Definicje sin, cos, tg i ctg w trójkącie prostokątnym
W trójkącie prostokątnym funkcje trygonometryczne zależą od wybranego kąta ostrego. Najpierw zaznacz kąt, potem podpisz bok przeciwległy, bok przyległy i przeciwprostokątną. Dopiero wtedy wybierz wzór.
Sinus
Cosinus
Tangens
Cotangens
Jeżeli zadanie dotyczy boków trójkąta, najwygodniej przejść do kalkulatora trygonometrycznego dla trójkąta prostokątnego.
Stopnie i radiany
Radiany są naturalną jednostką w funkcjach trygonometrycznych, wykresach i analizie matematycznej. W szkolnych zadaniach często trzeba przechodzić między stopniami i radianami.
Pełny obrót
Pół obrotu
Kąt prosty
| Stopnie | Radiany | Przykład użycia |
|---|---|---|
| 30° | π/6 | sin 30° = 1/2 |
| 45° | π/4 | tg 45° = 1 |
| 60° | π/3 | cos 60° = 1/2 |
| 120° | 2π/3 | II ćwiartka |
| 270° | 3π/2 | cos 270° = 0 |
Okrąg jednostkowy i znaki w ćwiartkach
Na okręgu jednostkowym punkt odpowiadający kątowi α ma współrzędne (cos α, sin α). Dlatego cosinus odpowiada osi x, a sinus osi y. Tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa, więc jego znak wynika ze znaków obu funkcji.
| Ćwiartka | Zakres kąta | sin | cos | tg | ctg | Hasło |
|---|---|---|---|---|---|---|
| I | 0°-90° | + | + | + | + | wszystko dodatnie |
| II | 90°-180° | + | - | - | - | sinus dodatni |
| III | 180°-270° | - | - | + | + | tangens dodatni |
| IV | 270°-360° | - | + | - | - | cosinus dodatni |
Znaki w ćwiartkach są kluczowe przy pytaniach „ile wynosi sin 150°”, „jaki znak ma cos 210°” i „jak sprowadzić kąt do ostrego”.
Podstawowe tożsamości trygonometryczne
Tożsamości trygonometryczne pozwalają zamieniać jedną funkcję na inną i upraszczać wyrażenia. Gdy zadanie wygląda na skomplikowane, często wystarczy użyć jedynki trygonometrycznej albo zapisać tangens jako sinus przez cosinus.
Jedynka trygonometryczna
Tangens
Cotangens
Wersja z tangensem
Wersja z cotangensem
Do szybkich przekształceń użyj kalkulatora tożsamości trygonometrycznych.
Wzory redukcyjne - jak sprowadzać kąty?
Wzory redukcyjne sprowadzają kąt do kąta ostrego, a znak wyniku bierzemy z ćwiartki. Dzięki temu można szybko policzyć np. sin 150°, cos 210° albo tg 315°.
| Wyrażenie | sin | cos | tg | ctg |
|---|---|---|---|---|
| 90° - α | cos α | sin α | ctg α | tg α |
| 90° + α | cos α | -sin α | -ctg α | -tg α |
| 180° - α | sin α | -cos α | -tg α | -ctg α |
| 180° + α | -sin α | -cos α | tg α | ctg α |
| 360° - α | -sin α | cos α | -tg α | -ctg α |
Przykład
cos 150° = cos(180° - 30°) = -cos 30° = -√3/2. Znak minus wynika z II ćwiartki.
Więcej przypadków sprawdzisz w kalkulatorze wzorów redukcyjnych.
Równania trygonometryczne - schematy rozwiązań
Równania trygonometryczne najczęściej zaczynają się od postaci sin x = a, cos x = a, tg x = a albo ctg x = a. Najpierw znajdź kąt podstawowy, a potem dopisz rozwiązania wynikające z okresowości.
| Równanie | Warunek | Schemat rozwiązań ogólnych | Przykład |
|---|---|---|---|
| sin x = a | -1 ≤ a ≤ 1 | x = α + 2kπ lub x = π - α + 2kπ | sin x = 1/2: x = π/6 + 2kπ lub 5π/6 + 2kπ |
| cos x = a | -1 ≤ a ≤ 1 | x = ±α + 2kπ | cos x = 1/2: x = ±π/3 + 2kπ |
| tg x = a | każde a | x = α + kπ | tg x = 1: x = π/4 + kπ |
| ctg x = a | każde a | x = α + kπ | ctg x = 1: x = π/4 + kπ |
Do obliczania rozwiązań w konkretnym przedziale przejdź do kalkulatora równań trygonometrycznych.
