Pochodne, styczna i ekstrema - tablica wzorów
Najważniejsze wzory i schematy do zadań z pochodnych: reguły różniczkowania, równanie stycznej, znak pochodnej, monotoniczność, minima i maksima lokalne.
Do czego służy ta tablica?
Ta tablica porządkuje temat pochodnej funkcji w jednym miejscu: jak liczyć pochodne, jak z pochodnej ułożyć równanie stycznej oraz jak badać monotoniczność i ekstrema. Jest przygotowana jako zaplecze do trzech narzędzi: kalkulatora pochodnej funkcji, kalkulatora stycznej do wykresu oraz kalkulatora monotoniczności i ekstremów.
Ta strona zbiera najważniejsze schematy: wzory na pochodne, równanie stycznej, monotoniczność funkcji, ekstrema lokalne i szybkie sprawdzanie znaku pochodnej, bez mieszania ich z całkami lub granicami.
Najważniejsze wzory na pochodne
| Funkcja | Pochodna | Przykład | Wskazówka |
|---|---|---|---|
| c | 0 | (8)' = 0 | Stała nie zmienia się, więc jej pochodna wynosi 0. |
| x | 1 | (x)' = 1 | Podstawowa pochodna funkcji liniowej y=x. |
| a·x | a | (5x)' = 5 | Współczynnik przy x zostaje jako nachylenie. |
| xn | n·xn-1 | (x4)' = 4x3 | Wykładnik schodzi na przód, a potęga zmniejsza się o 1. |
| a·xn | a·n·xn-1 | (3x5)' = 15x4 | Najczęstszy wzór w zadaniach z wielomianów. |
| f(x)+g(x) | f'(x)+g'(x) | (x2+3x)' = 2x+3 | Pochodną sumy liczysz składnik po składniku. |
| f(x)-g(x) | f'(x)-g'(x) | (x3-4x)' = 3x2-4 | Znak minus zostaje między pochodnymi. |
Pochodne najczęstszych funkcji szkolnych
| Typ funkcji | Wzór pochodnej | Przykład | Kiedy używać? |
|---|---|---|---|
| Funkcja liniowa | (ax+b)' = a | (4x-7)' = 4 | Do nachylenia prostej i prostych stycznych. |
| Funkcja kwadratowa | (ax2+bx+c)' = 2ax+b | (2x2-3x+1)' = 4x-3 | Do wierzchołka, monotoniczności i ekstremum paraboli. |
| Wielomian 3 stopnia | (ax3+bx2+cx+d)' = 3ax2+2bx+c | (x3-6x2)' = 3x2-12x | Do przedziałów rośnięcia, malenia i punktów krytycznych. |
| Pierwiastek jako potęga | (√x)' = 1/(2√x) | (√x)' = 1/(2√x) | Gdy zapiszesz pierwiastek jako x1/2. |
| Odwrotność | (1/x)' = -1/x2 | (1/x)' = -1/x2 | Przy funkcjach wymiernych w prostych zadaniach. |
Do szybkiego sprawdzenia wyniku użyj kalkulatora pochodnej funkcji. Tablica ma pomagać zrozumieć, który wzór wybrać i jak kontrolować wynik.
Równanie stycznej do wykresu funkcji
Styczna do wykresu funkcji w punkcie x0 korzysta z wartości funkcji oraz z wartości pochodnej w tym punkcie. Pochodna jest współczynnikiem kierunkowym stycznej.
1. Oblicz f(x0)
Podstaw punkt x0 do funkcji. Otrzymasz punkt styczności na wykresie.
2. Oblicz f'(x0)
Najpierw policz pochodną, potem podstaw x0. To nachylenie stycznej.
3. Podstaw do wzoru
Wstaw x0, f(x0) i f'(x0) do wzoru stycznej.
Jeżeli zadanie brzmi „wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji”, użyj kalkulatora stycznej do wykresu funkcji i porównaj wynik z powyższym schematem.
Monotoniczność i ekstrema z pochodnej
| Sytuacja | Wniosek | Jak zapisać w zadaniu? |
|---|---|---|
| f'(x) > 0 w przedziale | Funkcja rośnie. | Funkcja jest rosnąca w tym przedziale. |
| f'(x) < 0 w przedziale | Funkcja maleje. | Funkcja jest malejąca w tym przedziale. |
| f'(x) = 0 | Możliwy punkt krytyczny. | Trzeba sprawdzić znak pochodnej po obu stronach. |
| f' zmienia znak z + na - | Maksimum lokalne. | W punkcie występuje lokalne maksimum funkcji. |
| f' zmienia znak z - na + | Minimum lokalne. | W punkcie występuje lokalne minimum funkcji. |
| f' nie zmienia znaku | Brak ekstremum lokalnego. | Punkt może być stacjonarny, ale nie jest ekstremum. |
Schemat badania funkcji z pochodnej
Krok 1
Policz pochodną f'(x). Dla wielomianu licz każdy składnik osobno.
Krok 2
Rozwiąż równanie f'(x)=0. Otrzymasz kandydatów na punkty krytyczne.
Krok 3
Sprawdź znak pochodnej w przedziałach wyznaczonych przez punkty krytyczne.
Krok 4
Zapisz przedziały rośnięcia, malenia oraz minima i maksima lokalne.
Ten schemat jest dokładnie tym, czego używa kalkulator monotoniczności funkcji. Przy odczytywaniu gotowego wykresu pomocna jest też tablica odczytywania własności z wykresu funkcji.
Przykład: pochodna i styczna krok po kroku
Weźmy funkcję f(x)=x2+2x. Chcemy wyznaczyć styczną w punkcie x0=1.
