Do czego służy kalkulator równania kwadratowego?
Kalkulator równania kwadratowego oblicza deltę, miejsca zerowe, wierzchołek paraboli oraz podstawowe informacje o funkcji kwadratowej. Wpisujesz współczynniki a, b i c z równania ax² + bx + c = 0, a kalkulator pokazuje, czy równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, jeden pierwiastek podwójny czy brak pierwiastków rzeczywistych.
To narzędzie przydaje się przy zadaniach typu „oblicz deltę”, „znajdź miejsca zerowe funkcji kwadratowej”, „rozwiąż równanie kwadratowe krok po kroku” albo „sprawdź, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe”. Jeśli potrzebujesz porównać postacie funkcji, zobacz też kalkulator postaci funkcji kwadratowej. Przy równaniach prostszych, bez x², pasuje kalkulator równania liniowego.
Wzór na deltę i pierwiastki
Najpierw liczymy wyróżnik równania kwadratowego, czyli deltę: Δ = b² - 4ac. Wartość delty decyduje o liczbie rozwiązań rzeczywistych. Gdy delta jest dodatnia, używamy dwóch wzorów na pierwiastki. Gdy delta wynosi zero, oba pierwiastki łączą się w jeden. Gdy delta jest ujemna, nie ma miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych.
| Warunek | Liczba rozwiązań | Wzór |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 2 pierwiastki rzeczywiste | x₁ = (-b - √Δ)/(2a), x₂ = (-b + √Δ)/(2a) |
| Δ = 0 | 1 pierwiastek podwójny | x₀ = -b/(2a) |
| Δ < 0 | brak pierwiastków rzeczywistych | parabola nie przecina osi X |
| a > 0 | ramiona w górę | parabola ma minimum |
| a < 0 | ramiona w dół | parabola ma maksimum |
Zadania do obliczeń – wpisz odpowiedź i sprawdź
Wpisz sam wynik liczbowy. Pole odpowiedzi nie podpowiada rozwiązania.
Zadanie 1
Oblicz deltę równania x² - 5x + 6 = 0.
Zadanie 2
Podaj mniejszy pierwiastek równania x² - 5x + 6 = 0.
Zadanie 3
Podaj większy pierwiastek równania x² - 5x + 6 = 0.
Zadanie 4
Oblicz deltę równania x² - 4x + 4 = 0.
Zadanie 5
Podaj pierwiastek podwójny równania x² - 4x + 4 = 0.
Zadanie 6
Oblicz deltę równania x² + x + 1 = 0.
Dwa zadania z wyjaśnieniem rozwiązania
x² - 5x + 6 = 0
Krok 1: a = 1, b = -5, c = 6.
Krok 2: Δ = (-5)² - 4·1·6 = 25 - 24 = 1.
Krok 3: x₁ = (5 - 1)/2 = 2, x₂ = (5 + 1)/2 = 3.
Odpowiedź: x₁ = 2, x₂ = 3.
x² - 4x + 4 = 0
Krok 1: a = 1, b = -4, c = 4.
Krok 2: Δ = (-4)² - 4·1·4 = 16 - 16 = 0.
Krok 3: x₀ = -b/(2a) = 4/2 = 2.
Odpowiedź: x = 2.
Wierzchołek paraboli i oś symetrii
Równanie kwadratowe jest powiązane z funkcją kwadratową f(x) = ax² + bx + c. Wierzchołek paraboli ma współrzędne p = -b/(2a) oraz q = -Δ/(4a). Oś symetrii ma równanie x = p. Dzięki temu po obliczeniu pierwiastków można od razu lepiej zrozumieć wykres funkcji.
Jeżeli pracujesz nad całym wykresem, użyj tablicy funkcji liniowej i kwadratowej. Do potęg i pierwiastków pojawiających się przy delcie przyda się tablica potęg, pierwiastków i logarytmów.
Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku
- Znak przy współczynniku b. Jeśli b = -5, to b² = 25, ale we wzorze na pierwiastki występuje -b.
- Pomijanie warunku a ≠ 0. Gdy a = 0, nie ma równania kwadratowego, tylko równanie liniowe.
- Błąd w delcie. Wzór to b² - 4ac, a nie b² + 4ac.
- Zły mianownik. Pierwiastki dzielimy przez 2a, nie przez samo a.
- Brak interpretacji delty. Delta ujemna oznacza brak miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych.
Ciekawostka: delta mówi, jak parabola spotyka oś X
Delta dodatnia oznacza dwa przecięcia z osią X, delta równa zero oznacza dotknięcie osi w jednym punkcie, a delta ujemna oznacza, że parabola nie przecina osi X. Dlatego samo obliczenie delty daje szybki obraz zachowania funkcji kwadratowej.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Zanim podstawisz liczby do wzoru, wypisz osobno a, b i c. Przy równaniu x² - 5x + 6 = 0 współczynnik b wynosi -5, a nie 5. Ten jeden znak najczęściej decyduje o poprawności delty i miejsc zerowych.
Cały dział funkcji: Akademia funkcji, wykresów i analizy funkcji łączy funkcje liniowe i kwadratowe z wykładniczymi, logarytmicznymi i trygonometrycznymi oraz z granicami, pochodnymi, stycznymi, całkami i polem pod wykresem.