Co dalej policzyć w pakiecie pochodnych?
Ten kalkulator liczy pochodną wielomianu, drugą pochodną i styczną w wybranym punkcie. Do pełnej powtórki przejdź dalej do monotoniczności, tablicy wzorów i poradnika krok po kroku.
Do czego służy kalkulator pochodnej funkcji?
W kalkulatorze pochodnej funkcji wpisujesz współczynniki wielomianu, a narzędzie pokazuje pochodną, drugą pochodną, wartość w punkcie i równanie stycznej. To praktyczna pomoc do zadań typu „oblicz pochodną”, „wyznacz f'(2)” albo „napisz równanie stycznej do wykresu funkcji”.
Pochodna opisuje tempo zmiany funkcji. W zadaniach szkolnych łączy się z monotonicznością, ekstremami i wykresem, dlatego warto zestawiać ją z tablicą własności funkcji, tablicą pochodnych, stycznej i ekstremów oraz poradnikiem pochodnych krok po kroku.
Jeśli funkcja zależy od dwóch zmiennych x i y, przejdź do kalkulatora pochodnych cząstkowych. Wyznacza on ∂f/∂x, ∂f/∂y oraz pochodne drugiego rzędu w wybranym punkcie.
Wzór i logika obliczeń
Dla potęgi xⁿ stosujemy podstawową regułę:
Stała znika, bo jej pochodna wynosi 0. Jeśli funkcja ma kilka składników, liczymy pochodną każdego z nich osobno i dodajemy wyniki. Dla f(x)=x³-4x²+3x+2 otrzymujemy f'(x)=3x²-8x+3.
Pochodna
Pokazuje, jak szybko zmienia się funkcja w danym miejscu i jest nachyleniem stycznej do wykresu.
Druga pochodna
Pomaga opisać zmianę nachylenia. W prostych zadaniach wskazuje, czy wykres „wygina się” w górę czy w dół.
Styczna
Równanie stycznej korzysta z wartości funkcji i wartości pochodnej w punkcie x₀.
Przykład obliczeń
Weźmy funkcję f(x)=x³-4x²+3x+2. Pochodna składnika x³ to 3x², pochodna -4x² to -8x, pochodna 3x to 3, a pochodna stałej 2 to 0. Dlatego f'(x)=3x²-8x+3.
Jeśli chcemy policzyć styczną w punkcie x₀=2, najpierw liczymy f(2)=8-16+6+2=0 oraz f'(2)=12-16+3=-1. Współczynnik kierunkowy stycznej wynosi -1, więc styczna ma postać y=-1(x-2)+0, czyli y=-x+2.
Tabela referencyjna pochodnych
| Funkcja | Pochodna | Przykład |
|---|---|---|
| c | 0 | (7)' = 0 |
| x | 1 | (x)' = 1 |
| a·x | a | (5x)' = 5 |
| a·x² | 2a·x | (3x²)' = 6x |
| a·x³ | 3a·x² | (-2x³)' = -6x² |
| a·xⁿ | a·n·xⁿ⁻¹ | (4x⁵)' = 20x⁴ |
Jeśli w zadaniu pojawia się funkcja liniowa, pomocna może być też tablica funkcji liniowej oraz kalkulator miejsca zerowego z dwóch punktów.
Porównanie: funkcja, pochodna i druga pochodna
| Co analizujesz? | Co mówi? | Typowe pytanie z zadania |
|---|---|---|
| f(x) | Wartość funkcji dla danego argumentu. | Ile wynosi f(2)? |
| f'(x) | Nachylenie stycznej i tempo zmiany funkcji. | Ile wynosi f'(2)? |
| f''(x) | Zmiana nachylenia i wypukłość w prostych przykładach. | Czy pochodna rośnie, czy maleje? |
| Równanie stycznej | Prosta dotykająca wykresu w wybranym punkcie. | Wyznacz styczną w punkcie x₀. |
Zadania przykładowe
Oblicz pochodną funkcji f(x)=2x³-5x²+4x-9.
