Powiązane materiały
Test służy do samodzielnego liczenia. Jeżeli chcesz przypomnieć wzory lub sprawdzić pochodną i styczną krok po kroku, skorzystaj z materiałów poniżej.
Dla nauczyciela: karta pracy lub sprawdzian PDF
Wygeneruj losową kartę pracy z pochodnych do wydruku. Arkusz może zawierać zadania otwarte, test A/B/C/D albo oba typy. Wersje A i B mają porównywalny poziom, ale inne funkcje i liczby.
Uczeń liczy pochodne w punkcie, współczynnik kierunkowy stycznej, drugą pochodną i punkty stacjonarne.
Dystraktory odzwierciedlają typowe błędy: brak mnożenia przez wykładnik, zły znak, pominięcie reguły iloczynu lub niewłaściwe podstawienie punktu.
Obie wersje korzystają z tych samych typów zadań, ale losują inne funkcje, punkty i współczynniki.
Na każdej stronie arkusza ucznia znajduje się miejsce na imię i nazwisko. Generator nie dodaje punktacji — nauczyciel ustala ją samodzielnie.
Najważniejsze reguły różniczkowania
Pochodna opisuje tempo zmiany funkcji. Dla potęgi obowiązuje reguła (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, a pochodna stałej jest równa zero. Przy sumie lub różnicy funkcji różniczkujemy każdy składnik osobno.
Wykładnik przechodzi przed potęgę, a następnie zmniejsza się o 1.
Przy iloczynie dwóch funkcji trzeba uwzględnić pochodną obu czynników.
Różniczkuj funkcję zewnętrzną i pomnóż przez pochodną funkcji wewnętrznej.
Pochodna w punkcie i styczna
Wartość f′(x₀) jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji w punkcie o argumencie x₀. Jeżeli znamy również punkt (x₀, f(x₀)), możemy zapisać równanie stycznej.
W postaci y = mx + b mamy m = f′(x₀), a wyraz wolny można policzyć ze wzoru b = f(x₀) − m·x₀.
Druga pochodna i punkty stacjonarne
Druga pochodna to pochodna funkcji f′. W prostych zadaniach pozwala badać zmianę nachylenia wykresu. Punkt stacjonarny spełnia warunek f′(x) = 0.
Dla funkcji kwadratowej f(x)=ax²+bx+c równanie f′(x)=2ax+b=0 daje jeden argument punktu stacjonarnego: x = −b/(2a).
Typowe błędy
Najczęstszy błąd w regule potęgowej to zmniejszenie wykładnika bez pomnożenia przez jego poprzednią wartość. Przykładowo pochodna x⁴ to 4x³, a nie x³.
Przy iloczynie nie wystarczy pomnożyć pochodnych: poprawny wzór to f′g + fg′. Przy ilorazie trzeba dodatkowo pamiętać o mianowniku podniesionym do kwadratu.
W zadaniach ze styczną nie należy mylić wartości funkcji f(x₀) z wartością pochodnej f′(x₀). Pierwsza daje współrzędną punktu, a druga nachylenie stycznej.
Co obejmuje test?
Poziom łatwy skupia się na regule potęgowej, pochodnych funkcji liniowych i wielomianów oraz prostych wartościach f′(x₀). Poziom średni dodaje styczną, drugą pochodną, sumę funkcji, punkty stacjonarne i regułę iloczynu.
Na poziomie trudnym pojawiają się funkcje złożone, iloraz, trudniejsze iloczyny, równanie stycznej i zadania z parametrem. Poziom mieszany łączy wszystkie typy.
Ostatnia aktualizacja: 18.09.2026