Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty. Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty.
Przejdź do treści

Gradient i pochodna kierunkowa - kalkulator krok po kroku

Oblicz gradient ∇f, jego długość oraz pochodną kierunkową funkcji dwóch zmiennych w punkcie. Podaj kierunek, a kalkulator znormalizuje wektor i pokaże pełne obliczenia.

Funkcja, punkt i kierunek

Kierunek może mieć dowolną niezerową długość - kalkulator sam zamieni go na wektor jednostkowy.
analiza wielu zmiennych
Wektor kierunku v = (u; v)
Wielomian jest różniczkowalny dla wszystkich rzeczywistych x i y.

Wynik

Gradient ∇f w punkcie
(10; 19)
|∇f|
21,4709
Dₑf
21,2
Pochodna kierunkowa jest dodatnia, więc w podanym kierunku funkcja lokalnie rośnie.
Wektor jednostkowy kierunku
e = (0,6; 0,8)
Wzór na gradient
∂f/∂x = 2x + 2y + 4; ∂f/∂y = 2x + 6y + 5
Kierunek najszybszego wzrostu
∇f/|∇f| = (0,4657; 0,8849), a maksymalna pochodna kierunkowa wynosi |∇f|.
Rozwiązanie krok po kroku

    Gradient i pochodna kierunkowa - co oznacza wynik?

    Gradient ∇f składa się z pochodnych cząstkowych i wskazuje kierunek najszybszego lokalnego wzrostu funkcji. Jego długość jest największą możliwą wartością pochodnej kierunkowej w danym punkcie.

    Pochodna kierunkowa w kierunku wektora v jest liczona względem wektora jednostkowego e = v/|v|. Dlatego kierunki (3,4) i (6,8) dają tę samą pochodną kierunkową.

    Jeśli potrzebujesz najpierw samych ∂f/∂x i ∂f/∂y, użyj kalkulatora pochodnych cząstkowych. Podstawowe reguły różniczkowania znajdziesz też w tablicy pochodnych.

    Wzory

    ∇f(x,y) = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
    e = v/|v|,   Def = ∇f · e

    Kalkulator najpierw normalizuje kierunek, a dopiero potem wykonuje iloczyn skalarny. To ważne: bez normalizacji wynik zależałby od długości podanego wektora, a nie tylko od kierunku.

    Jak interpretować znak pochodnej kierunkowej?

    • Def > 0 - funkcja lokalnie rośnie w podanym kierunku.
    • Def < 0 - funkcja lokalnie maleje w podanym kierunku.
    • Def = 0 - w pierwszym przybliżeniu nie ma zmiany w tym kierunku.
    • |Def| ≤ |∇f| - wartość bezwzględna pochodnej kierunkowej nie może przekroczyć długości gradientu.

    Kierunek najszybszego wzrostu i spadku

    Jeżeli gradient jest niezerowy, kierunek ∇f/|∇f| daje największą pochodną kierunkową równą |∇f|. Kierunek przeciwny daje najmniejszą wartość równą -|∇f|.

    Gdy ∇f = (0,0), wszystkie pochodne kierunkowe są równe zero. Taki punkt jest kandydatem na punkt stacjonarny, ale do rozstrzygnięcia maksimum, minimum lub punktu siodłowego potrzebne są dalsze informacje, np. pochodne drugiego rzędu.

    Wskazówka od KalkulatorXXL

    W zadaniu zawsze sprawdź, czy wektor kierunku jest jednostkowy. Jeśli nie jest, najpierw go podziel przez jego długość. To jeden z najczęstszych błędów przy liczeniu pochodnej kierunkowej.

    Najczęstsze błędy

    • Liczenie iloczynu ∇f·v bez wcześniejszej normalizacji niejednostkowego wektora v.
    • Podstawianie punktu przed wyznaczeniem poprawnych wzorów na pochodne cząstkowe.
    • Mylenie długości gradientu z pochodną kierunkową w dowolnym kierunku.
    • Używanie wektora (0,0) jako kierunku - taki wektor nie określa kierunku.
    • Pomijanie dziedziny funkcji przed różniczkowaniem.

    Powiązane materiały

    Pochodne cząstkowe
    Wyznacz ∂f/∂x, ∂f/∂y oraz pochodne drugiego rzędu.
    Pochodna funkcji
    Powtórz reguły różniczkowania funkcji jednej zmiennej.
    Jak liczyć pochodne?
    Reguły pochodnych, styczna i ekstrema krok po kroku.
    Funkcje i analiza
    Przejdź przez granice, pochodne, całki i analizę funkcji.

    FAQ - gradient i pochodna kierunkowa

    Gradient funkcji dwóch zmiennych to wektor złożony z pochodnych cząstkowych: ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Wskazuje kierunek najszybszego lokalnego wzrostu funkcji.

    Najpierw zamień podany wektor kierunku na wektor jednostkowy e. Następnie policz iloczyn skalarny gradientu i e: D_e f = ∇f · e.

    Do wzoru na pochodną kierunkową używa się wektora jednostkowego. Kalkulator może przyjąć dowolny niezerowy wektor i automatycznie go normalizuje.

    Dodatni wynik oznacza, że funkcja lokalnie rośnie w podanym kierunku. Ujemny wynik oznacza lokalny spadek, a zero brak zmiany pierwszego rzędu w tym kierunku.

    Długość gradientu |∇f| jest największą możliwą wartością pochodnej kierunkowej w danym punkcie. Osiąga się ją w kierunku gradientu.

    Jeśli ∇f = (0,0), wszystkie pochodne kierunkowe są równe zero. Punkt jest wtedy punktem stacjonarnym, ale do jego klasyfikacji potrzebna jest dalsza analiza.

    Nie. To ten sam kierunek, ponieważ po normalizacji oba wektory dają ten sam wektor jednostkowy. Pochodna kierunkowa zależy od kierunku, a nie od długości wektora.

    Gradient można liczyć tylko w punkcie, w którym odpowiednie pochodne istnieją. Logarytm wymaga dodatniego argumentu, mianownik nie może być zerem, a dla pierwiastka punkt graniczny może nie być różniczkowalny.

    Aktualizacja: 21.09.2026

    Popularne w tej kategorii

    Kalkulator przekształcania wzorów krok po krokuPopularne
    Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
    Kalkulator liczb rzymskichPopularne
    Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
    Kalkulator wspólnego mianownika ułamków
    Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
    Kalkulator działań pisemnych
    Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.