W kalkulatorze prawdopodobieństwa z kombinacji policzysz losowanie bez zwracania
Kalkulator odpowiada na pytania typu „jak obliczyć prawdopodobieństwo z kombinacji”, „jak policzyć prawdopodobieństwo w losowaniu kul”, „jakie jest prawdopodobieństwo dokładnie r sukcesów” oraz „jak obliczyć co najmniej jeden sukces bez zwracania”. Narzędzie wykorzystuje kombinacje C(n,k), dlatego pasuje do zadań z urnami, kartami, losami, komisjami, zestawami pytań i wyborem grup.
Jeżeli potrzebujesz najpierw policzyć same kombinacje, użyj kalkulatora kombinacji, permutacji i wariacji. Jeżeli masz już liczbę przypadków sprzyjających i wszystkich przypadków, prostszy wynik policzy kalkulator prawdopodobieństwa klasycznego.
Wzór i logika obliczeń
W losowaniu bez zwracania liczba wszystkich możliwych wyników to C(N,k), czyli liczba sposobów wyboru k elementów z N. Jeśli w całej puli jest S elementów sprzyjających, a chcemy wylosować dokładnie r sukcesów, wybieramy r elementów z puli sprzyjającej i k-r elementów z pozostałej puli.
N
Liczba wszystkich elementów w puli.
S
Liczba elementów sprzyjających.
k i r
k to liczba losowanych elementów, a r to liczba wymaganych sukcesów.
Przykład obliczeń
W urnie jest 20 kul, z czego 6 czerwonych. Losujemy 5 kul bez zwracania i chcemy mieć dokładnie 2 kule czerwone. Liczba wszystkich losowań wynosi C(20,5)=15504. Liczba losowań sprzyjających wynosi C(6,2)·C(14,3)=15·364=5460. Prawdopodobieństwo to 5460/15504, czyli około 35,22%.
Gdyby pytanie brzmiało „co najmniej 2 czerwone kule”, trzeba dodać przypadki dla 2, 3, 4 i 5 czerwonych kul. Kalkulator robi to automatycznie po wybraniu odpowiedniego trybu.
Kiedy używać kombinacji w prawdopodobieństwie?
| Sytuacja | Czy kolejność ma znaczenie? | Model | Przykład |
|---|---|---|---|
| Losowanie kilku kul jednocześnie | Nie | kombinacje | 5 kul z 20 |
| Wybór komisji | Nie | kombinacje | 3 osoby z 10 |
| Karty dobrane do ręki | Nie | kombinacje | 5 kart z talii |
| Podium zawodów | Tak | wariacje | 1., 2. i 3. miejsce |
| Kod PIN z cyfr | Tak | wariacje z powtórzeniami | 4-cyfrowy kod |
Zadania przykładowe
Zadanie 1
W urnie jest 10 kul, w tym 4 białe. Losujemy 3 kule bez zwracania. Prawdopodobieństwo dokładnie 2 białych to C(4,2)·C(6,1)/C(10,3)=36/120=30%.
Zadanie 2
Z 12 pytań 5 jest łatwych. Uczeń losuje 4 pytania. Prawdopodobieństwo co najmniej 2 łatwych liczymy jako sumę przypadków dla 2, 3 i 4 łatwych pytań.
Zadanie 3
W talii 52 kart jest 13 kierów. Prawdopodobieństwo dokładnie 2 kierów w 5 kartach to C(13,2)·C(39,3)/C(52,5).
Zadanie 4
Z 8 osób, w tym 3 kobiety, wybieramy 4 osoby. Prawdopodobieństwo najwyżej 1 kobiety to suma przypadków dla 0 i 1 kobiety.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
W urnie jest 15 kul, w tym 5 zielonych. Losujemy 4 kule. Oblicz prawdopodobieństwo dokładnie 2 zielonych.
Zadanie 2
Z 20 losów 3 są wygrywające. Kupujemy 5 losów. Oblicz prawdopodobieństwo co najmniej jednego wygrywającego.
Zadanie 3
Z 10 osób, w tym 4 spełniają warunek, wybieramy 3 osoby. Oblicz prawdopodobieństwo najwyżej 1 osoby spełniającej warunek.
Zadanie 4
W talii 52 kart losujemy 5 kart. Oblicz prawdopodobieństwo dokładnie 1 asa.
Pokaż prawidłowe odpowiedzi
1) C(5,2)·C(10,2)/C(15,4)=450/1365≈32,97%. 2) 1-C(17,5)/C(20,5)≈60,09%. 3) [C(4,0)·C(6,3)+C(4,1)·C(6,2)]/C(10,3)=80/120≈66,67%. 4) C(4,1)·C(48,4)/C(52,5)≈29,94%.
Tabela referencyjna
| Pytanie | Jak liczyć? | Wzór |
|---|---|---|
| Dokładnie r sukcesów | Jeden konkretny przypadek | C(S,r)·C(N-S,k-r)/C(N,k) |
| Co najmniej r sukcesów | Suma od r do maksimum | Σ C(S,i)·C(N-S,k-i)/C(N,k) |
| Najwyżej r sukcesów | Suma od minimum do r | Σ C(S,i)·C(N-S,k-i)/C(N,k) |
| Brak sukcesów | Wszystkie wybrane elementy są niesprzyjające | C(N-S,k)/C(N,k) |
| Co najmniej jeden sukces | Najłatwiej przez zdarzenie przeciwne | 1 - C(N-S,k)/C(N,k) |
Najczęstsze błędy i jak zwiększyć dokładność wyniku
- Nie używaj tego modelu, jeśli losowanie jest ze zwracaniem.
