Jak odczytywać własności funkcji z wykresu?
Odczytywanie wykresu funkcji polega na oddzieleniu informacji z osi X i osi Y. Z osi X odczytujesz argumenty, dziedzinę, miejsca zerowe, przedziały dodatniości, ujemności i monotoniczności. Z osi Y odczytujesz wartości funkcji, zbiór wartości, minimum i maksimum. To ważne przy poleceniach typu „podaj dziedzinę z wykresu”, „odczytaj f(2)”, „dla jakich x funkcja jest dodatnia” albo „gdzie funkcja rośnie”.
Jeśli chcesz powtórzyć definicje, przejdź do tablicy funkcje: dziedzina, zbiór wartości i wykresy. Przy przesuwaniu wykresów pomocna będzie tablica przekształcenia wykresów funkcji.
Kolejność odczytywania wykresu
| Krok | Własność | Gdzie patrzeć? | Co zapisać? |
|---|---|---|---|
| 1 | dziedzina | zakres wykresu na osi X | przedział albo suma przedziałów x |
| 2 | zbiór wartości | zakres wykresu na osi Y | przedział albo zestaw wartości y |
| 3 | miejsca zerowe | przecięcia z osią X | same argumenty x |
| 4 | wartość f(a) | punkt wykresu nad argumentem a | wysokość y |
| 5 | znak funkcji | położenie nad lub pod osią X | przedziały dodatnie i ujemne |
| 6 | monotoniczność | czy wykres idzie w górę lub w dół | przedziały rosnąca/malejąca/stała |
| 7 | minimum i maksimum | najniższe i najwyższe punkty | wartości oraz argumenty, jeśli są wymagane |
Dziedzina z wykresu
Dziedzina to wszystkie argumenty, dla których funkcja ma wartość. Na wykresie patrzymy, gdzie rysunek istnieje względem osi X. Jeżeli wykres zaczyna się przy x=-3 i kończy przy x=5, dziedzina może być [-3,5], ale trzeba sprawdzić, czy końce są włączone.
Punkt zamalowany
Koniec należy do dziedziny, więc używamy nawiasu kwadratowego, np. [-2,4].
Punkt pusty
Koniec nie należy do dziedziny, więc używamy nawiasu okrągłego, np. [-2,4).
Zbiór wartości z wykresu
Zbiór wartości to wszystkie wysokości, jakie osiąga wykres. Nie patrzymy tu na lewo i prawo, tylko na najniższy i najwyższy poziom wykresu na osi Y.
| Sytuacja na wykresie | Zapis zbioru wartości | Uwaga |
|---|---|---|
| wykres od y=-3 do y=5, końce pełne | [-3,5] | obie wartości są osiągnięte |
| wykres zbliża się do y=0, ale go nie osiąga | (0,∞) albo (-∞,0) | zależy od położenia wykresu |
| funkcja stała y=4 | {4} | zbiór wartości ma jedną liczbę |
| parabola ma minimum -2 | [-2,∞) | dla ramion w górę |
| parabola ma maksimum 7 | (-∞,7] | dla ramion w dół |
Miejsca zerowe, f(0) i przecięcia z osiami
Miejsce zerowe
Odczytaj x w punkcie, gdzie wykres przecina oś X. Zapisz sam argument, np. x=3.
Przecięcie z osią X
Jako punkt zapiszesz (3,0), ale miejsce zerowe to sama liczba 3.
Przecięcie z osią Y
Odczytaj punkt dla x=0. Jeśli wykres przechodzi przez (0,-2), to f(0)=-2.
Znaki funkcji z wykresu
Znak funkcji zależy od tego, czy wykres leży nad osią X, na osi X czy pod osią X. Odczyt zapisujemy jako przedziały argumentów, czyli wartości x.
| Położenie wykresu | Znak funkcji | Zapis | Jak czytać? |
|---|---|---|---|
| nad osią X | dodatnia | f(x)>0 | podaj przedziały x |
| na osi X | równa zero | f(x)=0 | miejsca zerowe |
| pod osią X | ujemna | f(x)<0 | podaj przedziały x |
Monotoniczność z wykresu
Monotoniczność odczytujemy, idąc po wykresie od lewej do prawej. Jeśli wykres idzie w górę, funkcja rośnie. Jeśli idzie w dół, funkcja maleje. Jeśli biegnie poziomo, funkcja jest stała.
| Wykres idąc w prawo | Funkcja | Zapis w odpowiedzi |
|---|---|---|
| idzie w górę | rośnie | rośnie na przedziale argumentów |
| idzie w dół | maleje | maleje na przedziale argumentów |
| jest poziomy | jest stała | stała na przedziale argumentów |
| zmienia kierunek | trzeba podzielić wykres | podaj kilka przedziałów |
Przy funkcji liniowej monotoniczność zależy od współczynnika kierunkowego, co znajdziesz w tablicy funkcja liniowa: wzory, wykres i miejsce zerowe. Przy parabolach sprawdź tablicę funkcji kwadratowej.
