Okrąg i współrzędne - policz kolejne elementy
Równanie okręgu często wymaga wcześniejszego obliczenia środka odcinka, odległości punktów albo sprawdzenia pola koła.
Równanie okręgu - wzór kanoniczny
Okrąg o środku S(a,b) i promieniu r ma równanie:
(x-a)²+(y-b)²=r²
Każdy punkt P(x,y) należący do okręgu znajduje się w odległości r od środka. Po lewej stronie równania występuje więc kwadrat odległości punktu od S.
Gdy środek leży w początku układu, czyli S(0,0), równanie upraszcza się do x²+y²=r².
Kalkulator pokazuje postać kanoniczną dokładnie, z prawidłowymi znakami w nawiasach oraz z wartością r² po prawej stronie.
Jak wyznaczyć równanie okręgu ze środka i promienia?
Dla środka S(2,-1) i promienia r=3 podstawiamy a=2, b=-1 oraz r²=9:
(x-2)²+(y+1)²=9
Przy współrzędnej b=-1 w równaniu pojawia się znak plus, ponieważ odejmujemy liczbę ujemną: y-(-1)=y+1.
Po rozwinięciu nawiasów otrzymujemy postać ogólną:
x²+y²-4x+2y-4=0
Ten tryb odpowiada na zadania typu „napisz równanie okręgu o środku S i promieniu r”.
Postać ogólna okręgu - jak znaleźć środek i promień?
Postać ogólna może być zapisana jako:
Kx²+Ky²+Dx+Ey+F=0
Współczynnik K musi być różny od 0 i taki sam przy x² oraz y². Najpierw dzielimy całe równanie przez K. Dla postaci unormowanej x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0 środek i promień obliczamy ze wzorów:
S(-D₁/2,-E₁/2)
r²=(D₁²+E₁²)/4-F₁
Dla x²+y²-4x+2y-4=0 otrzymujemy S(2,-1) oraz r²=9, czyli r=3. Równanie 2x²+2y²-8x+4y-8=0 opisuje ten sam okrąg po podzieleniu przez 2.
Jeśli r² jest ujemne, równanie nie ma rzeczywistych punktów. Gdy r²=0, okrąg degeneruje się do jednego punktu.
Zamiana postaci ogólnej na kanoniczną przez uzupełnianie kwadratu
Po podzieleniu przez wspólny współczynnik K równanie x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0 można pogrupować:
(x²+D₁x)+(y²+E₁y)=-F₁
Do obu nawiasów dodajemy kwadraty połowy współczynników:
(x+D₁/2)²+(y+E₁/2)²=(D₁²+E₁²)/4-F₁
Otrzymana prawa strona jest równa r², a liczby w nawiasach wskazują współrzędne środka z przeciwnymi znakami.
Kalkulator wykonuje to przekształcenie automatycznie i pokazuje wszystkie najważniejsze etapy.
Równanie okręgu z końców średnicy
Jeżeli A(x₁,y₁) i B(x₂,y₂) są końcami średnicy, środek jest środkiem odcinka AB:
S((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)
Promień jest połową długości średnicy:
r=AB/2
Można też od razu obliczyć r²=[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]/4. Dzięki temu wynik dokładny zachowuje ułamki i pierwiastki.
Dla A(-2,1) i B(4,5) środek wynosi S(1,3), a r=√13.
Równanie okręgu ze środka i punktu na okręgu
Jeżeli znasz środek S(a,b) oraz punkt P(x₁,y₁) należący do okręgu, promień jest odległością SP:
r²=(x₁-a)²+(y₁-b)²
Następnie podstawiamy środek oraz r² do równania kanonicznego.
Dla S(1,2) i P(4,6) promień wynosi 5, ponieważ różnice współrzędnych tworzą trójkę 3-4-5.
Ten tryb przydaje się w zadaniach, w których promień nie jest podany bezpośrednio.
Równanie okręgu przechodzącego przez trzy punkty
Trzy niewspółliniowe punkty wyznaczają dokładnie jeden okrąg. Jego środek jest punktem przecięcia symetralnych boków trójkąta ABC.
Kalkulator rozwiązuje układ równań powstały po podstawieniu punktów do postaci ogólnej:
x²+y²+Dx+Ey+F=0
Jeżeli punkty są współliniowe, nie istnieje skończony okrąg przechodzący przez wszystkie trzy punkty. Taki przypadek jest automatycznie blokowany.
Dla A(0,0), B(4,0) i C(0,4) otrzymujemy S(2,2), r=2√2 oraz równanie (x-2)²+(y-2)²=8.
Jak sprawdzić, czy punkt leży na okręgu?
Dla punktu Q(xq,yq) obliczamy jego odległość od środka:
SQ=√[(xq-a)²+(yq-b)²]
Następnie porównujemy SQ z promieniem r:
- gdy SQ<r, punkt leży wewnątrz okręgu;
- gdy SQ=r, punkt leży na okręgu;
- gdy SQ>r, punkt leży na zewnątrz.
Potęga punktu względem okręgu
Potęga punktu Q ma postać:
p(Q)=SQ²-r²
Wynik ujemny oznacza wnętrze okręgu, zero oznacza punkt na okręgu, a wynik dodatni punkt zewnętrzny.
Kalkulator pokazuje zarówno odległość SQ, jak i potęgę punktu. Pozwala to sprawdzić położenie bez wyciągania pierwiastka.
Odległość punktu od samego okręgu, rozumianego jako linia, wynosi |SQ-r|.