- Sprawdź, czy liczba sukcesów S nie jest większa od całej puli N.
- Przy „co najmniej jeden” często łatwiej policzyć zdarzenie przeciwne.
- Nie myl liczby losowanych elementów k z wymaganą liczbą sukcesów r.
- Jeśli r jest niemożliwe, prawdopodobieństwo wynosi 0.
- Wynik procentowy zaokrąglaj dopiero na końcu.
Ciekawostka: „co najmniej jeden” często liczy się szybciej od końca
Zamiast dodawać prawdopodobieństwa dla 1, 2, 3 i kolejnych sukcesów, można policzyć brak sukcesu i odjąć go od 1. To szczególnie wygodne przy losach wygrywających, kartach i zadaniach, w których pytanie brzmi: „jakie jest prawdopodobieństwo, że trafi się przynajmniej jeden?”.
Rozpoznawanie modelu w treści zadania
Jeśli w treści pojawia się „losujemy bez zwracania”, „wybieramy grupę”, „dobieramy karty do ręki” albo „tworzymy komisję”, bardzo często pracujesz na kombinacjach. Wtedy kolejność nie zmienia wyniku. Karty A, B, C są tą samą ręką niezależnie od kolejności ich dobrania.
Jeśli zadanie mówi o miejscach, kodach, hasłach albo ustawieniu w kolejności, przejdź do kalkulatora kombinacji, permutacji i wariacji, bo tam kolejność może mieć znaczenie.
Dla ucznia: jak zapisać rozwiązanie?
Najpierw opisz, co oznacza N, S, k i r. Potem zapisz liczbę wszystkich przypadków jako C(N,k). Następnie zapisz liczbę przypadków sprzyjających, np. C(S,r)·C(N-S,k-r). Na końcu podziel przypadki sprzyjające przez wszystkie przypadki i zamień wynik na procent.
Wskazówka od KalkulatorXXL
W zadaniach z kombinacjami najpierw ustal, czy kolejność ma znaczenie. Jeśli nie, liczysz zestawy, a nie ustawienia. Potem osobno policz wszystkie zestawy i zestawy sprzyjające. Dopiero na końcu twórz ułamek prawdopodobieństwa.
Cała statystyka w jednym miejscu: Akademia statystyki, prawdopodobieństwa, rozkładów i analizy danych łączy statystykę opisową z kombinatoryką, prawdopodobieństwem, zmiennymi losowymi, rozkładami, regresją, przedziałami ufności i interpretacją wyników.
Kiedy przejść z kombinacji do rozkładu hipergeometrycznego?
Ten kalkulator liczy prawdopodobieństwo losowania bez zwracania za pomocą kombinacji. Jeżeli jednak zadanie ma dokładnie strukturę: populacja N, liczba sukcesów K, liczba losowań n i liczba sukcesów k, wygodniej użyć wyspecjalizowanego kalkulatora rozkładu hipergeometrycznego. Tam od razu dostajesz także tabelę P(X=x), zakres możliwych sukcesów, wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe.
Ten kalkulator
Najlepszy, gdy chcesz zobaczyć licznik i mianownik przez kombinacje: liczba losowań sprzyjających podzielona przez wszystkie możliwe losowania.
Rozkład hipergeometryczny
Najlepszy, gdy traktujesz wynik jako zmienną losową i chcesz policzyć dokładnie k, co najmniej k, co najwyżej k albo przedział sukcesów.
Powiązane modele prawdopodobieństwa
Losowanie bez zwracania to tylko jeden z modeli. Gdy próby są niezależne i prawdopodobieństwo sukcesu jest stałe, przejdź do rozkładu dwumianowego Bernoulliego. Jeżeli pytanie brzmi „za którym razem pojawi się pierwszy sukces”, użyj rozkładu geometrycznego. Gdy znasz średnią liczbę zdarzeń w czasie, lepszy będzie rozkład Poissona.
Jeżeli zadanie zawiera warunek albo etapowe losowanie, pomocne będą prawdopodobieństwo warunkowe i Bayes oraz drzewko prawdopodobieństwa. Do działań typu „A lub B”, „A i B” oraz testu niezależności przejdź do kalkulatora zdarzeń niezależnych, sumy i iloczynu.
Pełna powtórka z losowania i kombinatoryki
Przy samych wzorach na liczbę sposobów przyda się kalkulator kombinacji, permutacji i wariacji oraz kalkulator silni i symbolu Newtona. Jeżeli dopiero rozpoznajesz typ zadania, skorzystaj z tablicy wzorów z kombinatoryki i prawdopodobieństwa albo poradnika rozwiązywania zadań z prawdopodobieństwa.
FAQ – prawdopodobieństwo z kombinacji
Ostatnia aktualizacja: 19.08.2026