Co chcesz policzyć dalej?
Jeżeli w zadaniu nie chodzi już o samo uproszczenie wzoru, przejdź od razu do właściwego kalkulatora.
Jak korzystać z tożsamości trygonometrycznych?
Najczęściej zaczynasz od podstawowego wzoru sin²x + cos²x = 1. Z niego otrzymasz także 1 − sin²x = cos²x oraz 1 − cos²x = sin²x.
Gdy pojawia się tangens albo cotangens, często pomaga zapis tg x = sin x / cos x albo ctg x = cos x / sin x. Trzeba wtedy pamiętać o warunku, że mianownik nie może być równy zero.
Najważniejsze wzory
Przykład krok po kroku
Uprośćmy 1 − sin²x. Zaczynamy od:
- Odejmujemy sin²x od obu stron.
- Otrzymujemy cos²x = 1 − sin²x.
- Po zamianie stron: 1 − sin²x = cos²x.
Dla x = 30° mamy sin 30° = 1/2, więc 1 − sin²30° = 3/4. Z drugiej strony cos²30° = 3/4, więc wynik się zgadza.
Na co uważać?
Najczęstszy błąd to pomijanie warunków. Wzór tg x = sin x / cos x wymaga cos x ≠ 0. Wzór z cotangensem wymaga sin x ≠ 0.
Drugi częsty błąd to odczytywanie sin²x jako sin(x²). Zapis sin²x oznacza (sin x)².
Ciekawostka
Tożsamość sin²x + cos²x = 1 wynika bezpośrednio z równania okręgu jednostkowego. Współrzędne punktu na tym okręgu to cos x i sin x.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Gdy w jednym wyrażeniu występują sin, cos, tg i ctg, często warto najpierw zamienić tg i ctg na ilorazy sinusa i cosinusa. Potem łatwiej zauważyć fragmenty sin²x + cos²x, 1 − sin²x albo 1 − cos²x.
Więcej narzędzi z trygonometrii
FAQ - tożsamości trygonometryczne
Ostatnia aktualizacja: 29.09.2026