Przecięcie okręgu z osiami OX i OY
Aby znaleźć przecięcia z osią OX, podstawiamy y=0. Otrzymujemy:
(x-a)²=r²-b²
Dla osi OY podstawiamy x=0:
(y-b)²=r²-a²
Jeśli prawa strona jest dodatnia, są dwa punkty przecięcia. Gdy wynosi 0, okrąg jest styczny do osi. Wartość ujemna oznacza brak przecięcia.
Kalkulator podaje współrzędne przecięć lub informację o styczności i braku punktów wspólnych.
Kiedy okrąg jest styczny do osi OX lub OY?
Okrąg jest styczny do osi OX, gdy odległość środka od tej osi jest równa promieniowi:
|b|=r
Analogicznie styczność do osi OY zachodzi przy |a|=r.
Jeżeli |b|<r, okrąg przecina OX w dwóch punktach. Gdy |b|>r, nie ma z osią OX punktów wspólnych. Identyczna zasada działa dla OY.
Informację tę można odczytać z sekcji przecięć z osiami.
Skrajne punkty okręgu i prostokąt opisany
Dla środka S(a,b) i promienia r skrajne punkty mają współrzędne:
- lewy: (a-r,b);
- prawy: (a+r,b);
- dolny: (a,b-r);
- górny: (a,b+r).
Tworzą one najmniejszy prostokąt o bokach równoległych do osi, który zawiera cały okrąg. Kalkulator podaje wszystkie cztery punkty.
Okrąg a koło - jaka jest różnica?
Okrąg jest linią złożoną z punktów znajdujących się dokładnie w odległości r od środka. Koło obejmuje okrąg oraz całe jego wnętrze.
Równanie z symbolem równości opisuje okrąg:
(x-a)²+(y-b)²=r²
Nierówność „mniejsze lub równe” opisuje koło:
(x-a)²+(y-b)²≤r²
Pole koła i obwód okręgu są w kalkulatorze tylko wynikami pomocniczymi.
Czy każde równanie Kx²+Ky²+Dx+Ey+F=0 opisuje okrąg?
Nie. Po podzieleniu równania przez K decyduje wartość r²=(D₁²+E₁²)/4-F₁:
| Wartość r² | Znaczenie |
|---|---|
| r²>0 | rzeczywisty okrąg o dodatnim promieniu |
| r²=0 | okrąg zdegenerowany do jednego punktu |
| r²<0 | brak rzeczywistych punktów spełniających równanie |
Kalkulator klasyfikuje równanie i nie rysuje fikcyjnego okręgu dla ujemnego r².
Wynik dokładny i zaokrąglenie
Środek okręgu może mieć współrzędne ułamkowe, a promień często zawiera pierwiastek. Przykładowo końce średnicy mogą dać S(1/2,3/2) oraz r=√13/2.
Kalkulator zachowuje dokładne ułamki dla środka, r² oraz współczynników równania. Promień jest upraszczany do postaci z pierwiastkiem, gdy jest to możliwe.
Wartości dziesiętne są zaokrąglane dopiero podczas wyświetlania i nie wpływają na kontrolę punktów.
Najczęstsze błędy w równaniu okręgu
- Zły znak środka — w (x-a)² współrzędna środka ma znak przeciwny do znaku w nawiasie.
- Promień zamiast r² — po prawej stronie równania kanonicznego znajduje się kwadrat promienia.
- Niepełne rozwinięcie nawiasów — (x-a)²=x²-2ax+a².
- Traktowanie r²<0 jako promienia — taki przypadek nie opisuje rzeczywistego okręgu.
- Trzy punkty współliniowe — nie wyznaczają skończonego okręgu.
- Mylenie okręgu z kołem — równanie z „=” opisuje linię, nie całe wnętrze.
Zadania z równania okręgu - pokaż odpowiedź
Każde zadanie ma osobny przycisk z wynikiem i najważniejszymi obliczeniami.
Zadanie 1: środek i promień
Napisz równanie okręgu o środku S(2,-1) i promieniu 3.
Zadanie 2: środek i promień z postaci ogólnej
Wyznacz środek i promień okręgu x²+y²-6x+4y-12=0.
Zadanie 3: końce średnicy
Końce średnicy to A(-2,1) i B(4,5). Wyznacz równanie okręgu.
Zadanie 4: środek i punkt
Okrąg ma środek S(1,2) i przechodzi przez P(4,6). Napisz równanie.
Zadanie 5: okrąg przez trzy punkty
Wyznacz okrąg przechodzący przez A(0,0), B(4,0) i C(0,4).
Zadanie 6: punkt względem okręgu
Określ położenie Q(5,-1) względem okręgu (x-2)²+(y+1)²=9.
Zadanie 7: okrąg styczny do osi
Czy okrąg (x-3)²+(y-2)²=4 jest styczny do osi OX?
Zadanie 8: brak rzeczywistego okręgu
Co opisuje równanie x²+y²+2x-4y+10=0?
Ciekawostka
Środek okręgu przechodzącego przez trzy punkty jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na trójkącie utworzonym przez te punkty.
Kiedy przydaje się postać kanoniczna?
Gdy trzeba szybko odczytać środek, promień, skrajne punkty albo położenie punktu względem okręgu.
Kiedy wygodniejsza jest postać ogólna?
Przy rozwiązywaniu układów równań, szukaniu przecięć z prostą oraz wyznaczaniu okręgu z kilku punktów.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Po wyznaczeniu środka i r² sprawdź jeden znany punkt. Jeśli po podstawieniu lewa strona równania kanonicznego nie daje r², najczęściej pomylony został znak środka albo wyraz wolny.
Cała geometria w jednym miejscu: Akademia geometrii – figury, bryły, trygonometria i zadania łączy pola i obwody figur z geometrią analityczną, twierdzeniem Pitagorasa, trygonometrią, podobieństwem oraz polami powierzchni i objętościami brył.