Okres funkcji trygonometrycznych
Okres mówi, co ile funkcja powtarza swoje wartości. W zadaniach z wykresami bardzo często trzeba rozpoznać okres funkcji typu sin(kx), cos(kx), tg(kx) albo ctg(kx).
sin x
cos x
tg x
ctg x
Dla sin(kx) i cos(kx)
Dla tg(kx) i ctg(kx)
Jeżeli szukasz konkretnego okresu, skorzystaj z kalkulatora okresu funkcji trygonometrycznej. Ogólne wykresy i funkcje są omówione także w poradniku funkcje trygonometryczne krok po kroku.
Jak dobrać narzędzie do zadania?
| Masz w zadaniu... | Najlepsze miejsce | Dlaczego? |
|---|---|---|
| Boki trójkąta prostokątnego i kąt | Kalkulator trygonometrii w trójkącie | łączy boki z sin, cos, tg i ctg |
| Sam kąt, np. 150° albo 7π/6 | Wartości trygonometryczne | liczy sin, cos, tg i ctg dla kąta |
| Funkcję sin(kx), cos(kx), tg(kx) | Okres funkcji | pokazuje okres i wpływ współczynnika k |
| Równanie sin x = a albo tg x = a | Równania trygonometryczne | podaje rozwiązania ogólne i w przedziale |
| Wyrażenie z sin²x, cos²x, tg x | Tożsamości trygonometryczne | pomaga uprościć zapis |
| Kąt większy niż 90° i redukcję | Wzory redukcyjne | sprowadza kąt do ostrego i ustala znak |
Zadania kontrolne - pokaż wynik
Spróbuj rozwiązać zadania samodzielnie, a potem kliknij przycisk, aby sprawdzić odpowiedź.
Zadanie 1
Oblicz sin 30° i cos 60°.
Zadanie 2
Oblicz tg 45° i ctg 45°.
Zadanie 3
Podaj sin 150°.
Zadanie 4
Podaj cos 120°.
Zadanie 5
Rozwiąż sin x = 1/2 w przedziale <0, 2π>.
Zadanie 6
Jaki jest okres funkcji y = cos(3x)?
Najczęstsze błędy w trygonometrii
- Mylenie trójkąta prostokątnego z okręgiem jednostkowym: dla kątów większych niż 90° trzeba kontrolować znak w ćwiartce.
- Przepisywanie wartości sin 30° i cos 30° odwrotnie.
- Zapominanie, że tangens nie istnieje, gdy cos x = 0.
- Zapominanie, że cotangens nie istnieje, gdy sin x = 0.
- Rozwiązanie równania sin x = a tylko jednym kątem, chociaż w okresie zwykle są dwa rozwiązania.
- Używanie okresu 2π przy tangensie, chociaż tg x ma okres π.
- Pomijanie współczynnika k w funkcji sin(kx), cos(kx), tg(kx) albo ctg(kx).
- Upraszczanie tożsamości bez sprawdzenia, czy mianownik nie może być równy zero.
Ciekawostka: jedna tablica łączy trójkąty, wykresy i równania
Sinus i cosinus zaczynają się w trójkącie prostokątnym, ale na okręgu jednostkowym stają się współrzędnymi punktu. Dzięki temu te same wzory działają przy kątach większych niż 90°, w równaniach trygonometrycznych, funkcjach okresowych, falach i geometrii analitycznej.
Sprawdź także
Wskazówka od KalkulatorXXL
Gdy zadanie dotyczy boków trójkąta, zacznij od rysunku i zaznaczenia kąta. Gdy zadanie dotyczy samego kąta lub równania, przejdź na okrąg jednostkowy: ustal kąt odniesienia, ćwiartkę, znak funkcji i okres. Taki porządek bardzo ogranicza pomyłki przy sin, cos, tg i ctg.
Pełna ścieżka nauki: Akademia funkcji, wykresów i analizy funkcji prowadzi od tej tablicy do kalkulatorów i poradników o wykresach, miejscach zerowych, przekształceniach, granicach, pochodnych i całkach.
Pełna ścieżka geometrii: Akademia geometrii – figury, bryły, trygonometria i zadania prowadzi od tej tablicy do kalkulatorów i poradników o figurach płaskich, trójkątach, okręgach, współrzędnych, trygonometrii i bryłach.
Sprawdź także w pakiecie trygonometrii
Ten temat najlepiej działa jako zestaw: osobno liczysz wartości funkcji, osobno okres, równania, tożsamości i wzory redukcyjne. Dlatego poniżej są najbliższe narzędzia do dalszej nauki i zadań.