Co możesz sprawdzić dalej?
Do czego służy kalkulator funkcji kwadratowej?
Możesz przeliczyć funkcję między postacią ogólną, kanoniczną i iloczynową. Kalkulator pokazuje deltę, miejsca zerowe, wierzchołek paraboli, oś symetrii, kierunek ramion i wykres.
Postać ogólna to f(x)=ax²+bx+c, gdzie a≠0. Postać kanoniczna f(x)=a(x-p)²+q od razu pokazuje wierzchołek W=(p,q), a postać iloczynowa f(x)=a(x-x₁)(x-x₂) pokazuje miejsca zerowe, jeśli istnieją w liczbach rzeczywistych.
Wzory potrzebne do obliczeń
Delta ma postać Δ=b²-4ac. Wierzchołek paraboli można wyznaczyć ze wzorów:
Gdy Δ>0, funkcja ma dwa różne miejsca zerowe. Gdy Δ=0, ma jedno podwójne miejsce zerowe. Gdy Δ<0, nie ma miejsc zerowych w liczbach rzeczywistych.
Przykład krok po kroku
Dla f(x)=x²-4x+3 mamy a=1, b=-4, c=3. Delta wynosi 4, wierzchołek to W=(2,-1), a miejsca zerowe to 1 i 3.
| Element | Obliczenie | Wynik |
|---|---|---|
| Delta | 16 - 12 | Δ = 4 |
| Wierzchołek | p=2, q=-1 | W=(2,-1) |
| Miejsca zerowe | (4 ± 2) / 2 | x₁=1, x₂=3 |
| Postać kanoniczna | a(x-p)²+q | f(x)=(x-2)²-1 |
| Postać iloczynowa | a(x-x₁)(x-x₂) | f(x)=(x-1)(x-3) |
Dwa krótkie przykłady
f(x)=x²+6x+8
Delta wynosi 4, miejsca zerowe to -4 i -2, a postać iloczynowa to (x+4)(x+2).
f(x)=2(x-3)²-5
Wierzchołek to W=(3,-5), a ramiona paraboli są skierowane w górę.
Trzy postacie funkcji kwadratowej
| Postać | Zapis | Co widać od razu? |
|---|---|---|
| Ogólna | f(x)=ax²+bx+c | współczynniki a, b, c oraz f(0)=c |
| Kanoniczna | f(x)=a(x-p)²+q | wierzchołek W=(p,q) |
| Iloczynowa | f(x)=a(x-x₁)(x-x₂) | miejsca zerowe x₁ i x₂ |
| Brak iloczynowej w R | gdy Δ<0 | brak rzeczywistych miejsc zerowych |
Funkcja, równanie czy nierówność?
| Temat | Pytanie | Co liczysz? |
|---|---|---|
| Funkcja kwadratowa | Jaki jest wierzchołek i wykres? | p, q, ramiona, oś symetrii |
| Równanie kwadratowe | Dla jakich x funkcja ma wartość 0? | miejsca zerowe |
| Nierówność kwadratowa | Dla jakich x funkcja jest dodatnia lub ujemna? | przedziały |
| Funkcja liniowa | Jak wygląda prosta? | nachylenie i miejsce zerowe |
Najczęstsze błędy
- Mylenie postaci kanonicznej z ogólną. W postaci kanonicznej wierzchołek odczytujesz jako W=(p,q), ale zapis ma nawias x-p.
- Zapominanie, że a nie może być zerem. Gdy a=0, wzór nie opisuje funkcji kwadratowej.
- Błędny znak przy b. We wzorze p=-b/(2a) minus ma znaczenie.
- Zapisywanie postaci iloczynowej przy ujemnej delcie. W liczbach rzeczywistych wymaga ona miejsc zerowych.
Ciekawostka
Ta sama parabola może być zapisana na trzy sposoby. Zmienia się zapis, ale nie zmienia się wykres funkcji.
Postać funkcji a czytanie wykresu
Jeżeli znasz wierzchołek, najwygodniejsza jest postać kanoniczna. Jeżeli znasz miejsca przecięcia z osią OX, wygodna jest postać iloczynowa. Postać ogólna dobrze nadaje się do liczenia delty.
Dodatnie a oznacza ramiona skierowane w górę, a ujemne a — w dół.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Najpierw ustal, czego wymaga zadanie: miejsc zerowych, wierzchołka, znaku funkcji czy całego wzoru. Wtedy łatwiej wybrać postać, od której warto zacząć.
Funkcja kwadratowa w dalszej nauce
Jeżeli chcesz przejść cały materiał po kolei, otwórz Akademię algebry albo główną Akademię matematyki.
FAQ – kalkulator funkcji kwadratowej
Źródło wzorów: OpenStax, materiały o funkcjach kwadratowych.
Ostatnia aktualizacja: 29.09.2026