Liczymy wartość funkcji: f(1)=1+2=3. Liczymy wartość pochodnej: f'(1)=2·1+2=4. Wstawiamy do wzoru stycznej:
Odpowiedź: styczna do wykresu funkcji w punkcie x0=1 ma równanie y=4x-1.
Przykład: monotoniczność i ekstremum
Dana jest funkcja f(x)=x2-4x+1. Liczymy pochodną:
Rozwiązujemy f'(x)=0, więc 2x-4=0, czyli x=2. Dla x<2 pochodna jest ujemna, a dla x>2 pochodna jest dodatnia. Funkcja najpierw maleje, potem rośnie, więc w x=2 ma minimum lokalne.
Minimum lokalne ma punkt (2, -3).
Zadania z odpowiedziami
Zadanie 1
Oblicz pochodną funkcji f(x)=3x3-2x2+5x-7.
Pokaż odpowiedź
f'(x)=9x2-4x+5.
Zadanie 2
Wyznacz styczną do f(x)=x2 w punkcie x0=2.
Pokaż odpowiedź
f(2)=4, f'(2)=4, więc y=4(x-2)+4, czyli y=4x-4.
Zadanie 3
Dla f(x)=x2-6x+8 znajdź punkt minimum.
Pokaż odpowiedź
f'(x)=2x-6, więc x=3. f(3)=9-18+8=-1. Minimum lokalne: (3, -1).
Zadanie 4
Jeśli f'(x)>0 w przedziale (1,5), co możesz powiedzieć o funkcji?
Pokaż odpowiedź
Funkcja jest rosnąca w przedziale (1,5).
Ciekawostka: pochodna to lokalne nachylenie wykresu
Pochodna nie mówi tylko o wzorze. W sensie geometrycznym f'(x0) to nachylenie stycznej do wykresu w punkcie x0. Gdy pochodna jest dodatnia, wykres idzie w górę. Gdy jest ujemna, wykres idzie w dół. Dlatego jeden wynik f'(x) łączy trzy szkolne tematy: pochodną, styczną i monotoniczność.
Najczęstsze błędy w zadaniach z pochodnych
- Zapominanie, że pochodna stałej wynosi 0, na przykład (7)'=0.
- Podstawianie punktu x0 przed policzeniem pochodnej, zamiast najpierw wyznaczyć f'(x).
- Mylenie f(x0) z f'(x0) w równaniu stycznej.
- Uznawanie każdego punktu f'(x)=0 za ekstremum bez sprawdzenia zmiany znaku pochodnej.
- Zmienianie znaku nierówności przy badaniu przedziałów bez powodu.
- Zapisywanie przedziałów rośnięcia i malenia bez wykluczenia punktów, w których pochodna się zeruje albo nie istnieje.
Unikatowa sekcja: jak dobrać narzędzie do zadania?
Masz tylko policzyć f'(x)
Użyj kalkulatora pochodnej i sprawdź tabelę wzorów. Najważniejsza jest reguła dla potęgi xn.
Masz styczną w punkcie
Potrzebujesz dwóch wartości: f(x0) i f'(x0). Potem podstawiasz je do wzoru prostej stycznej.
Masz monotoniczność
Nie wystarczy sama pochodna. Trzeba znaleźć miejsca zerowe pochodnej i sprawdzić jej znak w przedziałach.
Wskazówka od KalkulatorXXL
W zadaniach z pochodnych nie zaczynaj od samego rysunku wykresu. Najpierw zapisz pochodną, potem podstaw punkt albo sprawdź znak pochodnej. Taka kolejność zmniejsza liczbę błędów przy stycznych, ekstremach i przedziałach monotoniczności.
Powiązane narzędzia do pochodnych
Ta tablica zbiera wzory i schematy. Do obliczeń przejdź do kalkulatorów, a do pełnego wyjaśnienia - do poradnika z przykładami.
FAQ - pochodne, styczna i ekstrema
Jak obliczyć pochodną funkcji krok po kroku?
Najpierw rozbij funkcję na składniki, potem do każdego użyj właściwego wzoru. Dla a·x^n pochodna to a·n·x^(n-1).
Jaki jest wzór na równanie stycznej do wykresu?
Najczęściej używa się wzoru y = f'(x0)(x - x0) + f(x0). Trzeba znać wartość funkcji i pochodnej w punkcie x0.
Kiedy funkcja jest rosnąca według pochodnej?
Funkcja jest rosnąca w przedziale, w którym jej pochodna jest dodatnia, czyli f'(x) > 0.
Kiedy funkcja jest malejąca według pochodnej?
Funkcja jest malejąca w przedziale, w którym jej pochodna jest ujemna, czyli f'(x) < 0.
Jak rozpoznać maksimum lokalne z pochodnej?
Maksimum lokalne pojawia się zwykle tam, gdzie pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny.
Jak rozpoznać minimum lokalne z pochodnej?
Minimum lokalne pojawia się zwykle tam, gdzie pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni.
Czy każde f'(x)=0 oznacza ekstremum?
Nie. Po znalezieniu f'(x)=0 trzeba sprawdzić zmianę znaku pochodnej po lewej i prawej stronie punktu.
Co oznacza pochodna w punkcie?
Pochodna w punkcie oznacza nachylenie stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie oraz lokalne tempo zmiany funkcji.
Czy ta tablica obejmuje całki?
Nie. Ta tablica dotyczy pakietu pochodnych: pochodnej funkcji, stycznej, monotoniczności i ekstremów.