Co policzyć dalej?
Masz już wynik? Wybierz kolejne obliczenie związane z prawdopodobieństwem.
W kalkulatorze rozkładu Poissona policzysz liczbę rzadkich zdarzeń
W kalkulatorze rozkładu Poissona wpisujesz średnią liczbę zdarzeń λ i sprawdzasz, jaka jest szansa otrzymania dokładnie k zdarzeń, co najwyżej k zdarzeń, co najmniej k zdarzeń albo przedziału od k do m. Ten model przydaje się przy zadaniach typu „średnio 4 zgłoszenia na godzinę”, „średnio 2 awarie w miesiącu”, „średnio 1,5 błędu na stronę” albo „ile telefonów może przyjść w ciągu minuty”.
Rozkład Poissona jest dobrym uzupełnieniem rozkładu dwumianowego Bernoulliego. W dwumianowym znamy liczbę prób n i prawdopodobieństwo sukcesu p, a w Poissonie najczęściej znamy średnią liczbę zdarzeń w przedziale. Jeśli zadanie pyta o pierwszy sukces, lepszy będzie kalkulator rozkładu geometrycznego, a jeśli chodzi o losowanie bez zwracania, użyj rozkładu hipergeometrycznego.
Wzór i obliczenia
Dokładnie k zdarzeń
P(X=k)=e-λ · λk / k!
λ oznacza średnią liczbę zdarzeń w ustalonym przedziale, a k oznacza liczbę zdarzeń, której prawdopodobieństwo liczysz.
Średnia i zmienność
E(X)=λ
Var(X)=λ
W rozkładzie Poissona wartość oczekiwana i wariancja są równe λ, a odchylenie standardowe wynosi √λ.
Przykład obliczeń
Załóżmy, że do serwisu trafia średnio 3,2 zgłoszenia w ciągu godziny. Chcemy policzyć prawdopodobieństwo, że w wybranej godzinie przyjdą dokładnie 2 zgłoszenia. Wtedy λ=3,2 oraz k=2.
P(X=2)=e-3,2 · 3,2² / 2!
Kalkulator pokazuje wynik liczbowy i procentowy, a dodatkowo wybrane wartości P(X=x), dzięki czemu widać, które liczby zdarzeń są najbardziej prawdopodobne.
Zadania przykładowe
Zadanie 1
W sklepie internetowym pojawia się średnio 5 zamówień w ciągu godziny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w następnej godzinie pojawią się dokładnie 3 zamówienia?
Ustawienia: λ=5, k=3, „dokładnie k zdarzeń”.
Zadanie 2
Maszyna ma średnio 1,4 awarii w miesiącu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w miesiącu będzie co najwyżej 1 awaria?
Ustawienia: λ=1,4, k=1, „co najwyżej k zdarzeń”.
Kiedy pasuje rozkład Poissona?
Zdarzenia są liczone w ustalonym przedziale czasu.
Można użyć średniej liczby błędów na jednostkę.
Znasz liczbę prób i prawdopodobieństwo sukcesu.
Lepszy jest rozkład hipergeometryczny.
Poisson, dwumianowy, geometryczny i hipergeometryczny
Gdy liczysz liczbę zdarzeń w czasie, przestrzeni lub jednostce. Najważniejszy parametr: λ.
Gdy masz n prób i stałe prawdopodobieństwo sukcesu p.
Gdy pytasz, kiedy pojawi się pierwszy sukces.
Gdy losujesz bez zwracania z ograniczonej populacji.
Ciekawostka
Rozkład Poissona bywa używany jako przybliżenie rozkładu dwumianowego, gdy liczba prób jest duża, a prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu małe. Wtedy średnia λ jest równa n · p i często wygodniej liczyć zdarzenia przez Poissona niż przez bardzo duże kombinacje.
Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku
Zły przedział dla λ
λ musi dotyczyć tego samego przedziału, o który pytasz. Jeśli średnia jest na godzinę, wynik też dotyczy godziny.
Mylenie λ z k
λ to średnia liczba zdarzeń, a k to konkretna liczba zdarzeń, której prawdopodobieństwo liczysz.
Poisson przy losowaniu bez zwracania
Do talii, urny i próbki z partii zwykle lepiej pasuje rozkład hipergeometryczny.
Brak sumowania wartości
Dla „co najwyżej” albo „co najmniej” trzeba uwzględnić kilka wartości P(X=x), a nie tylko jedną.
Jak zapisać rozwiązanie krok po kroku?
Najpierw zapisz, co oznacza zmienna losowa X, na przykład „X - liczba zgłoszeń w godzinie”. Potem podaj średnią λ i wartość k. Jeżeli zadanie pyta o dokładnie k zdarzeń, podstaw dane bezpośrednio do wzoru. Jeżeli pyta o „co najwyżej”, „co najmniej” albo „od k do m”, rozpisz wartości, które trzeba dodać.
Do interpretacji wyniku warto porównać k ze średnią λ. Jeśli k jest blisko λ, wynik często będzie relatywnie większy. Jeśli k jest bardzo daleko od λ, prawdopodobieństwo może być małe. Podobną analizę możesz połączyć z wartością oczekiwaną i wariancją zmiennej losowej.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Przed użyciem rozkładu Poissona sprawdź jednostkę średniej. Jeśli λ=6 zdarzeń dziennie, a pytanie dotyczy 12 godzin, trzeba przeliczyć średnią na właściwy przedział, czyli w tym przykładzie użyć λ=3. To jeden z najczęstszych powodów błędnych wyników w zadaniach.
Cały pakiet statystyki i rozkładów
Ten kalkulator jest częścią większego pakietu narzędzi do statystyki, prawdopodobieństwa, rozkładów i analizy danych. Jeśli chcesz przejść od pojedynczego wyniku do szerszego zestawu metod, sprawdź Statystyka, prawdopodobieństwo i rozkłady - akademia obliczeń.