Co dalej policzyć?
Jeśli zadanie dotyczy innego rodzaju losowania albo kilku sukcesów, wybierz powiązany kalkulator.
Pierwszy sukces w kolejnych próbach
W rozkładzie geometrycznym X oznacza numer próby, w której po raz pierwszy pojawia się sukces. Model pasuje do pytań typu „za którym razem pierwszy raz trafimy?” albo „jaka jest szansa, że pierwszy sukces nastąpi w czwartej próbie?”.
Próby powinny być niezależne i mieć tę samą wartość p. Jeśli interesuje Cię liczba sukcesów w ustalonej liczbie prób, użyj rozkładu dwumianowego.
Przykład
Jeśli p=0,25 i chcemy policzyć szansę pierwszego sukcesu dokładnie w 4. próbie:
P(X=4) = 0,753 · 0,25 = 0,10546875
Czyli około 10,55%.
Zadania z rozkładu geometrycznego
Który wariant wybrać?
Dokładnie w k-tej próbie
P(X=k)=(1-p)k-1·p
Najpóźniej w k-tej próbie
P(X≤k)=1−(1-p)k
Później niż k
P(X>k)=(1-p)k
Nie wcześniej niż k
P(X≥k)=(1-p)k-1
Geometryczny, dwumianowy czy hipergeometryczny?
Geometryczny
Powtarzasz próby do pierwszego sukcesu.
Dwumianowy
Masz ustaloną liczbę niezależnych prób i liczysz sukcesy.
Hipergeometryczny
Losujesz bez zwracania z ograniczonej populacji.
Ciekawostka
Średnia liczba prób do pierwszego sukcesu wynosi 1/p. Gdy p=20%, średnio potrzeba 5 prób, ale pojedynczy sukces może pojawić się dużo wcześniej albo dużo później.
Najczęstsze błędy
Pierwszy sukces to nie liczba sukcesów
Rozkład geometryczny wskazuje próbę pierwszego sukcesu.
Przed sukcesem są porażki
Dla P(X=k) musi wystąpić dokładnie k−1 porażek przed sukcesem.
p powinno być stałe
Jeśli szansa sukcesu zmienia się między próbami, ten model nie pasuje.
P(X>k) i P(X≥k) to różne pytania
Pierwsze oznacza brak sukcesu w pierwszych k próbach, drugie brak sukcesu przed próbą k.
Wskazówka
Jeśli w zadaniu pojawia się „pierwszy raz”, „za którym razem” albo „do pierwszego sukcesu”, sprawdź rozkład geometryczny. Gdy pytanie brzmi „ile sukcesów w n próbach”, zwykle chodzi o rozkład dwumianowy.
Więcej: Akademia statystyki i prawdopodobieństwa.
FAQ - rozkład geometryczny
Używaj go wtedy, gdy powtarzasz niezależne próby do momentu pojawienia się pierwszego sukcesu.
X oznacza numer próby, w której po raz pierwszy pojawia się sukces.
Stosujemy wzór P(X=k)=(1-p)^(k-1)·p, bo przed sukcesem musi wystąpić k-1 porażek.
Można użyć wzoru P(X≤k)=1-(1-p)^k, czyli odjąć sytuację bez sukcesu w pierwszych k próbach.
Geometryczny liczy moment pierwszego sukcesu, a dwumianowy liczy liczbę sukcesów w ustalonej liczbie prób.
W klasycznym rozkładzie geometrycznym p jest stałe w każdej próbie. Jeśli p się zmienia, model nie pasuje.
W konwencji pierwszego sukcesu w k-tej próbie wartość oczekiwana wynosi E(X)=1/p.
To prawdopodobieństwo, że w pierwszych k próbach nie pojawi się żaden sukces.