Pokaż prawidłową odpowiedźUkryj odpowiedź
Dla f(x)=x²+3x+1 oblicz f'(2).
Pokaż prawidłową odpowiedźUkryj odpowiedź
Wyznacz styczną do f(x)=x² w punkcie x₀=1.
Pokaż prawidłową odpowiedźUkryj odpowiedź
Oblicz drugą pochodną funkcji f(x)=3x⁴-x²+8.
Pokaż prawidłową odpowiedźUkryj odpowiedź
Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku
- Nie zapominaj, że pochodna stałej wynosi 0. W funkcji f(x)=x²+5 składnik 5 nie przechodzi do pochodnej.
- Przy xⁿ najpierw mnożysz współczynnik przez n, a potem zmniejszasz wykładnik o 1.
- Uważaj na znaki minus, szczególnie przy składnikach typu -4x² albo -7x.
- Równanie stycznej wymaga dwóch wartości: f(x₀) oraz f'(x₀).
- Jeśli wpisujesz funkcję kwadratową, pola przy x³, x⁴ i x⁵ zostaw jako 0.
- Do zadań z wykresami warto wrócić do tablicy odczytywania własności z wykresu, bo pochodna często opisuje to, co widać jako nachylenie.
Ciekawostka: pochodna to „prędkość” funkcji
Jeśli funkcja opisuje drogę w czasie, to jej pochodna opisuje prędkość. Jeśli funkcja opisuje koszt, pochodna może pokazywać, jak szybko koszt rośnie przy zwiększaniu produkcji. Dlatego pochodne pojawiają się nie tylko w matematyce, ale też w fizyce, ekonomii i analizie danych.
Jak czytać wynik z kalkulatora?
Gdy f'(x₀) jest dodatnie
W bardzo bliskim otoczeniu punktu funkcja ma dodatnie nachylenie. Na wykresie styczna idzie w górę, patrząc od lewej do prawej.
Gdy f'(x₀) jest ujemne
Styczna ma ujemne nachylenie. To nie zawsze wystarcza do pełnej monotoniczności, ale dobrze opisuje zachowanie funkcji w tym punkcie.
Jeśli temat funkcji chcesz połączyć z procentem składanym i wzrostem wykładniczym, sprawdź też kalkulator procentu składanego, tablicę procentu składanego i wzrostu wykładniczego oraz poradnik o procencie składanym.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przy zadaniach z pochodnych najpierw przepisz funkcję jako sumę prostych składników. Osobno policz pochodną każdego składnika, a dopiero potem podstaw punkt x₀. Taki układ zmniejsza ryzyko pomyłki przy znakach i wykładnikach.
Ten kalkulator dobrze działa jako pierwszy krok przed większym pakietem analizy matematycznej. Po nim można rozbudować dział o granice, monotoniczność, ekstrema i podstawowe całki, a całość połączyć z kategorią matematyka.
Na poziomie studiów naturalnym rozszerzeniem są pochodne cząstkowe oraz gradient i pochodna kierunkowa dla funkcji wielu zmiennych.
Jeśli pochodna występuje już jako część równania z nieznaną funkcją, przejdź do kalkulatora równań różniczkowych I rzędu. Rozwiązuje typowe równania rozdzielne i liniowe z warunkiem początkowym.
Cały dział funkcji: Akademia funkcji, wykresów i analizy funkcji łączy funkcje liniowe i kwadratowe z wykładniczymi, logarytmicznymi i trygonometrycznymi oraz z granicami, pochodnymi, stycznymi, całkami i polem pod wykresem.
Główny hub matematyki: Akademia matematyki – kalkulatory, tablice i poradniki porządkuje podstawy arytmetyki, algebrę, geometrię, funkcje i analizę, matematykę dyskretną, statystykę oraz prawdopodobieństwo i prowadzi dalej do bardziej szczegółowych Akademii.