Tablica potęg, pierwiastków i logarytmów
Najważniejsze wzory na potęgi, pierwiastki i logarytmy, reguły działań, zamiany zapisów, przykłady oraz typowe błędy w algebrze.
Potęga, pierwiastek i logarytm — trzy powiązane zapisy
Potęgowanie, pierwiastkowanie i logarytmowanie opisują tę samą zależność z różnych stron. Potęga mówi, ile razy mnożymy podstawę przez siebie. Pierwiastek szuka podstawy potęgi, a logarytm szuka wykładnika. Ta tablica pomaga dobrać właściwy wzór i uniknąć najczęstszych pomyłek.
Najprostsze powiązanie: potęga, pierwiastek i logarytm
Jeżeli 2³ = 8, to ∛8 = 2 oraz log₂8 = 3. W każdym z tych zapisów występują te same liczby, ale pytanie jest inne: potęga pyta o wynik mnożenia, pierwiastek o podstawę, a logarytm o wykładnik. Konkretne obliczenia sprawdzisz w kalkulatorach potęgowania, pierwiastkowania i logarytmów.
2³ = 8Znamy podstawę i wykładnik, szukamy wyniku.
∛8 = 2Znamy wynik potęgi i wykładnik, szukamy podstawy.
log₂8 = 3Znamy podstawę i wynik potęgi, szukamy wykładnika.
Wzory na potęgi
Potęgi pozwalają skrócić zapis wielokrotnego mnożenia. W działaniach najważniejsze jest sprawdzenie, czy podstawy są takie same, czy wykładniki można dodać, odjąć albo pomnożyć. Przy liczbach bardzo dużych i bardzo małych przyda się też kalkulator notacji wykładniczej.
| Reguła | Wzór | Przykład | Uwaga |
|---|---|---|---|
| mnożenie potęg o tej samej podstawie | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2² = 2⁵ | podstawy muszą być takie same |
| dzielenie potęg o tej samej podstawie | aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ / 5² = 5⁴ | a ≠ 0 |
| potęga potęgi | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (x²)³ = x⁶ | wykładniki mnożymy |
| potęga iloczynu | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2x)³ = 8x³ | potęgujemy każdy czynnik |
| potęga o wykładniku 0 | a⁰ = 1 | 7⁰ = 1 | a ≠ 0 |
| wykładnik ujemny | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 2⁻³ = 1/8 | a ≠ 0 |
Wzory na pierwiastki
Pierwiastek jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Pierwiastek kwadratowy z 49 to 7, bo 7² = 49. Przy pierwiastkach trzeba uważać na znak liczby pod pierwiastkiem oraz na stopień pierwiastka. W liczbach rzeczywistych pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie istnieje.
| Reguła | Wzór | Przykład | Warunek |
|---|---|---|---|
| pierwiastek kwadratowy | √a | √64 = 8 | a ≥ 0 |
| pierwiastek sześcienny | ∛a | ∛(-8) = -2 | może być z liczby ujemnej |
| pierwiastek iloczynu | √(ab)=√a·√b | √(4·9)=2·3 | a,b ≥ 0 |
| pierwiastek ilorazu | √(a/b)=√a/√b | √(25/4)=5/2 | a ≥ 0, b > 0 |
| zamiana na potęgę | ⁿ√a = a¹/ⁿ | √x = x¹/² | zgodnie z dziedziną |
Wzory na logarytmy
Logarytm odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać daną liczbę. Zapis log₂8 = 3 oznacza, że 2³ = 8. Logarytmy najczęściej pojawiają się przy równaniach wykładniczych, skalach, wzroście, spadku i zadaniach z funkcjami.
