Jak działa kalkulator ostrosłupa?
W kalkulatorze ostrosłupa możesz policzyć objętość z pola podstawy i wysokości, wysokość z objętości, pole boczne oraz pole całkowite. Dla ostrosłupa prawidłowego kalkulator wyznacza także pole podstawy z boku wielokąta foremnego, obwód podstawy, apotemę podstawy i apotemę ściany bocznej.
To narzędzie uzupełnia ogólny kalkulator objętości brył. Jeśli porównujesz wzory dla wielu brył, sprawdź również tablicę objętości i pól powierzchni brył oraz poradnik bryły, objętość, pole powierzchni i przekroje.
Wzór i logika obliczeń
Najważniejszy wzór na objętość ostrosłupa to V = Pp · H / 3. W porównaniu z graniastosłupem pojawia się dzielenie przez 3, ponieważ ostrosłup o tej samej podstawie i wysokości ma jedną trzecią objętości odpowiedniego graniastosłupa.
| Wielkość | Wzór | Znaczenie |
|---|---|---|
| Objętość | V = Pp · H / 3 | pole podstawy razy wysokość, podzielone przez 3 |
| Pole całkowite | Pc = Pp + Pb | podstawa i wszystkie ściany boczne |
| Pole boczne prawidłowego | Pb = Ob · l / 2 | obwód podstawy razy apotema ściany, podzielone przez 2 |
| Wysokość | H = 3V / Pp | gdy znasz objętość i pole podstawy |
Przykład obliczeń
Załóżmy, że ostrosłup ma pole podstawy Pp = 64 cm² i wysokość H = 12 cm. Objętość wynosi V = 64 · 12 / 3 = 256 cm³. Jeśli dodatkowo znasz pole boczne Pb = 80 cm², pole całkowite wynosi Pc = 64 + 80 = 144 cm².
Jeżeli podstawą jest kwadrat o boku 8 cm, a wysokość ostrosłupa ma 12 cm, kalkulator może policzyć także apotemę ściany bocznej. Dla kwadratu apotema podstawy wynosi 4 cm, więc apotema ściany bocznej l = √(12² + 4²) ≈ 12,65 cm.
Zadania przykładowe - sprawdź wynik
Rozwiąż zadania samodzielnie, a potem kliknij przycisk. Takie przykłady pomagają utrwalić, kiedy używać objętości, a kiedy pola całkowitego.
Ostrosłup ma pole podstawy 45 cm² i wysokość 10 cm. Oblicz objętość.
Ostrosłup ma objętość 180 cm³ i pole podstawy 30 cm². Oblicz wysokość.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma bok podstawy 6 cm i wysokość 4 cm. Oblicz objętość.
Ostrosłup ma pole podstawy 50 cm² i pole boczne 120 cm². Oblicz pole całkowite.
| Zadanie | Rozwiązanie | Wynik |
|---|---|---|
| 1 | V = 45 · 10 / 3 | 150 cm³ |
| 2 | H = 3 · 180 / 30 | 18 cm |
| 3 | Pp = 6² = 36, V = 36 · 4 / 3 | 48 cm³ |
| 4 | Pc = Pp + Pb = 50 + 120 | 170 cm² |
Tabela referencyjna dla ostrosłupa
| Typ zadania | Co zwykle znasz? | Najważniejszy wzór |
|---|---|---|
| Objętość | Pole podstawy i wysokość | V = Pp · H / 3 |
| Wysokość | Objętość i pole podstawy | H = 3V / Pp |
| Pole całkowite | Pole podstawy i pole boczne | Pc = Pp + Pb |
| Ostrosłup prawidłowy | Bok podstawy, liczba boków i wysokość albo apotema ściany | Pb = Ob · l / 2 |
Tabela porównawcza: ostrosłup, graniastosłup, stożek
| Bryła | Objętość | Co jest podstawą? | Powiązane narzędzie |
|---|---|---|---|
| Ostrosłup | V = Pp · H / 3 | wielokąt | ten kalkulator |
| Graniastosłup | V = Pp · H | wielokąt | graniastosłup |
| Stożek | V = πr²H / 3 | koło | stożek |
| Walec | V = πr²H | koło | walec |
Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku
- Brak dzielenia przez 3 - objętość ostrosłupa to Pp · H / 3, a nie Pp · H.
- Mylenie wysokości z apotemą ściany bocznej - wysokość H jest prostopadła do podstawy, a apotema l leży na ścianie bocznej.
- Złe pole podstawy - najpierw policz podstawę: trójkąt, kwadrat, sześciokąt albo inny wielokąt.
- Mieszanie jednostek - nie wpisuj jednocześnie centymetrów i metrów bez wcześniejszego przeliczenia.
Ciekawostka: dlaczego dzielimy przez 3?
Ostrosłup i graniastosłup mogą mieć taką samą podstawę oraz wysokość, ale objętość ostrosłupa jest trzy razy mniejsza. To dlatego wzór na ostrosłup ma dzielenie przez 3, podobnie jak wzór na stożek.
Ostrosłup prawidłowy w zadaniach szkolnych
W zadaniach szkolnych często pojawia się ostrosłup prawidłowy czworokątny albo sześciokątny. W takim przypadku podstawa jest wielokątem foremnym, a wierzchołek leży nad środkiem podstawy. Kalkulator może wtedy policzyć pole podstawy z boku, apotemę podstawy, apotemę ściany bocznej i pole boczne.
Jeżeli zadanie dotyczy samego wielokąta w podstawie, pomocny będzie kalkulator wielokąta foremnego. Do trójkątów w ścianach bocznych przyda się kalkulator pola trójkąta.
Co dalej policzyć?
Po ostrosłupie sprawdź graniastosłup, stożek, walec i kulę. Cały pakiet geometrii zbiera Akademia geometrii.
Pakiet brył: co dalej policzyć?
Ten kalkulator jest częścią większego pakietu stereometrii. Jeśli w zadaniu pojawia się inna bryła albo trzeba porównać kilka wzorów, przejdź do powiązanych narzędzi. Dzięki temu łatwiej rozdzielić objętość, pole podstawy, pole boczne, pole całkowite, przekątną i wysokość.
Kalkulator walca liczy objętość, pole boczne, pole całkowite, promień i wysokość.
Kalkulator stożka pomaga przy tworzącej, wysokości, polu bocznym i objętości.
Kalkulator graniastosłupa prowadzi od pola podstawy do objętości i pola całkowitego.
Kalkulator ostrosłupa liczy objętość, apotemę, pole boczne i pole całkowite.
Kalkulator prostopadłościanu i sześcianu liczy objętość, pole, sumę krawędzi i przekątne.
Kalkulator przekątnych pokazuje Pitagorasa w 3D dla prostopadłościanu i sześcianu.
Do powtórki wzorów użyj tablicy brył, a do nauki krok po kroku poradnika o objętości, polu powierzchni i przekrojach. Cały dział spina Akademia geometrii.
Wskazówka od KalkulatorXXL
W ostrosłupie najpierw oddziel podstawę od ścian bocznych. Podstawa daje Pp, wysokość daje objętość, a ściany boczne dają Pb. Dopiero na końcu łączysz wszystko w Pc = Pp + Pb.