W kalkulatorze rozkładu geometrycznego policzysz pierwszy sukces
W kalkulatorze rozkładu geometrycznego wpisujesz prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie oraz numer próby, w której ma pojawić się pierwszy sukces. To narzędzie pasuje do zadań typu „za którym razem pierwszy raz trafimy”, „jaka jest szansa, że pierwszy sukces nastąpi w czwartej próbie” albo „ile prób średnio potrzeba do pierwszego sukcesu”.
Rozkład geometryczny jest powiązany z rozkładem dwumianowym Bernoulliego, bo w obu modelach próby są niezależne i mają stałe prawdopodobieństwo sukcesu. Różnica jest taka, że w dwumianowym liczymy liczbę sukcesów w ustalonej liczbie prób, a tutaj liczymy moment pojawienia się pierwszego sukcesu. Jeśli próbki są pobierane bez zwracania, lepiej sprawdzić rozkład hipergeometryczny.
Wzór i logika obliczeń
Pierwszy sukces w k-tej próbie
Najpierw musi wystąpić k-1 porażek, a dopiero potem sukces. Dlatego porażkę podnosimy do potęgi k-1.
Najpóźniej w k-tej próbie
To przeciwieństwo sytuacji, w której przez pierwsze k prób nie pojawił się żaden sukces.
Przykład obliczeń
Załóżmy, że prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi 0,25. Chcemy policzyć prawdopodobieństwo, że pierwszy sukces pojawi się dokładnie w 4. próbie. Wtedy p=0,25 oraz k=4.
Oznacza to, że najpierw muszą pojawić się trzy porażki, a czwarta próba musi zakończyć się sukcesem.
Zadania przykładowe
Zadanie 1
Szansa trafienia do kosza wynosi 0,3. Oblicz prawdopodobieństwo, że pierwszy celny rzut nastąpi dokładnie w 5. próbie.
Ustawienia: p=0,3, k=5, tryb P(X=k).
Zadanie 2
Szansa uzyskania poprawnego wyniku testu w jednej próbie wynosi 0,4. Oblicz prawdopodobieństwo, że sukces pojawi się najpóźniej w 3. próbie.
Ustawienia: p=0,4, k=3, tryb P(X≤k).
Tabela referencyjna: który wariant wybrać?
| Pytanie w zadaniu | Wariant | Wzór |
|---|---|---|
| Pierwszy sukces dokładnie w 5. próbie | P(X=k) | (1-p)^(k-1) · p |
| Pierwszy sukces najpóźniej w 5. próbie | P(X≤k) | 1 - (1-p)^k |
| Sukces później niż w 5. próbie | P(X>k) | (1-p)^k |
| Sukces nie wcześniej niż w 5. próbie | P(X≥k) | (1-p)^(k-1) |
Tabela porównawcza: geometryczny, dwumianowy i hipergeometryczny
| Model | Kiedy pasuje? | Co liczy? |
|---|---|---|
| Geometryczny | Powtarzamy niezależne próby do pierwszego sukcesu | Numer próby pierwszego sukcesu |
| Dwumianowy | Mamy stałą liczbę niezależnych prób | Liczbę sukcesów w n próbach |
| Hipergeometryczny | Losujemy bez zwracania z populacji | Liczbę sukcesów w próbie |
Ciekawostka
W rozkładzie geometrycznym średnia liczba prób do pierwszego sukcesu wynosi 1/p. Gdy szansa sukcesu w jednej próbie to 20%, średnio potrzeba 5 prób, ale pojedynczy wynik może pojawić się dużo wcześniej albo dużo później.
Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku
Błąd 1: mylenie pierwszego sukcesu z liczbą sukcesów
Rozkład geometryczny nie liczy, ile sukcesów było łącznie. Liczy próbę, w której pojawił się pierwszy sukces.
Błąd 2: pomijanie wcześniejszych porażek
Dla P(X=k) przed sukcesem musi wystąpić k-1 porażek, dlatego we wzorze jest (1-p)^(k-1).
Błąd 3: zmienne prawdopodobieństwo sukcesu
Model geometryczny zakłada stałe p w każdej próbie. Jeśli p się zmienia, trzeba użyć innego modelu albo drzewka.
Błąd 4: pomylenie P(X>k) z P(X≥k)
P(X>k) oznacza brak sukcesu w pierwszych k próbach, a P(X≥k) oznacza brak sukcesu przed próbą k.
Jak zapisać rozwiązanie w zeszycie?
Najpierw zapisz, że X oznacza numer próby, w której pojawia się pierwszy sukces. Potem podaj prawdopodobieństwo sukcesu p i numer próby k. Jeżeli zadanie pyta o dokładnie k-tą próbę, zapisz wzór P(X=k)=(1-p)^(k-1)·p. Jeśli pyta o „najpóźniej”, użyj P(X≤k)=1-(1-p)^k.
Jeżeli w treści zadania pojawia się kilka etapów albo warunki zależne od poprzedniego wyniku, przyda się kalkulator drzewka prawdopodobieństwa. Do późniejszej interpretacji średniej i zmienności możesz użyć też kalkulatora wartości oczekiwanej i wariancji.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Jeśli zadanie zawiera słowa „pierwszy raz”, „za którym razem”, „do pierwszego sukcesu” albo „najpóźniej w k-tej próbie”, sprawdź rozkład geometryczny. Jeśli zamiast tego pytanie brzmi „ile sukcesów w n próbach”, zwykle chodzi o rozkład dwumianowy.
Cała statystyka w jednym miejscu: Akademia statystyki, prawdopodobieństwa, rozkładów i analizy danych łączy statystykę opisową z kombinatoryką, prawdopodobieństwem, zmiennymi losowymi, rozkładami, regresją, przedziałami ufności i interpretacją wyników.