| Reguła | Wzór | Przykład | Uwaga |
|---|---|---|---|
| definicja logarytmu | logₐb = c ⇔ aᶜ = b | log₂8 = 3 | a > 0, a ≠ 1, b > 0 |
| logarytm iloczynu | logₐ(xy)=logₐx+logₐy | log₂(4·8)=2+3 | x,y > 0 |
| logarytm ilorazu | logₐ(x/y)=logₐx-logₐy | log₂(8/4)=3-2 | x,y > 0 |
| logarytm potęgi | logₐ(xⁿ)=nlogₐx | log₂(4³)=3log₂4 | x > 0 |
| logarytm z podstawy | logₐa = 1 | log₅5 = 1 | a > 0, a ≠ 1 |
| logarytm z 1 | logₐ1 = 0 | log₇1 = 0 | a > 0, a ≠ 1 |
Zamiana zapisów: potęga, pierwiastek, logarytm
W zadaniach często trzeba przejść z jednego zapisu na drugi. Pierwiastek można zapisać jako potęgę o wykładniku ułamkowym, a logarytm można przepisać na postać wykładniczą. To pomaga szczególnie wtedy, gdy chcesz przekształcić równanie albo porównać kilka wyrażeń.
√a = a¹/²Przydatne przy działaniach na potęgach.
ⁿ√a = a¹/ⁿStopień pierwiastka trafia do mianownika wykładnika.
logₐb=c ⇔ aᶜ=bTo podstawowa definicja logarytmu.
Warunki, o których trzeba pamiętać
W potęgach, pierwiastkach i logarytmach ważne są warunki. Niektóre zapisy wyglądają podobnie, ale nie zawsze mają sens dla każdej liczby. Szczególnie trzeba uważać na zero, liczby ujemne pod pierwiastkiem parzystego stopnia oraz argument logarytmu.
| Zapis | Warunek | Dlaczego? |
|---|---|---|
| a⁻ⁿ | a ≠ 0 | bo zapis oznacza 1/aⁿ |
| √a | a ≥ 0 w liczbach rzeczywistych | kwadrat liczby rzeczywistej nie jest ujemny |
| logₐb | a > 0, a ≠ 1, b > 0 | podstawa i argument mają ograniczenia |
| 0⁰ | zapis problematyczny | w szkolnych rachunkach zwykle go unikamy |
Jak rozpoznać, którego zapisu użyć?
Jeśli w zadaniu znasz podstawę i wykładnik, a szukasz wyniku, używasz potęgi. Jeśli znasz wynik potęgi i stopień, a szukasz podstawy, używasz pierwiastka. Jeśli znasz podstawę i wynik potęgi, a szukasz wykładnika, używasz logarytmu. To proste rozróżnienie pomaga nie mylić działań odwrotnych.
Przykład: w zadaniu „do jakiej potęgi podnieść 3, aby otrzymać 81” nie szukasz 3⁴ przez zgadywanie działania, tylko rozpoznajesz logarytm: log₃81 = 4. W zadaniu „jaka liczba podniesiona do kwadratu daje 81” rozpoznajesz pierwiastek: √81 = 9.
Najczęstsze błędy przy potęgach, pierwiastkach i logarytmach
- Dodawanie wykładników przy różnych podstawach. Reguła aᵐ·aⁿ działa tylko dla tej samej podstawy.
- Mylenie potęgi potęgi z dodawaniem wykładników. W zapisie (aᵐ)ⁿ wykładniki się mnoży.
- Pomijanie warunku przy pierwiastku parzystego stopnia. W liczbach rzeczywistych pod pierwiastkiem kwadratowym nie może być liczby ujemnej.
- Logarytmowanie liczby ujemnej. Argument logarytmu musi być dodatni.
- Traktowanie logₐ(x+y) jak logₐx + logₐy. Taki wzór nie istnieje.
Ciekawostka: logarytm mierzy wykładnik
Logarytm nie jest „dziwnym pierwiastkiem”, tylko odpowiedzią na pytanie o wykładnik. Dlatego log₂32 = 5, bo 2 trzeba podnieść do piątej potęgi, żeby otrzymać 32.
Sprawdź także
Pełna ścieżka algebry: Akademia algebry – wzory, równania, funkcje i wielomiany prowadzi od tej tablicy do kalkulatorów i poradników o przekształceniach, równaniach, ciągach, potęgach, logarytmach, macierzach i wielomianach.