysuj środek wielokąta i połącz go z wierzchołkami. Powstaną równe trójkąty, a zadanie z wielokąta zamieni się w prostsze zadanie z kątem środkowym. Do dalszej nauki geometrii przejdź do Akademii geometrii albo do poradnika o polach i obwodach figur.