Na czym polega całka nieoznaczona?
W zadaniu z całką nieoznaczoną znasz funkcję f(x) i szukasz takiej funkcji F(x), której pochodna jest równa f(x). Matematycznie zapisujemy to jako F'(x)=f(x). Całkowanie jest więc szukaniem funkcji pierwotnej.
Symbol C jest konieczny, ponieważ pochodna każdej stałej wynosi 0. Na przykład funkcje x², x²+5 i x²-100 mają tę samą pochodną 2x. Dlatego całka z 2x nie jest jedną funkcją, lecz całą rodziną funkcji x²+C.
Dla wielomianu problem rozwiązujemy składnik po składniku. Przy potędze xⁿ zwiększamy wykładnik o 1 i dzielimy współczynnik przez nowy wykładnik. Wyjątek n=-1 nie występuje w tym kalkulatorze, bo jego pola obejmują tylko nieujemne potęgi x.
Rozpisanie całki składnik po składniku
Każdy niezerowy składnik wpisanego wielomianu jest całkowany osobno. Ta tabela aktualizuje się razem z kalkulatorem.
| Składnik f(x) | Zastosowana reguła | Składnik funkcji pierwotnej |
|---|---|---|
| — | ||
Dla ucznia - jak obliczyć całkę nieoznaczoną krok po kroku?
Załóżmy, że masz obliczyć ∫(3x²-4x+5)dx. Najbezpieczniej wykonać zadanie w sześciu krokach.
Całkujemy osobno 3x², -4x i 5.
Wykładnik 2 zwiększa się do 3, a współczynnik 3 dzielimy przez 3: ∫3x²dx=x³.
x=x¹, więc nowy wykładnik to 2: ∫-4x dx=-4·x²/2=-2x².
Całka ze stałej a wynosi ax, dlatego ∫5dx=5x.
F(x)=x³-2x²+5x+C.
(x³-2x²+5x+C)'=3x²-4x+5, więc wracamy do funkcji podcałkowej.
W zeszycie warto zapisać przynajmniej zastosowaną regułę, wynik dla każdego składnika i końcowe +C. Dzięki temu widać tok rozwiązania, a nie tylko odpowiedź.
Całka ze stałej, z x i z 4x - szybkie przykłady
| Pytanie | Obliczenie | Wynik |
|---|---|---|
| Ile wynosi całka z liczby 5? | ∫5dx | 5x+C |
| Ile wynosi całka z x? | ∫x dx = x²/2 | x²/2+C |
| Ile wynosi całka z 4x? | ∫4x dx = 4·x²/2 | 2x²+C |
| Ile wynosi całka z 2x? | ∫2x dx = 2·x²/2 | x²+C |
| Ile wynosi całka z 0? | ∫0dx | C |
Wzór na całkę z potęgi x
Najpierw zwiększasz wykładnik n o 1. Dopiero potem dzielisz współczynnik a przez nowy wykładnik n+1. Przykładowo:
- ∫6x²dx = 6·x³/3 + C = 2x³+C,
- ∫8x³dx = 8·x⁴/4 + C = 2x⁴+C,
- ∫5x⁴dx = 5·x⁵/5 + C = x⁵+C.
Funkcja pierwotna i stała C - co dokładnie oznaczają?
Funkcja pierwotna funkcji f to każda funkcja F, dla której F'=f. Stała całkowania C reprezentuje wszystkie możliwe przesunięcia pionowe wykresu F(x). Zmiana C nie zmienia pochodnej.
Jeżeli zadanie podaje dodatkowy warunek, np. F(2)=7, wtedy można wyznaczyć konkretną wartość C. Samo obliczenie całki nieoznaczonej bez warunku kończy się jednak rodziną F(x)+C.
Najczęstsze błędy przy całkowaniu wielomianu
- Brak +C w wyniku całki nieoznaczonej.
- Zmniejszenie wykładnika zamiast zwiększenia - to reguła pochodnej, nie całki.
- Brak dzielenia przez nowy wykładnik, np. błędne ∫x²dx=x³ zamiast x³/3.
- Traktowanie całki ze stałej jak 0. To pochodna stałej jest równa 0; ∫5dx=5x+C.
- Zaokrąglanie ułamków zbyt wcześnie. Jeśli możesz, zachowaj 1/2 albo 1/3 do końca obliczeń.
Ciekawostka
Całka nieoznaczona nie daje jednej krzywej. Wszystkie funkcje z rodziny F(x)+C mają ten sam kształt i różnią się tylko przesunięciem pionowym, dlatego ich pochodne są identyczne.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Po każdej całce z wielomianu wykonaj szybkie sprawdzenie pochodną. To najprostszy sposób wykrycia brakującego współczynnika, złego wykładnika albo pominiętej części funkcji.
Cały dział funkcji: Akademia funkcji, wykresów i analizy funkcji łączy funkcje liniowe i kwadratowe z wykładniczymi, logarytmicznymi i trygonometrycznymi oraz z granicami, pochodnymi, stycznymi, całkami i polem pod wykresem.
Ćwiczenia z całek
Chcesz samodzielnie rozwiązywać zadania? Przejdź do działu zadań.
Wzory i dalsza nauka całek
Do szybkiej powtórki możesz otworzyć tablicę całek i pola pod wykresem. Jeśli chcesz przejść od samej funkcji pierwotnej do interpretacji geometrycznej, wróć następnie do całki oznaczonej.
Co dalej po obliczeniu funkcji pierwotnej?
Jeśli umiesz już znaleźć funkcję pierwotną, naturalnym następnym krokiem jest całka oznaczona i pole pod wykresem: tam wykorzystujesz tę samą funkcję F(x), ale liczysz różnicę F(b)-F(a). Gdy chcesz sprawdzić, czy funkcja pierwotna została wyznaczona prawidłowo, przejdź do kalkulatora pochodnej. Pełny zestaw reguł i przykładów masz też w poradniku o całkach krok po kroku.