Co sprawdzić po zbudowaniu drzewka?
Po policzeniu ścieżek możesz przejść do warunków, prostych zdarzeń, losowania bez zwracania albo sumy i iloczynu zdarzeń.
Jak działa drzewko prawdopodobieństwa?
Drzewko jest wygodne w zadaniach wieloetapowych, na przykład „najpierw wybieramy urnę, potem kulę” albo „najpierw wybieramy grupę, potem otrzymujemy wynik testu”. Pierwszy poziom opisuje możliwe początki, a drugi poziom pokazuje wyniki zależne od wybranej wcześniej gałęzi.
W tym kalkulatorze pierwszy etap ma dwie albo trzy rozłączne gałęzie A, B i ewentualnie C. Ich prawdopodobieństwa muszą razem dawać 1. Po każdej z nich występuje X albo nie-X.
Jeżeli chcesz policzyć wynik X bez względu na to, którą gałęzią doszliśmy do drugiego etapu, dodajesz wszystkie pełne ścieżki kończące się X.
Mnożenie na ścieżce
Jeżeli najpierw zachodzi A, a potem X pod warunkiem A, prawdopodobieństwo całej ścieżki wynosi:
Ta zasada uwzględnia to, że prawdopodobieństwo drugiego etapu może zależeć od wyniku pierwszego etapu.
Sumowanie ścieżek prowadzących do tego samego wyniku
Jeżeli X może pojawić się po A, B albo C, a te gałęzie pierwszego etapu są rozłączne i obejmują wszystkie możliwości, to:
Przy dwóch gałęziach pomijasz składnik z C. Dla wyniku nie-X postępujesz dokładnie tak samo, używając prawdopodobieństw dopełniających.
Przykład z dwiema urnami
Załóżmy, że urna A jest wybierana z prawdopodobieństwem 0,60, a urna B z prawdopodobieństwem 0,40. Szansa czerwonej kuli wynosi 0,75 po wyborze A i 0,25 po wyborze B.
Łączne prawdopodobieństwo czerwonej kuli wynosi więc 55%.
Jak kontrolować poprawność drzewka?
- Gałęzie wychodzące z tego samego węzła powinny razem dawać 1, jeśli opisują wszystkie możliwości.
- Każde prawdopodobieństwo musi mieścić się w przedziale od 0 do 1.
- Na jednej ścieżce mnożysz wartości kolejnych gałęzi.
- Różne, rozłączne ścieżki prowadzące do tego samego wyniku dodajesz.
- Nie myl P(X|A) z P(A|X). Odwrócenie warunku to inne pytanie.
Losowanie bez zwracania
Drzewko nadaje się także do losowania bez zwracania, ale wtedy prawdopodobieństwo w drugim etapie zwykle zmienia się po pierwszym losowaniu. Właśnie dlatego na każdej gałęzi drugiego etapu wpisuje się osobną wartość warunkową.
Przy większej liczbie losowań drzewko szybko się rozrasta. W takich zadaniach wygodniejsze mogą być kombinacje i rozkład hipergeometryczny.
Dwa krótkie zadania
Zadanie 1
P(A)=0,7, P(B)=0,3, P(X|A)=0,2, P(X|B)=0,5. Oblicz P(X).
Wynik: 0,7·0,2 + 0,3·0,5 = 0,29, czyli 29%.
Zadanie 2
P(A)=0,4, P(B)=0,6, P(X|A)=0,8, P(X|B)=0,1. Oblicz P(X).
Wynik: 0,4·0,8 + 0,6·0,1 = 0,38, czyli 38%.
Kiedy użyć innego narzędzia?
Jeżeli zadanie dotyczy jednego prostego losowania z równoprawdopodobnymi wynikami, wygodniejszy będzie kalkulator prawdopodobieństwa klasycznego. Przy wyborze określonej liczby elementów bez zwracania warto użyć kombinacji. Gdy znasz wynik i szukasz prawdopodobnej przyczyny, przejdź do prawdopodobieństwa warunkowego i twierdzenia Bayesa.
Do szybkiej powtórki wzorów możesz też użyć tablicy kombinatoryki i prawdopodobieństwa albo poradnika do zadań z prawdopodobieństwa.
Wskazówka od KalkulatorXXL
Najpierw podpisz wszystkie gałęzie i sprawdź ich sumy. Dopiero potem mnoż prawdopodobieństwa wzdłuż ścieżek i dodawaj tylko te ścieżki, które odpowiadają pytaniu z zadania.
FAQ - drzewko prawdopodobieństwa
Ostatnia aktualizacja: 29.09.2026