Co zrobić po obliczeniu pochodnych cząstkowych?
Wartości ∂f/∂x i ∂f/∂y opisują lokalne tempo zmian funkcji w kierunkach osi x i y. Z tych dwóch pochodnych buduje się później gradient funkcji, a pochodne drugiego rzędu wykorzystuje się m.in. przy badaniu ekstremów funkcji wielu zmiennych.
Ten kalkulator skupia się na samym poprawnym różniczkowaniu i wartości pochodnych. Interpretację gradientu i pochodnej kierunkowej możesz przejść od razu w kalkulatorze gradientu i pochodnej kierunkowej.
Jeśli chcesz najpierw powtórzyć różniczkowanie funkcji jednej zmiennej, przejdź do kalkulatora pochodnej funkcji, tablicy pochodnych albo poradnika krok po kroku.
Jak liczyć pochodną cząstkową?
Aby obliczyć pochodną cząstkową względem x, wszystkie pozostałe zmienne traktujesz jak stałe. Przy różniczkowaniu względem y robisz odwrotnie: x jest wtedy stałą.
Po wyznaczeniu wzoru możesz podstawić konkretny punkt (x₀, y₀), aby otrzymać liczbową wartość pochodnej.
Pochodne drugiego rzędu i pochodne mieszane
Pochodną fxx otrzymujesz, różniczkując ∂f/∂x ponownie względem x. Analogicznie fyy powstaje przez dwukrotne różniczkowanie względem y. Pochodne mieszane fxy i fyx wynikają z różniczkowania kolejno względem obu zmiennych.
Dla gładkich funkcji użytych w tym kalkulatorze, w punktach należących do ich dziedziny, pochodne mieszane są równe: fxy = fyx.
Dziedzina ma znaczenie przed różniczkowaniem
Wielomiany, funkcje wykładnicze oraz sinus i cosinus są gładkie dla wszystkich rzeczywistych x i y. Dla logarytmu trzeba mieć px + qy + r > 0, a dla funkcji wymiernej mianownik nie może być zerem.
Dla funkcji pierwiastkowej kalkulator wymaga dodatniego argumentu, gdy liczone są pochodne pierwszego i drugiego rzędu. W punkcie, w którym argument pierwiastka jest równy zero, standardowy wzór pochodnej może nie istnieć.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przy ręcznym liczeniu zapisz nad działaniem, względem której zmiennej różniczkujesz. To prosty sposób, żeby nie potraktować przez pomyłkę drugiej zmiennej jak zmiennej aktywnej zamiast stałej.
Najczęstsze błędy
- Różniczkowanie obu zmiennych jednocześnie zamiast traktowania jednej z nich jak stałej.
- Pominięcie reguły łańcuchowej w e^(px+qy+r), ln(px+qy+r), sin(px+qy+r) lub cos(px+qy+r).
- Brak kontroli dziedziny przy logarytmie, pierwiastku albo mianowniku.
- Pomylenie fxy z iloczynem fx·fy - pochodna mieszana jest kolejnym różniczkowaniem.
- Podstawianie punktu zbyt wcześnie, zanim zostanie poprawnie wyznaczony wzór pochodnej.
Dla studenta: jak sprawdzić wynik?
Dla wielomianu warto policzyć pochodne ręcznie i porównać każdy składnik osobno. Przy funkcjach złożonych sprawdź dodatkowo czynnik pochodzący z reguły łańcuchowej, np. p przy różniczkowaniu px + qy + r względem x.
Dla gładkiej funkcji możesz również sprawdzić, czy fxy i fyx są równe. Nierówność tych wyników w typowym zadaniu jest często sygnałem błędu rachunkowego.
Powiązane materiały z analizy matematycznej
FAQ - pochodne cząstkowe
Aktualizacja: 21.09.2026