Co znajdziesz w tej tablicy?
Ta tablica zbiera najważniejsze wzory i zasady dotyczące trójkątów, kątów, wysokości i twierdzenia Pitagorasa. Przyda się przy zadaniach typu „jak obliczyć pole trójkąta”, „ile wynosi trzeci kąt w trójkącie”, „jak policzyć przeciwprostokątną”, „jak znaleźć wysokość trójkąta równobocznego” albo „jak rozpoznać trójkąt prostokątny”.
Do szybkiego liczenia użyj kalkulatora Pitagorasa, kalkulatora twierdzenia Pitagorasa i kalkulatora rozwiązywania trójkątów. Wzory na inne figury są zebrane w tablicy figury płaskie – wzory.
Oznaczenia w trójkącie
| Symbol | Znaczenie | Najczęstsze użycie |
|---|---|---|
| a, b, c | boki trójkąta | obwód, Pitagoras, pole |
| h, ha, hb, hc | wysokość opuszczona na dany bok | P = a · ha / 2 |
| α, β, γ | kąty trójkąta | α + β + γ = 180° |
| c | często przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym | a² + b² = c² |
| P | pole trójkąta | P = a · h / 2 |
| O | obwód trójkąta | O = a + b + c |
| r | promień okręgu wpisanego | P = p · r |
| R | promień okręgu opisanego | wzory rozszerzone |
| p | połowa obwodu | p = (a+b+c)/2 |
Suma kątów w trójkącie
W każdym trójkącie suma kątów wewnętrznych wynosi 180°. To jedna z najważniejszych zasad w zadaniach z trójkątów.
Przykład 1
Kąty 50° i 70°. Trzeci kąt: 180° - 50° - 70° = 60°.
Przykład 2
Kąty 35° i 90°. Trzeci kąt: 180° - 125° = 55°.
Przykład 3
Trójkąt równoboczny ma kąty po 60°.
Jeżeli zadanie dotyczy wielokątów, sprawdź kalkulator kątów w wielokącie.
Rodzaje trójkątów według boków
| Rodzaj | Opis | Najważniejsza własność | Przykład zastosowania |
|---|---|---|---|
| Równoboczny | wszystkie boki są równe | wszystkie kąty mają 60° | wzór P = a²√3/4 |
| Równoramienny | dwa boki są równe | kąty przy podstawie są równe | wysokość dzieli podstawę na połowy |
| Różnoboczny | wszystkie boki mogą być różne | brak dodatkowej symetrii | często potrzebna wysokość albo wzór Herona |
Rodzaje trójkątów według kątów
| Rodzaj | Opis | Jak rozpoznać? | Wskazówka |
|---|---|---|---|
| Ostrokątny | wszystkie kąty są ostre | każdy kąt ma mniej niż 90° | wysokości leżą wewnątrz trójkąta |
| Prostokątny | jeden kąt ma 90° | można użyć Pitagorasa | przyprostokątne są prostopadłe |
| Rozwartokątny | jeden kąt jest rozwarty | jeden kąt ma więcej niż 90° | część wysokości leży poza trójkątem |
Nierówność trójkąta
Z trzech odcinków można zbudować trójkąt tylko wtedy, gdy suma długości każdych dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku. W praktyce wystarczy sprawdzić, czy suma dwóch krótszych boków jest większa od najdłuższego.
Można zbudować
Boki 4, 5, 7. Dwa krótsze: 4 + 5 = 9, a 9 > 7.
Nie można zbudować
Boki 2, 3, 6. Dwa krótsze: 2 + 3 = 5, a 5 < 6.
Pole i obwód trójkąta
Najczęściej pole trójkąta liczymy z podstawy i wysokości. Obwód to suma długości wszystkich boków.
Pole
Obwód
Wysokość z pola
Przykład
Trójkąt ma podstawę 12 cm i wysokość 5 cm. Pole: 12 · 5 / 2 = 30 cm².
Wysokości w trójkącie
Wysokość to odcinek poprowadzony z wierzchołka prostopadle do przeciwległego boku lub jego przedłużenia. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, po jednej do każdego boku.
| Typ trójkąta | Położenie wysokości | Co warto zapamiętać? |
|---|---|---|
| Ostrokątny | wszystkie wysokości leżą wewnątrz | łatwo je narysować na bokach trójkąta |
| Prostokątny | dwie wysokości pokrywają się z przyprostokątnymi | pole to połowa iloczynu przyprostokątnych |
| Rozwartokątny | część wysokości leży poza trójkątem | czasem trzeba przedłużyć bok |
Jeżeli w zadaniu podano pole i podstawę, wysokość obliczysz ze wzoru h = 2P/a.
