Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty. Pamiętaj: Wyniki kalkulatorów mają charakter informacyjny i zależą od podanych danych oraz przyjętych założeń. W sprawach finansowych, podatkowych, prawnych lub zdrowotnych zweryfikuj wynik w aktualnym źródle lub u odpowiedniego specjalisty.
Przejdź do treści

Równania różniczkowe I rzędu - kalkulator krok po kroku

Rozwiąż typowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu z warunkiem początkowym. Kalkulator pokaże metodę, rozwiązanie ogólne, stałą całkowania i wartość rozwiązania w wybranym punkcie.

Wybierz typ równania

Kalkulator obsługuje najczęstsze równania rozdzielne i liniowe o stałych współczynnikach.
analiza matematyczna
Warunek początkowy y(x₀) = y₀
Równanie y' = k·y ma rozwiązanie określone dla wszystkich rzeczywistych x.

Wynik

Metoda
rozdzielenie zmiennych
Rozwiązanie szczególne
y = 2·e^(0,5x)
Wartość w wybranym punkcie
y(2) ≈ 5,4366
Warunek początkowy wyznacza jedno rozwiązanie przechodzące przez punkt (0; 2).
Rozwiązanie ogólne
y = C·e^(0,5x)
Stała całkowania
C = 2
Sprawdzenie równania
Po zróżniczkowaniu otrzymujemy y' = 0,5y, więc rozwiązanie spełnia równanie.
Obliczenia krok po kroku
Rozdzielamy zmienne, całkujemy obie strony i korzystamy z warunku początkowego.

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu - co liczy kalkulator?

Równanie różniczkowe wiąże nieznaną funkcję z jej pochodną. W równaniu pierwszego rzędu najwyższą występującą pochodną jest y'. Samo rozwiązanie ogólne zawiera zwykle stałą C, a warunek początkowy y(x₀)=y₀ pozwala wybrać jedno rozwiązanie szczególne.

Jeśli chcesz powtórzyć znaczenie pochodnej, przejdź do kalkulatora pochodnej funkcji. Przy równaniach rozwiązywanych przez całkowanie pomocny jest też kalkulator całki nieoznaczonej.

Równania rozdzielne

Jeżeli równanie można zapisać w postaci, w której wszystkie wyrażenia z y są po jednej stronie, a z x po drugiej, można rozdzielić zmienne i całkować.

y' = k·y   ⇒   dy/y = k·dx   ⇒   y = C·e^(kx)
y' = k·x·y   ⇒   dy/y = kx·dx   ⇒   y = C·e^(kx²/2)

W kalkulatorze dostępne są również proste równania typu y'=a·xⁿ oraz y'=k/y.

Równania liniowe pierwszego rzędu

Równanie liniowe ma postać y' + p(x)y = q(x). Dla stałego p stosuje się czynnik całkujący μ(x)=e^(px).

(e^(px)·y)' = e^(px)·q(x)

Kalkulator obsługuje prawą stronę stałą q oraz wykładniczą q·e^(rx), w tym przypadek rezonansowy p+r=0.

Dlaczego warunek początkowy jest ważny?

Rozwiązanie ogólne opisuje całą rodzinę funkcji. Warunek y(x₀)=y₀ wskazuje jedną krzywą z tej rodziny. Kalkulator wyznacza stałą C, zapisuje rozwiązanie szczególne i oblicza jego wartość w podanym punkcie.

Dla modelu y'=k·y otrzymujesz klasyczny wzrost lub zanik wykładniczy. Zastosowania takiego modelu możesz porównać z kalkulatorem wzrostu i spadku wykładniczego.

Wskazówka od KalkulatorXXL

Po otrzymaniu rozwiązania zróżniczkuj je i podstaw do pierwotnego równania. To najpewniejsza kontrola. Osobno sprawdź warunek początkowy - oba testy muszą być spełnione.

Najczęstsze błędy

  • Pomijanie stałej całkowania C w rozwiązaniu ogólnym.
  • Wyznaczanie C przed poprawnym scałkowaniem równania.
  • Dzielenie przez y bez zauważenia, że mogłoby to zgubić rozwiązanie y=0 w równaniu y'=k·y.
  • Mylenie rozwiązania ogólnego z rozwiązaniem spełniającym konkretny warunek początkowy.
  • W równaniu liniowym użycie złego znaku w czynniku całkującym e^(∫p dx).
  • Brak kontroli dziedziny, np. w równaniu y'=k/y.

Powiązane materiały

Pochodna funkcji
Sprawdź reguły różniczkowania potrzebne do weryfikacji rozwiązania.
Całka nieoznaczona
Powtórz funkcję pierwotną i stałą całkowania C.
Wzrost i spadek wykładniczy
Zobacz zastosowanie równania y'=k·y w modelach wzrostu i zaniku.
Funkcje i analiza
Połącz pochodne, całki, granice i równania różniczkowe w jedną ścieżkę nauki.

FAQ - równania różniczkowe pierwszego rzędu

To równanie, w którym niewiadomą jest funkcja, a najwyższą występującą pochodną jest pochodna pierwszego rzędu y".

Rozwiązanie ogólne zawiera stałą całkowania C i opisuje rodzinę funkcji spełniających równanie różniczkowe.

Warunek początkowy pozwala wyznaczyć stałą C i wybrać jedno rozwiązanie szczególne z całej rodziny rozwiązań.

Gdy równanie da się przekształcić tak, aby wyrażenia zależne od y i dy znalazły się po jednej stronie, a zależne od x i dx po drugiej.

Dla stałego p używa się czynnika całkującego e^(px). Po pomnożeniu równania lewa strona staje się pochodną iloczynu e^(px)·y.

W tym kalkulatorze jest to sytuacja p+r=0. Standardowy współczynnik q/(p+r) nie istnieje i rozwiązanie ma wtedy postać e^(-px)·(qx+C).

Należy zróżniczkować otrzymaną funkcję i podstawić y oraz y" do równania. Dla zadania początkowego trzeba także sprawdzić y(x0)=y0.

Prawa strona k/y nie jest określona dla y=0. Rozwiązanie szczególne może więc istnieć tylko na przedziale, na którym y nie przechodzi przez zero.

Aktualizacja: 21.09.2026

Popularne w tej kategorii

Kalkulator równania kwadratowegoPopularne
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator układu równańPopularne
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator równań z nawiasami
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.
Kalkulator przekształcania wzorów krok po kroku
Wpisz dane i zobacz wynik natychmiast.