Co dalej policzyć po modulo?
Ten kalkulator wykonuje działania w arytmetyce modularnej. Jeśli zadanie wymaga rozwiązania równania, pełnego algorytmu Euklidesa albo ilorazu z resztą, wybierz narzędzie dopasowane do tej operacji.
Jak działa modulo?
Zapis a mod n oznacza redukcję liczby a względem dodatniego modułu n. Kalkulator zwraca resztę nieujemną z zakresu 0…n−1.
Dla 29 mamy 29 = 4·7 + 1. Liczba −3 jest równoważna 4 modulo 7, dlatego po normalizacji wynik wynosi 4.
Działania w arytmetyce modularnej
| Operacja | Zapis | Wynik kalkulatora |
|---|---|---|
| Modulo | a mod n | reszta nieujemna 0…n−1 |
| Dodawanie | (a+b) mod n | suma po redukcji modulo n |
| Odejmowanie | (a−b) mod n | różnica po redukcji modulo n |
| Mnożenie | (a·b) mod n | iloczyn po redukcji modulo n |
| Potęgowanie | a^b mod n | szybkie potęgowanie modularne |
| Odwrotność | a^(-1) mod n | tylko gdy NWD(a,n)=1 i n≥2 |
Przykład: 5^13 mod 11 = 4. Obliczenia używają typu BigInt, dlatego duże liczby całkowite nie są zaokrąglane jak zwykłe wartości zmiennoprzecinkowe.
Odwrotność modularna, NWD i liczby ujemne
Odwrotność a^(-1) mod n istnieje wtedy, gdy NWD(a,n)=1. Dla przykładu odwrotnością 8 modulo 21 jest 8, bo 8·8 mod 21 = 1.
W programowaniu operator % może dla liczb ujemnych dawać wynik o innym znaku. Ten kalkulator stosuje matematyczną normalizację do zakresu 0…n−1. Dlatego −3 mod 7 = 4, a dla każdego całkowitego a zachodzi a mod 1 = 0.
Najczęstsze błędy przy modulo
- n = 0 - moduł musi być dodatni.
- Liczba dziesiętna - kalkulator przyjmuje liczby całkowite; zapis
1,5jest odrzucany. - Ujemny wykładnik - w trybie
a^b mod nwartośćbmusi być ≥ 0. - Brak względnej pierwszości - gdy NWD(a,n) ≠ 1, odwrotność modularna nie istnieje.
- Równanie zamiast działania - postać
a·x ≡ b (mod m)należy rozwiązać kalkulatorem kongruencji liniowych.
FAQ - kalkulator modulo
Ostatnia aktualizacja: 06.10.2026