Trójkąt równoboczny
Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równe, wszystkie kąty po 60° i bardzo wygodne wzory na wysokość oraz pole.
Wysokość
Pole
Obwód
Przykład
Dla boku a = 8 cm wysokość wynosi 4√3 cm, a pole wynosi 16√3 cm².
Trójkąt równoramienny
W trójkącie równoramiennym dwa boki są równe. Kąty przy podstawie są równe, a wysokość opuszczona z wierzchołka między ramionami dzieli podstawę na dwie równe części.
Pole
a – podstawa, h – wysokość na podstawę.
Obwód
a – podstawa, b – ramię.
Przykład
Trójkąt równoramienny ma podstawę 10 cm i wysokość 12 cm. Pole: 10 · 12 / 2 = 60 cm².
Trójkąt prostokątny i twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne tworzą kąt prosty, a najdłuższy bok to przeciwprostokątna. Twierdzenie Pitagorasa pozwala obliczyć brakujący bok.
Przeciwprostokątna
c = √(a² + b²)
Przyprostokątna
a = √(c² - b²)
Pole
P = a · b / 2
Przykład 3–4–5
Jeżeli przyprostokątne mają długości 3 i 4, przeciwprostokątna wynosi √(9+16)=√25=5.
Najpopularniejsze trójki pitagorejskie
Trójki pitagorejskie to zestawy liczb naturalnych spełniające równanie a² + b² = c². W zadaniach szkolnych często pozwalają szybko rozpoznać długości boków.
| Przyprostokątne | Przeciwprostokątna | Sprawdzenie |
|---|---|---|
| 3 i 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 i 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 6 i 8 | 10 | 36 + 64 = 100 |
| 7 i 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
| 8 i 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 9 i 12 | 15 | 81 + 144 = 225 |
| 10 i 24 | 26 | 100 + 576 = 676 |
Trójkąty 45°–45°–90° oraz 30°–60°–90°
Niektóre trójkąty prostokątne mają stałe proporcje boków. Dzięki temu można liczyć szybciej, bez pełnego rozwiązywania trójkąta.
45°–45°–90°
To połowa kwadratu przeciętego przekątną.
30°–60°–90°
To połowa trójkąta równobocznego.
Wartości trygonometryczne do takich zadań znajdziesz w kalkulatorze wartości trygonometrycznych.
Trygonometria w trójkącie prostokątnym
Trygonometria pomaga, gdy znamy kąt i jeden bok albo chcemy wyznaczyć kąt z proporcji boków. W trójkącie prostokątnym sin, cos i tg odnoszą się do wybranego kąta ostrego.
| Funkcja | Wzór | Opis względem kąta α |
|---|---|---|
| sin α | przeciwległa / przeciwprostokątna | bok naprzeciw kąta do najdłuższego boku |
| cos α | przyległa / przeciwprostokątna | bok przy kącie do najdłuższego boku |
| tg α | przeciwległa / przyległa | stosunek przyprostokątnych |
Do obliczeń użyj kalkulatora trygonometrii. Jeśli w zadaniu są radiany, pomocny będzie kalkulator stopni na radiany.
Wzór Herona
Wzór Herona pozwala obliczyć pole trójkąta, gdy znamy wszystkie trzy boki i nie mamy podanej wysokości. Najpierw obliczamy połowę obwodu.
Przykład
Dla boków 5, 6 i 7 mamy p = 9. Pole: √[9·4·3·2] = √216 = 6√6.
Okrąg wpisany i opisany – podstawy
W trójkącie można rozważać okrąg wpisany oraz okrąg opisany. W zadaniach podstawowych najczęściej wystarczy znać sens tych pojęć i prosty wzór z promieniem okręgu wpisanego.
Okrąg wpisany
Jest styczny do wszystkich boków trójkąta. Jego promień oznacza się zwykle przez r.
Okrąg opisany
Przechodzi przez wszystkie wierzchołki trójkąta. Jego promień oznacza się zwykle przez R.
