Masz wynik? Sprawdź kolejny krok
Jeśli chcesz przećwiczyć całki albo sprawdzić podobne zadanie, wybierz jedną z tych stron.
Do czego służy kalkulator pola między wykresami?
W kalkulatorze pola między wykresami wpisujesz dwie funkcje i przedział. Narzędzie liczy różnicę f(x)-g(x), szuka punktów przecięcia w podanym zakresie i oblicza pole między krzywymi.
To przydaje się w zadaniach typu „oblicz pole między parabolą i prostą”, „znajdź pole figury ograniczonej wykresami” albo „policz pole między funkcjami na przedziale”.
Wzór na pole między wykresami
Jeśli jedna funkcja leży nad drugą na całym przedziale od a do b, pole liczymy z różnicy funkcji:
Jeśli wykresy przecinają się wewnątrz przedziału, dzielimy obszar w punktach przecięcia i dodajemy pola kolejnych fragmentów.
Ta zasada jest zgodna z klasycznym sposobem liczenia pola między dwiema krzywymi.
Przykład obliczeń
Obliczmy pole między f(x)=x+2 oraz g(x)=x² na przedziale od 0 do 2. Różnica funkcji to h(x)=x+2-x². Na tym przedziale h(x) jest nieujemna.
Funkcja pierwotna to x²/2 + 2x − x³/3. Po podstawieniu granic otrzymujemy 10/3, czyli około 3,33.
Co zrobić w różnych sytuacjach?
| Sytuacja | Co zrobić? | Zapis |
|---|---|---|
| Jedna funkcja jest stale wyżej | Odejmij dolną funkcję od górnej i policz całkę. | ∫(górna − dolna) dx |
| Wykresy się przecinają | Podziel przedział w punktach przecięcia. | ∫|f(x)−g(x)|dx |
| Wynik całki z różnicy jest ujemny | Pole figury zapisujemy jako liczbę dodatnią. | P = |wynik fragmentu| |
Pole między wykresami a całka oznaczona
Całka oznaczona
Może być dodatnia, ujemna albo równa 0.
Pole między wykresami
Jest nieujemne. Jeśli wykresy zamieniają się miejscami, obliczenia trzeba podzielić na fragmenty.
Punkty przecięcia
To miejsca, w których f(x)=g(x). Mogą wyznaczać podział obszaru.
Różnica funkcji
Różnica f(x)-g(x) pokazuje pionową odległość między wykresami z uwzględnieniem znaku.
Zadania przykładowe
Zadanie 1
Oblicz pole między f(x)=4 i g(x)=x² na przedziale od -2 do 2.
Pokaż odpowiedź
P = ∫₋₂²(4-x²)dx = 32/3.
Zadanie 2
Oblicz pole między f(x)=x+2 i g(x)=x² na przedziale od 0 do 2.
Pokaż odpowiedź
P = ∫₀²(x+2-x²)dx = 10/3.
Najczęstsze pomyłki
- Nie zakładaj z góry, która funkcja jest wyżej na całym przedziale.
- Jeśli wykresy przecinają się w środku przedziału, podziel obliczenia na części.
- Nie zostawiaj ujemnej wartości jako pola geometrycznego.
- Przed całkowaniem znajdź punkty przecięcia, jeśli mogą wystąpić w podanym zakresie.
Ciekawostka: pole między wykresami to suma pionowych odległości
Całkę z |f(x)-g(x)| można rozumieć jako dodawanie bardzo cienkich pionowych pasków między wykresami. Im węższe paski, tym lepiej opisują pole figury.
Jak zapisać rozwiązanie w zadaniu?
Najpierw zapisz równanie f(x)=g(x) i znajdź punkty przecięcia. Potem ustal, która funkcja jest wyżej na każdym fragmencie przedziału.
Na końcu policz całkę z funkcji górnej minus dolnej i dodaj pola wszystkich fragmentów. Wynik pola powinien być nieujemny.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Najwięcej błędów powstaje przed samym całkowaniem. Najpierw sprawdź punkty przecięcia i kolejność wykresów. Dopiero potem licz całkę na każdym fragmencie.
Cały dział funkcji: Akademia funkcji, wykresów i analizy funkcji.
FAQ – pole między wykresami funkcji
Jak obliczyć pole między dwoma wykresami?
Najpierw ustal, która funkcja jest wyżej, a potem policz całkę z różnicy funkcji górnej i dolnej. Jeśli wykresy się przecinają, podziel przedział na części.
Kiedy trzeba dzielić przedział na części?
Przedział dzielimy wtedy, gdy wykresy przecinają się w środku i funkcja górna zmienia się na dolną.
Czy pole między wykresami może być ujemne?
Nie. Pole geometryczne zapisujemy jako liczbę nieujemną, nawet jeśli całka z różnicy funkcji wychodzi ujemna.
Jak znaleźć punkty przecięcia wykresów?
Trzeba rozwiązać równanie f(x)=g(x). Otrzymane wartości x mogą być granicami całkowania albo punktami podziału przedziału.
Co oznacza różnica f(x)-g(x)?
Jej znak pokazuje, który wykres jest wyżej. Wartość bezwzględna tej różnicy opisuje pionową odległość między wykresami.
Czy ten kalkulator liczy pole między parabolą i prostą?
Tak. Kalkulator obsługuje wielomiany do trzeciego stopnia, więc można liczyć między innymi pole między prostą i parabolą.
Czym pole między wykresami różni się od pola pod wykresem?
Pole pod wykresem liczymy względem osi OX, a pole między wykresami liczymy pomiędzy dwiema funkcjami.
Jak zapisać wynik w zadaniu szkolnym?
Pokaż punkty przecięcia, ustal funkcję górną i dolną, zapisz całkę na każdym fragmencie i podaj końcowe pole jako liczbę nieujemną.
Ostatnia aktualizacja: 29.09.2026