Minimum, maksimum i argument ekstremum
Minimum to najniższa wartość osiągnięta przez funkcję, a maksimum to najwyższa wartość. Jeśli najniższy punkt to (2,-5), minimum funkcji wynosi -5 i jest przyjmowane dla x=2. Wartość ekstremum i argument ekstremum to nie to samo.
Minimum
Najniższa osiągnięta wartość y. Przy punkcie pustym wartość nie jest osiągana.
Maksimum
Najwyższa osiągnięta wartość y. Często występuje w wierzchołku paraboli ramionami w dół.
Argumenty i wartości funkcji
Zapis f(a) oznacza wartość funkcji dla argumentu a. Na wykresie najpierw znajdujesz liczbę a na osi X, idziesz pionowo do wykresu, a potem odczytujesz wysokość na osi Y. Odwrotne pytanie, „dla jakich x funkcja przyjmuje wartość b”, rozwiązujesz poziomo.
| Pytanie | Jak czytać? | Przykładowa odpowiedź |
|---|---|---|
| ile wynosi f(2)? | z x=2 idź do wykresu i odczytaj y | f(2)=5 |
| dla jakich x f(x)=0? | szukaj przecięć z osią X | x=-1 i x=4 |
| dla jakich x f(x)=3? | szukaj przecięć z prostą y=3 | x=0, x=6 |
| dla jakich x f(x)>0? | patrz, gdzie wykres jest nad osią X | przedziały argumentów |
Symetria, parzystość i asymptoty
Niektóre wykresy mają symetrię albo asymptoty. Funkcja parzysta jest symetryczna względem osi Y, a nieparzysta względem początku układu. Asymptota to prosta, do której wykres się zbliża, ale której zwykle nie przecina.
| Cecha | Jak wygląda? | Przykład |
|---|---|---|
| funkcja parzysta | symetria względem osi Y | x², |x|, cos x |
| funkcja nieparzysta | symetria względem początku układu | x³, sin x, tg x |
| asymptota pionowa | wykres zbliża się do prostej x=a | funkcja wymierna, logarytm |
| asymptota pozioma | wykres zbliża się do prostej y=b | funkcja wykładnicza, wymierna |
Przy wykresach sinusa, cosinusa, tangensa i logarytmu pomocna jest tablica funkcje wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne.
Zadania przykładowe
Zadanie 1
Wykres istnieje od x=-4 do x=3, przy -4 punkt jest pełny, a przy 3 pusty. Podaj dziedzinę.
Dziedzina to [-4,3).
Zadanie 2
Najniższy punkt wykresu to (1,-2), a wykres rośnie bez ograniczenia. Podaj zbiór wartości.
Zbiór wartości to [-2,∞).
Zadanie 3
Wykres przecina oś X w punktach (-2,0), (0,0) i (5,0). Podaj miejsca zerowe.
Miejsca zerowe to x=-2, x=0, x=5.
Zadanie 4
Wykres idzie w dół na (-∞,2), a potem w górę na (2,∞). Podaj monotoniczność.
Funkcja maleje na (-∞,2) i rośnie na (2,∞).
Najczęstsze błędy przy odczycie wykresu
- Mylenie dziedziny ze zbiorem wartości.
- Zapisywanie monotoniczności jako przedziałów y zamiast przedziałów x.
- Podawanie miejsc zerowych jako punktów, gdy pytanie dotyczy argumentów.
- Nieuwzględnianie pustych i zamalowanych punktów na końcach wykresu.
- Odczytywanie f(2) z osi X zamiast z wysokości wykresu.
- Pomijanie przerw w wykresie i zapisywanie jednej ciągłej dziedziny.
- Mylenie wartości minimum z argumentem, dla którego minimum występuje.
Ciekawostka: z jednego wykresu można odczytać prawie całe zadanie
Dobrze opisany wykres funkcji zawiera więcej informacji niż sam wzór w pierwszym spojrzeniu. Od razu widać, gdzie funkcja istnieje, gdzie jest dodatnia, gdzie rośnie, gdzie ma minimum oraz czy ma symetrię.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przy każdym wykresie zaznacz sobie dwa pytania: „co odczytuję z osi X?” i „co odczytuję z osi Y?”. Dziedzina, miejsca zerowe, znaki i monotoniczność to przede wszystkim oś X. Zbiór wartości, minimum i maksimum to przede wszystkim oś Y.