W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej.
Tabela zbiorcza wzorów
| Temat | Wzór | Kiedy stosować? |
|---|---|---|
| Suma kątów | α + β + γ = 180° | brakuje jednego kąta |
| Obwód | O = a + b + c | znamy wszystkie boki |
| Pole podstawowe | P = a · h / 2 | znamy podstawę i wysokość |
| Wysokość z pola | h = 2P / a | znamy pole i podstawę |
| Równoboczny – wysokość | h = a√3 / 2 | znamy bok trójkąta równobocznego |
| Równoboczny – pole | P = a²√3 / 4 | znamy bok trójkąta równobocznego |
| Pitagoras | a² + b² = c² | trójkąt prostokątny |
| Heron | P = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] | znamy trzy boki |
| Okrąg wpisany | P = p · r | znamy półobwód i promień wpisany |
Jak dobrać wzór do zadania?
| W treści masz... | Najlepszy start | Uwaga |
|---|---|---|
| dwa kąty | α + β + γ = 180° | odejmij od 180° |
| podstawę i wysokość | P = a·h/2 | wysokość musi pasować do podstawy |
| pole i podstawę | h = 2P/a | uważaj na jednostki |
| trójkąt prostokątny i dwa boki | Pitagoras | najdłuższy bok to przeciwprostokątna |
| wszystkie trzy boki | obwód, nierówność trójkąta, Heron | najpierw sprawdź, czy trójkąt istnieje |
| trójkąt równoboczny i bok | h = a√3/2, P = a²√3/4 | wszystkie kąty mają 60° |
| kąt i bok w trójkącie prostokątnym | sin, cos albo tg | ustal bok przeciwległy i przyległy |
Zadania kontrolne
| Zadanie | Odpowiedź | Temat |
|---|---|---|
| Kąty trójkąta: 45° i 65°. Oblicz trzeci. | 70° | suma kątów |
| Podstawa 14 cm, wysokość 6 cm. Oblicz pole. | 42 cm² | pole trójkąta |
| Pole 48 cm², podstawa 12 cm. Oblicz wysokość. | 8 cm | wysokość z pola |
| Przyprostokątne 6 i 8. Oblicz przeciwprostokątną. | 10 | Pitagoras |
| Bok trójkąta równobocznego 10 cm. Oblicz wysokość. | 5√3 cm | równoboczny |
| Boki 5, 12, 13. Czy trójkąt jest prostokątny? | tak | trójka pitagorejska |
| Boki 2, 4, 7. Czy istnieje trójkąt? | nie | nierówność trójkąta |
| Trójkąt równoramienny ma podstawę 8 i ramię 5. Obwód? | 18 | równoramienny |
Najczęstsze błędy
- Użycie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie, który nie jest prostokątny.
- Pomylenie przyprostokątnej z przeciwprostokątną.
- Brak dzielenia przez 2 we wzorze na pole trójkąta.
- Użycie wysokości, która nie jest opuszczona na wybraną podstawę.
- Założenie, że każdy trójkąt z dwoma równymi kątami jest równoboczny, a nie równoramienny.
- Pomijanie sprawdzenia nierówności trójkąta przy trzech bokach.
- Mylenie kątów 45°–45°–90° z trójkątem 30°–60°–90°.
- Podawanie pola w cm zamiast cm².
Ciekawostka: wysokość nie zawsze leży w środku trójkąta
W trójkącie rozwartokątnym część wysokości trzeba poprowadzić do przedłużenia boku, więc wysokość może znaleźć się poza trójkątem. Dlatego sam rysunek bywa ważniejszy niż zapamiętany schemat z trójkąta ostrokątnego.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przed podstawieniem do wzoru zaznacz na rysunku, który bok jest podstawą, gdzie jest wysokość i czy trójkąt jest prostokątny. Jeśli widzisz kąt 90°, sprawdź Pitagorasa. Jeśli widzisz dwa równe boki, sprawdź własności trójkąta równoramiennego. Jeśli widzisz trzy boki, najpierw sprawdź, czy trójkąt w ogóle istnieje.
Pełna ścieżka geometrii
Pełną ścieżkę nauki, tablice, poradniki i kalkulatory znajdziesz w akademii geometrii: figury, bryły, trygonometria i zadania.