Co policzyć dalej?
Jeśli masz już monotoniczność i ekstrema, możesz przejść do kolejnego kroku albo wrócić do pochodnej.
Kiedy przyda się kalkulator monotoniczności?
W kalkulatorze monotoniczności i ekstremów z pochodnej możesz sprawdzić zadania typu „zbadaj monotoniczność funkcji”, „wyznacz przedziały rośnięcia i malenia” albo „znajdź maksimum i minimum lokalne”. To naturalny kolejny krok po obliczeniu pochodnej w kalkulatorze pochodnej funkcji. Przy powtórce warto mieć obok tablicę pochodnych, stycznej i ekstremów oraz poradnik z przykładami.
Wynik jest szczególnie przydatny przy funkcjach kwadratowych i sześciennych. Gdy pochodna zmienia znak z plusa na minus, pojawia się maksimum lokalne, a gdy z minusa na plus — minimum lokalne.
Wzór i sposób liczenia
Dla funkcji f(x)=ax³+bx²+cx+d pochodna ma postać:
Punkty krytyczne znajdujemy z równania f'(x)=0. Następnie sprawdzamy znak pochodnej na przedziałach oddzielonych tymi punktami.
f'(x)>0
Funkcja rośnie na danym przedziale.
f'(x)<0
Funkcja maleje na danym przedziale.
f'(x)=0
To punkt, który trzeba sprawdzić po obu stronach.
Przykład obliczeń krok po kroku
Weźmy funkcję f(x)=x³-3x²-9x+5. Jej pochodna to f'(x)=3x²-6x-9.
Rozwiązujemy równanie 3x²-6x-9=0. Po podzieleniu przez 3 otrzymujemy x²-2x-3=0, czyli x=-1 lub x=3. Te dwa punkty dzielą oś liczbową na trzy przedziały.
Funkcja rośnie, potem maleje, a potem znowu rośnie. W punkcie x=-1 mamy maksimum lokalne, a w punkcie x=3 minimum lokalne.
Jak czytać znak pochodnej?
Funkcja jest rosnąca na danym przedziale.
Funkcja jest malejąca na danym przedziale.
W punkcie pojawia się maksimum lokalne.
W punkcie pojawia się minimum lokalne.
To punkt stacjonarny bez maksimum i minimum wynikającego ze zmiany kierunku.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
Zbadaj monotoniczność funkcji f(x)=x²-4x+1.
Zadanie 2
Wyznacz ekstrema funkcji f(x)=x³-3x²+2.
Zadanie 3
Sprawdź, gdzie rośnie i maleje funkcja f(x)=-x²+6x-5.
Zadanie 4
Zbadaj funkcję f(x)=2x³-6x pod kątem ekstremów lokalnych.
Pokaż prawidłowe odpowiedzi
1) f'(x)=2x-4, punkt krytyczny x=2, funkcja maleje na (-∞;2) i rośnie na (2;∞), minimum lokalne w x=2. 2) f'(x)=3x²-6x, punkty x=0 i x=2, maksimum lokalne w x=0, minimum lokalne w x=2. 3) f'(x)=-2x+6, funkcja rośnie na (-∞;3), maleje na (3;∞), maksimum lokalne w x=3. 4) f'(x)=6x²-6, punkty x=-1 i x=1, maksimum lokalne w x=-1, minimum lokalne w x=1.
Najczęstsze błędy
- Nie wyznaczaj ekstremów bez sprawdzenia zmiany znaku pochodnej. Samo f'(x)=0 nie wystarcza.
- Przy funkcji kwadratowej pochodna jest liniowa, więc zwykle pojawia się jeden punkt krytyczny.
- Przy funkcji sześciennej pochodna jest kwadratowa, dlatego mogą pojawić się dwa punkty krytyczne, jeden punkt albo brak rzeczywistych miejsc zerowych pochodnej.
- Nie myl wartości x ekstremum z wartością funkcji. Punkt zapisuj jako (x₀, f(x₀)).
- Gdy pochodna nie ma miejsc zerowych, funkcja może rosnąć albo maleć na całej osi liczbowej.
- Ten kalkulator jest przeznaczony dla wielomianów do trzeciego stopnia.
Jak łączyć monotoniczność ze styczną?
Pochodna jako nachylenie
Jeżeli f'(x) jest dodatnia, styczna jest nachylona w górę. Jeżeli f'(x) jest ujemna, styczna opada.
Punkt ekstremum
W typowym maksimum albo minimum lokalnym styczna jest pozioma, bo f'(x₀)=0.
Po tym kalkulatorze możesz otworzyć kalkulator stycznej do wykresu funkcji.
Wskazówka od KalkulatorXXL
W rozwiązaniu zadania najpierw podaj punkty krytyczne, potem przedziały rośnięcia i malenia, a na końcu punkty ekstremów lokalnych. Dzięki temu wynik jest łatwy do sprawdzenia.
Cały dział funkcji: Funkcje, wykresy i analiza funkcji.