Co dalej po obliczeniu całki oznaczonej?
Jeśli masz już wynik całki, możesz przejść do kolejnego kroku: wyznaczenia funkcji pierwotnej, pola między wykresami albo sprawdzenia wzorów i pełnego schematu rozwiązywania zadań.
Na czym polega całka oznaczona?
Znając funkcję f(x) i granice a oraz b, najpierw wyznaczasz funkcję pierwotną F(x), dla której F'(x)=f(x). Następnie podstawiasz obie granice.
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)
Wynik całki oznaczonej jest liczbą. Nie dopisujemy +C, ponieważ stała skraca się w różnicy [F(b)+C]-[F(a)+C].
Wartość całki nie zawsze jest polem geometrycznym. Fragment pod osią OX wnosi do całki wartość ujemną, dlatego pole geometryczne trzeba liczyć bez znaku.
Rozpisanie całki oznaczonej krok po kroku
Tabela aktualizuje się razem z kalkulatorem i pokazuje najważniejsze etapy obliczeń.
| Etap | Zapis | Wynik |
|---|---|---|
| 1. Funkcja | f(x) | 2x + 1 |
| 2. Funkcja pierwotna | F(x) | x² + x |
| 3. Górna granica | F(3) | 12 |
| 4. Dolna granica | F(0) | 0 |
| 5. Odejmowanie | F(3)-F(0) | 12 |
| 6. Pole geometryczne | suma pól bez znaku | 12 |
Jak obliczyć całkę oznaczoną krok po kroku?
Obliczmy ∫₀³(2x+1)dx.
Dolna granica to a=0, a górna b=3.
∫(2x+1)dx=x²+x+C, więc F(x)=x²+x.
F(3)=3²+3=12.
F(0)=0.
F(3)-F(0)=12-0=12.
2x+1>0 na [0,3], więc całka i pole geometryczne są równe 12.
∫₀³(2x+1)dx = [x²+x]₀³ = (9+3)-(0+0) = 12
Schemat: znajdź F(x) → policz F(b) → policz F(a) → odejmij F(b)-F(a) → sprawdź, czy pytanie dotyczy wartości całki, czy pola geometrycznego.
Całka oznaczona a pole pod wykresem
| Sytuacja | Wartość całki | Pole geometryczne |
|---|---|---|
| f(x) ≥ 0 na całym [a,b] | Dodatnia lub 0 dla a<b | Równe wartości bez znaku przy standardowej kolejności granic |
| f(x) ≤ 0 na całym [a,b] | Ujemna lub 0 dla a<b | Wartość bezwzględna całki |
| f(x) zmienia znak | Części dodatnie i ujemne się odejmują | Pola fragmentów dodajemy bez znaku |
| a > b | Znak całki odwraca się | Pole geometryczne pozostaje nieujemne |
| a=b | 0 | 0 |
Najczęstsze pytania przy obliczeniach
Czy w wyniku zapisuje się +C? Nie. +C należy do całki nieoznaczonej, a w F(b)-F(a) stała się skraca.
Co jeśli dolna granica jest większa od górnej? Całka zmienia znak: ∫ᵦᵃf(x)dx = -∫ₐᵦf(x)dx. Pole geometryczne pozostaje nieujemne.
Jak sprawdzić funkcję pierwotną? Policz jej pochodną. Powinna wrócić funkcja f(x); możesz to zweryfikować w kalkulatorze pochodnej funkcji.
Średnia wartość funkcji na przedziale
f̄ = 1/(b-a) · ∫ₐᵇ f(x) dx, dla a ≠ b
Dla f(x)=2x+1 na [0,3] całka wynosi 12, więc średnia wartość to 12/3=4.
Najczęstsze błędy przy całkach oznaczonych
- liczenie F(a)-F(b) zamiast F(b)-F(a),
- dopisanie +C do końcowego wyniku,
- zgubienie nawiasu przy odejmowaniu ujemnej wartości F(a),
- uznanie ujemnej całki za ujemne pole geometryczne,
- nieuwzględnienie miejsc zerowych funkcji przy liczeniu pola,
- zaokrąglanie wartości pośrednich przed końcem obliczeń.
Ciekawostka
Całka oznaczona może wynosić 0 mimo tego, że wykres tworzy duże obszary z osią OX. Dzieje się tak, gdy dodatnie i ujemne wkłady mają tę samą wartość bezwzględną.
Ćwicz całkowanie
Ćwiczenia i samodzielne sprawdzanie odpowiedzi znajdziesz w dziale zadań.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Najpierw ustal, o co pyta zadanie. Jeśli o wartość całki oznaczonej, licz F(b)-F(a). Jeśli o pole figury, sprawdź znaki funkcji i w razie potrzeby podziel przedział w miejscach zerowych.
Dalsza nauka matematyki
Cały dział funkcji: Akademia funkcji, wykresów i analizy funkcji.
Główny hub matematyki: Akademia matematyki – kalkulatory, tablice i poradniki.
FAQ - całka oznaczona i pole pod wykresem
Ostatnia aktualizacja: 20.10.2026